江苏省2024-2025学年高二上学期数学期末复习训练2(两条直线的位置关系) 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省2024-2025学年高二上学期数学期末复习训练2(两条直线的位置关系) 学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 113.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-02 07:28:03 | ||
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文档简介
高二期末复习2(两条直线的位置关系)
【复习要求】
1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直；
2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；
3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
【内容梳理】
1．两条直线的位置关系：
2．三种距离公式：
【强化训练】
1．两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0的距离为( )
A． B． C． D．
2．经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是( )
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
3．两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为( )
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A．2 B．2 C．2 D．4
5．已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则＋的最小值为( )
A． B．2 C． D．2
6．使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能围成三角形的实数m的值最多有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．(多选题)已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是( )
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0 C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
8．(多选题)已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是( )
A．斜边AB的中点坐标是(3,2) B．AB＝2
C．△ABC的面积等于4 D．点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)
9．△ABC的顶点A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)．若AD⊥BC，垂足为点D，则点D的坐标为________．
10．正方形ABCD的两个顶点A，B在直线x＋y－4＝0上，另两个顶点C，D分别在直线2x－y－1＝0,4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的边长为________．
11．点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是________．
12．(2023·南通统考)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光线从AB边上的中点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(反射点分别为Q，R)，则光线经过的路径总长PQ＋QR＋RP＝______．
13．已知△ABC的顶点C(5,6)，边BC上的中线AD所在直线方程为x＋4y－16＝0，边AC上的高BE所在直线方程为5x＋2y－15＝0，则△ABC的面积为________．
14．(1)已知点A(a，6)到直线3x－4y＝2的距离d＝4，求a的值；
(2)在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点O的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等．
15．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，∠B的平分线BN所在直线方程为x－2y－5＝0．求：
(1)顶点B的坐标；
(2)直线BC的方程．
高二期末复习2(两条直线的位置关系)
【复习要求】
1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直；
2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；
3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
【内容梳理】
1．两条直线的位置关系：直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)
垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
2．三种距离公式：
(1)两点间的距离公式：①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：P1P2＝．
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离OP＝．
(2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．
【二级结论】
六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
【强化训练】
1．两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0的距离为( )
A． B． C． D．
答案 A 解析 由直线2x－4y－3＝0可得，x－2y－＝0，
根据两条平行线间的距离公式知d＝＝．
2．经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是( )
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
答案 D 解析 方法一 由解得所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0．
方法二 设所求直线方程为2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0，即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0，又该直线与3x＋2y＋7＝0平行，故(λ＋2)·2－3·(2λ－1)＝0，
解得λ＝，故所求直线方程为x＋y＋3－＝0，即3x＋2y＋1＝0．
直线系方程：过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直线l2．
3．两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为( )
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
答案 C 解析 设所求直线上任意一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，则解得①
∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，∴将①式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，
化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．
思维升华 对称问题的求解策略：(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A．2 B．2 C．2 D．4
答案 B 解析 因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，
直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为＝，直线3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为＝，于是有＝ |c1－c2|＝2．
5．已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则＋的最小值为( )
A． B．2 C． D．2
答案 D 解析 ＋表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1,1)，B(2,0)的距离之和，如图所示，
设点A(1,1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)，
则解得所以对称点为A′(－2，－2)，
则A′B＝＝2，由图知＋的最小值为2．
6．使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能围成三角形的实数m的值最多有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
答案 B 解析 要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，则＝，解得m＝4；
若mx＋y＝0,2x－3my－4＝0平行，则＝，无解；
若4x＋y－4＝0,2x－3my－4＝0平行，则＝，解得m＝－；
若三条直线交于一点，可得m＝或m＝－1，
经检验，当m∈时，均满足三条直线不能围成三角形，故m的值最多有4个．
7．(多选题)已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是( )
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0 C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
答案 AC 解析 由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，
当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为＝－4，
所以直线l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；
当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，l的斜率为＝－，
此时直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0．
8．(多选题)已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是( )
A．斜边AB的中点坐标是(3,2) B．AB＝2
C．△ABC的面积等于4 D．点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)
答案 ABD 解析 如图，取AB的中点为P(x，y)，
因为△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，
所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，
则kCP＝＝－1，且x－y＝1，解得
则AB的中点P的坐标为(3,2)，故A正确；
CP＝＝，AB＝2CP＝2，故B正确；
所以S△ABC＝AB·CP＝×2×＝2，故C错误；
设点C关于直线AB的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，即xP＝＝3，
所以＝4，所以＝－1，解得＝1，
即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)，故D正确．
9．△ABC的顶点A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)．若AD⊥BC，垂足为点D，则点D的坐标为________．
答案 解析 kBC＝＝－，∴直线BC方程为y－2＝－(x＋2)，即x＋5y－8＝0，又AD⊥BC，∴kAD＝5，∴直线AD方程为y＝5x－2，即5x－y－2＝0，
联立解得故D．
10．(2023·上饶统考)正方形ABCD的两个顶点A，B在直线x＋y－4＝0上，另两个顶点C，D分别在直线2x－y－1＝0,4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的边长为________．
答案 2或14 解析 设直线CD的方程为x＋y＋m＝0，
联立得C，联立得D，
∴由两点间的距离公式可得CD＝|m＋11|，
又直线AB与CD的距离为d＝，∴|m＋11|＝，
解得m＝－8或m＝－32，即CD＝2或14．即正方形的边长为2或14．
思维升华 利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|．
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
11．(2023·菏泽模拟)点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是________．
答案 [0,2]解析 直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，
由解得所以直线过定点P(9，－4)，
当AP与直线垂直时，点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为
d＝＝2，
当点A在直线上时，点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最小值为0，
故点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是[0,2]．
12．(2023·南通统考)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光线从AB边上的中点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(反射点分别为Q，R)，则光线经过的路径总长PQ＋QR＋RP＝______．
答案
解析 以A为坐标原点，AB，AC分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
因为△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，则lBC：x＋y－2＝0，
点P(1,0)，所以点P关于y轴的对称点为P1(－1,0)，
设点P关于直线lBC：x＋y－2＝0的对称点为P2(x0，y0)，
则＝1且＋－2＝0，解得x0＝2，y0＝1，即P2(2,1)，
则PQ＋QR＋RP＝P2Q＋QR＋RP1＝P1P2＝．
13．(2023·长春东北师大附中模拟)已知△ABC的顶点C(5,6)，边BC上的中线AD所在直线方程为x＋4y－16＝0，边AC上的高BE所在直线方程为5x＋2y－15＝0，则△ABC的面积为________．
答案 13 解析 依题意，AC⊥BE，设直线AC的方程为2x－5y＋m＝0，
于是2×5－5×6＋m＝0，解得m＝20，即直线AC：2x－5y＋20＝0，
由解得即点A(0,4)，
设点B(a，b)，则线段BC的中点D，
于是解得即点B(3,0)，
因此点B(3,0)到直线AC的距离d＝＝，AC＝＝，
所以△ABC的面积为AC·d＝××＝13．
14．(1)已知点A(a，6)到直线3x－4y＝2的距离d＝4，求a的值；
(2)在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点O的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等．
解 (1)由题意，得＝4，|3a－26|＝20，解得a＝2或a＝．
(2)设点P(－3b，b)，由题意，得OP＝＝．
点P到直线x＋3y－2＝0的距离为＝，
所以＝，解得b＝±．即点P的坐标为或．
15．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，∠B的平分线BN所在直线方程为x－2y－5＝0．求：
(1)顶点B的坐标；
(2)直线BC的方程．
解 (1)设点B(x0，y0)，由AB中点在2x－y－5＝0上，可得2×－－5＝0，
即2x0－y0－1＝0，又x0－2y0－5＝0，联立解得即点B(－1，－3)．
(2)设点A关于x－2y－5＝0的对称点为A′(x′，y′)，
则有解得即A′，
∴BC边所在的直线方程为y＋3＝(x＋1)，即6x－17y－45＝0．
【复习要求】
1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直；
2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；
3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
【内容梳理】
1．两条直线的位置关系：
2．三种距离公式：
【强化训练】
1．两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0的距离为( )
A． B． C． D．
2．经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是( )
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
3．两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为( )
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A．2 B．2 C．2 D．4
5．已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则＋的最小值为( )
A． B．2 C． D．2
6．使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能围成三角形的实数m的值最多有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．(多选题)已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是( )
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0 C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
8．(多选题)已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是( )
A．斜边AB的中点坐标是(3,2) B．AB＝2
C．△ABC的面积等于4 D．点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)
9．△ABC的顶点A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)．若AD⊥BC，垂足为点D，则点D的坐标为________．
10．正方形ABCD的两个顶点A，B在直线x＋y－4＝0上，另两个顶点C，D分别在直线2x－y－1＝0,4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的边长为________．
11．点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是________．
12．(2023·南通统考)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光线从AB边上的中点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(反射点分别为Q，R)，则光线经过的路径总长PQ＋QR＋RP＝______．
13．已知△ABC的顶点C(5,6)，边BC上的中线AD所在直线方程为x＋4y－16＝0，边AC上的高BE所在直线方程为5x＋2y－15＝0，则△ABC的面积为________．
14．(1)已知点A(a，6)到直线3x－4y＝2的距离d＝4，求a的值；
(2)在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点O的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等．
15．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，∠B的平分线BN所在直线方程为x－2y－5＝0．求：
(1)顶点B的坐标；
(2)直线BC的方程．
高二期末复习2(两条直线的位置关系)
【复习要求】
1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直；
2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；
3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
【内容梳理】
1．两条直线的位置关系：直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)
垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
2．三种距离公式：
(1)两点间的距离公式：①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：P1P2＝．
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离OP＝．
(2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．
【二级结论】
六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
【强化训练】
1．两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0的距离为( )
A． B． C． D．
答案 A 解析 由直线2x－4y－3＝0可得，x－2y－＝0，
根据两条平行线间的距离公式知d＝＝．
2．经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是( )
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
答案 D 解析 方法一 由解得所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0．
方法二 设所求直线方程为2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0，即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0，又该直线与3x＋2y＋7＝0平行，故(λ＋2)·2－3·(2λ－1)＝0，
解得λ＝，故所求直线方程为x＋y＋3－＝0，即3x＋2y＋1＝0．
直线系方程：过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直线l2．
3．两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为( )
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
答案 C 解析 设所求直线上任意一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，则解得①
∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，∴将①式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，
化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．
思维升华 对称问题的求解策略：(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A．2 B．2 C．2 D．4
答案 B 解析 因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，
直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为＝，直线3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为＝，于是有＝ |c1－c2|＝2．
5．已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则＋的最小值为( )
A． B．2 C． D．2
答案 D 解析 ＋表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1,1)，B(2,0)的距离之和，如图所示，
设点A(1,1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)，
则解得所以对称点为A′(－2，－2)，
则A′B＝＝2，由图知＋的最小值为2．
6．使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能围成三角形的实数m的值最多有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
答案 B 解析 要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，则＝，解得m＝4；
若mx＋y＝0,2x－3my－4＝0平行，则＝，无解；
若4x＋y－4＝0,2x－3my－4＝0平行，则＝，解得m＝－；
若三条直线交于一点，可得m＝或m＝－1，
经检验，当m∈时，均满足三条直线不能围成三角形，故m的值最多有4个．
7．(多选题)已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是( )
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0 C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
答案 AC 解析 由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，
当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为＝－4，
所以直线l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；
当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，l的斜率为＝－，
此时直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0．
8．(多选题)已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是( )
A．斜边AB的中点坐标是(3,2) B．AB＝2
C．△ABC的面积等于4 D．点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)
答案 ABD 解析 如图，取AB的中点为P(x，y)，
因为△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，
所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，
则kCP＝＝－1，且x－y＝1，解得
则AB的中点P的坐标为(3,2)，故A正确；
CP＝＝，AB＝2CP＝2，故B正确；
所以S△ABC＝AB·CP＝×2×＝2，故C错误；
设点C关于直线AB的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，即xP＝＝3，
所以＝4，所以＝－1，解得＝1，
即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)，故D正确．
9．△ABC的顶点A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)．若AD⊥BC，垂足为点D，则点D的坐标为________．
答案 解析 kBC＝＝－，∴直线BC方程为y－2＝－(x＋2)，即x＋5y－8＝0，又AD⊥BC，∴kAD＝5，∴直线AD方程为y＝5x－2，即5x－y－2＝0，
联立解得故D．
10．(2023·上饶统考)正方形ABCD的两个顶点A，B在直线x＋y－4＝0上，另两个顶点C，D分别在直线2x－y－1＝0,4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的边长为________．
答案 2或14 解析 设直线CD的方程为x＋y＋m＝0，
联立得C，联立得D，
∴由两点间的距离公式可得CD＝|m＋11|，
又直线AB与CD的距离为d＝，∴|m＋11|＝，
解得m＝－8或m＝－32，即CD＝2或14．即正方形的边长为2或14．
思维升华 利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|．
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
11．(2023·菏泽模拟)点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是________．
答案 [0,2]解析 直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，
由解得所以直线过定点P(9，－4)，
当AP与直线垂直时，点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为
d＝＝2，
当点A在直线上时，点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最小值为0，
故点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是[0,2]．
12．(2023·南通统考)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光线从AB边上的中点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(反射点分别为Q，R)，则光线经过的路径总长PQ＋QR＋RP＝______．
答案
解析 以A为坐标原点，AB，AC分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
因为△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，则lBC：x＋y－2＝0，
点P(1,0)，所以点P关于y轴的对称点为P1(－1,0)，
设点P关于直线lBC：x＋y－2＝0的对称点为P2(x0，y0)，
则＝1且＋－2＝0，解得x0＝2，y0＝1，即P2(2,1)，
则PQ＋QR＋RP＝P2Q＋QR＋RP1＝P1P2＝．
13．(2023·长春东北师大附中模拟)已知△ABC的顶点C(5,6)，边BC上的中线AD所在直线方程为x＋4y－16＝0，边AC上的高BE所在直线方程为5x＋2y－15＝0，则△ABC的面积为________．
答案 13 解析 依题意，AC⊥BE，设直线AC的方程为2x－5y＋m＝0，
于是2×5－5×6＋m＝0，解得m＝20，即直线AC：2x－5y＋20＝0，
由解得即点A(0,4)，
设点B(a，b)，则线段BC的中点D，
于是解得即点B(3,0)，
因此点B(3,0)到直线AC的距离d＝＝，AC＝＝，
所以△ABC的面积为AC·d＝××＝13．
14．(1)已知点A(a，6)到直线3x－4y＝2的距离d＝4，求a的值；
(2)在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点O的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等．
解 (1)由题意，得＝4，|3a－26|＝20，解得a＝2或a＝．
(2)设点P(－3b，b)，由题意，得OP＝＝．
点P到直线x＋3y－2＝0的距离为＝，
所以＝，解得b＝±．即点P的坐标为或．
15．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，∠B的平分线BN所在直线方程为x－2y－5＝0．求：
(1)顶点B的坐标；
(2)直线BC的方程．
解 (1)设点B(x0，y0)，由AB中点在2x－y－5＝0上，可得2×－－5＝0，
即2x0－y0－1＝0，又x0－2y0－5＝0，联立解得即点B(－1，－3)．
(2)设点A关于x－2y－5＝0的对称点为A′(x′，y′)，
则有解得即A′，
∴BC边所在的直线方程为y＋3＝(x＋1)，即6x－17y－45＝0．