内蒙古赤峰市名校2025届高三上学期质检数学试卷(PDF版,含答案)

文档属性

名称 内蒙古赤峰市名校2025届高三上学期质检数学试卷(PDF版,含答案)
格式 pdf
文件大小 820.2KB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-01-01 22:51:14

图片预览

文档简介

内蒙古赤峰市名校 2025 届高三上学期质检数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { ∈ | 2 < 5}, = { | + 1 > 0},则 ∩ =( )
A. ( 1, √ 5) B. {0,1,2} C. {1,2} D. ( 1,2)
2.若复数 满足(2 + ) = 10 ,则 的虚部为( )
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
3.已知 (2,1), ( , 4), = (3,1),若 , , 三点共线,则 =( )
A. 11 B. 9 C. 7 D. 6
4.已知曲线 : = + 在点 处的切线与直线2 + 2 = 0平行,则该切线方程是( )
A. 2 = 0 B. 2 2 = 0 C. 2 1 = 0 D. 2 + 1 = 0

5.已知函数 ( ) = ( + )( > 0,0 < < 5, | | < )的部分图象如图所示,
2
则 =( )
24
A.
7
15
B.
4
C. 3
D. 4
2 8
6.已知在△ 中, 是线段 上异于端点的任意一点.若向量 = + ,则 + 的最小值为( )

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
7.把某种物体放在空气中,若该物体原来的温度是 ′℃,空气的温度是 0℃,则 后该物体的温度 ℃满

足 = 0 + ( ′ )

0 4.若 0, ′不变,在 1 , 2 后该物体的温度分别为 1℃, 2℃,且 1 > 2,则
下列结论正确的是( )
A. 1 > 2
B. 1 < 2
C. 若 ′ > 0,则 1 > 2;若 ′ < 0,则 1 < 2
D. 若 ′ > 0,则 1 < 2;若 ′ < 0,则 1 > 2
第 1 页,共 8 页
8.在△ 中, = 4, = 6,∠ = 90°,点 在△ 内部,且∠ = 90°, = 2,记∠ = ,
则 2 =( )
3 2 4 3
A. B. C. D.
2 3 3 4
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

9.已知命题 : ∈ , | | > 2;命题 : ∈ ( , ), cos( ) = sin( + ),则( )
2 4 4
A. 是真命题 B. ¬ 是真命题 C. 是真命题 D. ¬ 是真命题
1
10.已知函数 ( ) = cos( + ),则( )

A. ( )为偶函数 B. ( )的最大值为 2
C. ( )在(1,2)上单调递减 D. ( )在(1,20)上有6个零点
11.已知奇函数 ( )的定义域为 ,其导函数为 ′( ),若 ( ) = (2 ) + 2 2,且 (3) = 2,则( )
A. ( 5) = 6 B. ( + 4) = ( ) C. ′(101) = 101 D. ∑100 =1 ( ) = 5050
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.已知复数 = 19° + 5 19°,则| | = ______.
13.如图,在边长为√ 3的正方形 中,点 在边 上,且 = 1,则 =
______.
14.已知函数 ( ) = sin( + ) + 1,若| ( 1) ( 2)| = 1,则| 1 2|的最小值为______.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图,在平面直角坐标系 中, (1,5),| | = 2√ 2,且向量 在 轴非负半轴上的投影向量为 = (2,0).
(1)求 的坐标;
(2)求cos , ;
(3)求△ 的面积及△ 外接圆的半径.
第 2 页,共 8 页
16.(本小题15分)
已知△ 的内角 , , 的对边分别为 , , .已知△ 的周长为15,且 = 2, + =
2 .
(1)求 的大小;
(2)求 , , 的值.
17.(本小题15分)

已知向量 = (2 , 1), = (2 ( + ),1),函数 ( ) = 2.
3

(1)将 ( )化简成 ( ) = ( + ) + ( > 0, > 0, | | < )的形式;
2
1
(2)将 ( )的图象向左平移 个最小正周期的单位长度后,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,
6
得到函数 ( )的图象,求 ( )的单调递增区间;
1
(3)在(2)的条件下,若 ( ) = ,求sin( 2 )的值.
2 6
18.(本小题17分)

已知△ 的内角 , , 的对边分别为 , , ,且 + = 1 + 2 .

(1)证明: 2 = .

(2)已知 为钝角,记 = .

(ⅰ)求 2的取值范围;
2
(ⅱ)若 为 边上的中线,求 2 的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数 ( )与 ( )的定义域的交集为 .若 ( ) ( ) ≥ 0对 ∈ 恒成立,则称 ( )与 ( )为同号函数,例
1 1 1 1
如 ( + 1) = 2 + = ( )2 ≥ 0,则函数 ( ) = 与 ( ) = + 1为同号函数.若存在区间
4 4 2 4
第 3 页,共 8 页
[ , + 2],使得 ( ) ( ) ≥ 0对 ∈ [ , + 2]恒成立,则称 ( )与 ( )为区间同号函数.
(1)设函数 ( ) = ( 2 4 + 3) 1 (0 < < 4), 2( ) = 2 1,
2
3( ) = ( 2) 1(0 < < 4),
试问这三个函数中是否任意两个都互为区间同号函数?请说明你的理由.
(2)设函数 ( ) = 2, ( ) = ln( + 2) 2.
( )证明: ( )与 ( )为同号函数.
2+4 +1
( )若 ( ) ≥ + 恒成立,证明: < 6.
+2 3
第 4 页,共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】√ 3

14.【答案】
3
15.【答案】解:(1) ∵向量 在 轴非负半轴上的投影向量为 = (2,0),
∴设 (2, )( > 0),∵ | | = 2√ 2 = √ 4 + 2,∴ = 2(舍负),
∴ (2,2),∴ = (2,2);
(2) ∵ = 1 × 2 + 5 × 2 = 12,| | = √ 4 + 4 = 2√ 2,| | = √ 1 + 25 = √ 26,

∴ cos ,
12 3√ 13
= = = ;
| || | √ 26×2√ 2 13
(3) ∵ cos ,
3√ 13
= > 0,∴ 0 < , < ,
13 2
∴ sin ,
2√ 13
= √ 1 cos2 , = ,
13
1
∴△ 的面积为 × √ 26 × 2√ 2 × sin , = 4,
2
∵ = = (1, 3),∴ | | = √ 1 + 9 = √ 10,
√ 10 √ 130
∴根据正弦定理,△ 外接圆的半径为 = .
2 , 4
16.【答案】解:(1)已知 + = 2,根据正弦定理可得 + = 2 ,
即sin( + ) = 2 ,即 = 2 .
第 5 页,共 8 页
1
∵ ∈ (0, ),∴ ≠ 0,∴ = .
2
2
∵ ∈ (0, ),∴ = .
3
= 2, = + 2,
(2)由{ 得{
+ + = 15, = 13 2 .
2 22 + 2
根据余弦定理得cos = ,即 2 58 + 165 = 0,
3 2
∴ ( 3)( 55) = 0,解得 = 3或55(舍去),
故 = + 2 = 5, = 13 2 = 7.

17.【答案】解:(1)向量 = (2 , 1), = (2 ( + ),1),
3

所以 ( ) = 2 = 4 ( + ) + 1 2
3
1 √ 3
= 4 ( + ) 1
2 2
1 2
= 2 2 + 2√ 3 1 = 2 × + √ 3 2 1
2

= √ 3 2 2 = 2 (2 ).
6
2
(2)因为 ( )的最小正周期 = = ,
2

所以 ( + ) = 2 [2( + ) ] = 2 (2 + ),
6 6 6 6

则 ( ) = 2 ( + ).
6
2
令 + 2 ≤ + ≤ + 2 ( ∈ ),得 + 2 ≤ ≤ + 2 ( ∈ ),
2 6 2 3 3
2
故 ( )的单调递增区间为[ + 2 , + 2 ]( ∈ ).
3 3
1
(3)根据题意可得 ( ) = 2 ( + ) = ,
6 2
1
令 = + ,则 = , = .
6 6 4

由 2 = 2( ) = 2 ,
6 6 6 2
1 7
故sin( 2 ) = sin( 2 ) = 2 = 1 2 2 = 1 2 × ( )2 = .
6 2 4 8

18.【答案】证明:(1)由 + = 1 + 2 ,可得 2 + 2 = + 2 ,

由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ,得 2 + 2 = 2 + 2 ,所以 2 = .
解:(2)(ⅰ)由 2

= ,可得 = = , 为钝角,可知 边最大,所以 > 1.

第 6 页,共 8 页
2 2 + 2
根据三角形三边的关系,可得 + > ;由 = < 0,得 2 + 2 2 < 0.
2
+ > 2 1+√ 5 2 3+√ 5所以{
2 + 2
,结合 > 1,解得 < < ,
2 < 2 4 2 2
2 1+√ 5 3+√ 5即 的取值范围为( , ).
2 2
(ⅱ)根据 为 边上的中线,可得
1
= ( + ),
2
所以|
1 1 1 1
|2 = ( + )2 = ( 2 + 2 2 ) = (2 2 + 2 2 2) = (2 2 + 2 2 ),
4 4 4 4
2 2 2+2 2 1
所以 2 = 2 = (2 + 2
4 2).
4 4
2 1
令 = 2,则 22 = (2 + 2), 4
2 1+√ 5 3+√ 5因为二次函数 = 2 + 2在( , )上单调递增,
2 2
9+√ 5 15+5√ 5 2 9+√ 5 15+5√ 5
所以 = 2 2 + 2 ∈ ( , ),即 的取值范围为( , ).
2 2 2 8 8
19.【答案】解:(1)这三个函数中任意两个都互为区间同号函数,理由如下:
因为 ( ) = ( 21 4 + 3)
, 3( ) = ( 2)
2 1 = 2 4 + 3,0 < < 4,
所以 1( )
2 2
3( ) = ( 4 + 3) ≥ 0.
则 1( )与 3( )为区间同号函数.
而 2( ) = 2 1, > 0,
2 2
而 2′( ) = 1 = ,
令 2′( ) > 0,即 > 2;令 2′( ) < 0,即0 < < 2,
所以函数 2( )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
又 2(1) = 0, 2(3) = 2(1 3) < 0,
所以 2( ) ≤ 0对 ∈ [1,3]恒成立,
又 1( ) ≤ 0, 3( ) ≤ 0对 ∈ [1,3]都恒成立,
所以存在 = 1,使得 1( ) 2( ) ≥ 0, 2( ) 3( ) ≥ 0对 ∈ [1,3]]都恒成立,
所以这三个函数中任意两个都互为区间同号函数.
(2)证明:( )因为函数 ( )与 ( )的定义域的交集为( 2,+∞),
当 ( ) ≥ 0时, ≥ + 2,则 ≥ ln( + 2),
所以 ≥ ln( + 2) + 2,即 ( ) ≥ 0;
当 ( ) < 0时, < + 2,则 < ln( + 2),
第 7 页,共 8 页
所以 < ln( + 2) + 2,即 ( ) < 0,
所以 ( ) ( ) ≥ 0恒成立,则 ( )与 ( )为同号函数.
( )因为 + 2 > 0,
2+4 +1
所以由 ( ) ≥ + ,
+2 3
( +2)(
2+4 +1)
整理得( + 2) ( + 2)ln( + 2) 2( + 2) ≥ ,
3
( +2)( 2+4 +1)
令 ( ) = ( + 2) ( + 2)ln( + 2) 2( + 2) ,
3
则 ′( ) = ( + 3) ln( + 2) 2 4 6,
当 ≥ + 2时, ≥ ln( + 2),可得 ′( ) ≥ ( + 3)( + 2) 2 4 6 = 0,
当 < + 2时, < ln( + 2),可得 ′( ) < ( + 3)( + 2) 2 4 6 = 0.
对于函数 ( ) = 2, ′( ) = 1,
令 ′( ) > 0,即 > 0;令 ′( ) < 0,即 < 0,
所以函数 ( )在( ∞, 0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
1 1
又 ( 2) = 2 > 0, ( 1) = 1 < 0, (1) = 3 < 0, (2) =
2 4 > 0,

所以函数 ( )在( 2, 1)和(1,2)上各有一个零点,
不妨设 1 ∈ ( 2, 1), 2 ∈ (1,2),
当 ∈ ( 2, 1)时, ′( ) > 0,函数 ( )单调递增,
当 ∈ ( 1, 2)时, ′( ) < 0,函数 ( )单调递减,
当 ∈ ( 2, +∞)时, ′( ) > 0,函数 ( )单调递增,
且 → 2时, ( ) → 0,
而 ( 2 22) = 2 2 = 0,即 = 2 + 1时, 2 = ln( 2 + 2),
( +2)( 2+4 +1)
则 ( 2) = ( 2 + 2)
2 ( 2 + 2)ln( 2 + 2) 2( + 2)
2 2 2
2 3
( 2+2)(
2
2+4 = 2
+1)
< 0,
3
( +2)( 2+4 +1)
设 ( ) = 2 2 2 (1 < < 2),
3
则 ′( ) = ( 2 + 4 + 3) < 0,
所以函数 ( )在(1,2)上单调递减,
所以 ≤ ( 2) < (1) = 6,即 < 6.
第 8 页,共 8 页
同课章节目录