江西省吉安市2023-2024学年高三上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

江西省吉安市 2023-2024 学年高三上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.设集合 = { 5, 2,0,1,4}， = { |2 > }，则 ∩ =( )
8
A. { 5, 2,0,2} B. { 5, 2,0} C. { 2,0,1,4} D. {4}
2.设(2 ) + 1 = 4 ，其中 ， 为实数，则 + =( )
1 15
A. B. C. 8 D. 16
2 2
3.已知球面被平面所截得的一部分叫做球冠，所截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径
1
被截得的一段叫做球冠的高，球冠的体积公式为 = 2(3 )(其中 为球的半径， 为球
3
冠的高).如图，某水瓢的形状可以近似看作球冠(水瓢的厚度忽略不计)，已知该水瓢的口径为24 ，水瓢所
在的球的半径为13 ，则这个水瓢的容积为( )
1984 2000 2024 2036
A. B. C. D.
3 3 3 3
4.在( 2)7的展开式中， 2 10的系数是( )
A. 42 B. 21 C. 21 D. 42
5.设 为抛物线 2 = 4 的焦点，点 在圆 ：( 1)2 + 2 = 1上，则| |的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. √ 2 1 D. √ 2 + 1
6.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且 (1 + ) = (3 )， (1) = 3，则 (2023) =( )
A. 3 B. 3 C. 1 D. 1

7.在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 2 = ，则 + 的最大值是( )

A. 2 B. 1 C. 2 D. √ 6
3 2 2
8.已知数列{ }满足 +1 = 4 + 3 × 4
+1
，且 1 = 4，若不等式 ≥ 2 对任意 ∈
恒成立，则实数

的取值范围是( )
1 1 1 1
A. [ , ] B. ( ∞, ] ∪ [ ,+∞)
4 4 4 4
1 1 1 1
C. [ , ] D. ( ∞, ] ∪ [ ,+∞)
2 2 2 2
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某兴趣小组为了解同学们的周末阅读时长，随机调查了100位同学，得到如图的样本数据的频率分布直方
图，则( )
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A. = 0.016
B. 这些同学中周末阅读时长在30 ～60 的有58人
C. 这些同学平均周末阅读时长为36.1 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
410
D. 这些同学周末阅读时长的中位数是
11

10.为得到 = sin(2 + )的图象，只需对 = 4 的图象进行的变换是( )
3

A. 先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移 个单位长度
12

B. 先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移 个单位长度
12

C. 先向右平移 个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
24

D. 先向左平移 个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
12
11.已知函数 ( ) = 2 2， ( ) = 2 2，则( )
(2+ ) (2) 3
A. → 0 =
2 2
B. ( )与 ( )是同一函数
C. ( )的一条切线方程为2(1 2) + 3 = 0
D. 若 ( ) = 有2个不相等的实数根，则 ∈ ( ∞, 1)
12.正三棱柱 1 1 1中， = 1 = 1，点 ， 分别为 1， 1的中点，则( )
A. 平面 1 ⊥平面 1 1
√ 3
B. 三棱锥 1 的体积为 12
√ 21
C. 点 1到平面 1的距离为 3
√ 13
D. 以 为球心， 为半径的球面与侧面 1 1的交线长为 4 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
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13.已知随机变量 服从正态分布 (4, 2)，且 (4 ≤ ≤ 6) = 0.3，则 ( ≥ 2) = ______．

14.已知 ∈ ( , ), ∈ (0, )，直线 1： + + 1 = 0，直线 2： + 2 = 0，若 1 ⊥ 2 2 2
，
则sin( ) = ______．
15.已知菱形 的边长为1，∠ = 60°，动点 在菱形边上，则 的取值范围是______．
2 2
16.设双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右顶点分别为 ， ，点 是双曲线的右支上一点，连接 ， ，
1 1
记 交 轴于点 ，且 = ，| | = | |，则双曲线的离心率为______．
3 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)

在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，已知 = 2， = ，且△ 的面积为2√ 3．
3
(1)求 ；
(2)记 的中点为 ，求 ．
18.(本小题12分)
近年来，我国持续增加研究与试验发展经费支出，坚定不移大力发展科学技术，国家统计局统计了近五年
(2018 2022年对应年份代码1 5)的研究与试验发展经费支出，如表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5
经费支出 /万亿元 2. 2.2 2.4 2.8 3.1
(1)求研究与试验发展经费支出 关于年份代码 的相关系数 (保留两位小数)，并判断 与 之间的线性关系
的强弱(若| | ∈ [0.75,1]，相关性较强；若| | ∈ [0.30,0.75)，相关性一般；若| | ∈ [0,0.30)，相关性较弱)；
(2)求研究与试验发展经费支出 关于年份代码 的回归直线方程，并估计我国2023年研究与试验发展经费支
出．
∑ ( )( )
附：相关系数 = =1 ，回归方程 = + 中斜率和截距最小二乘估计公式为： =

√ 2 2 ∑ =1( ) ∑ =1( )
∑ =1( )( )

2 , = ，∑
5
=1( )
2
= 10，∑
5 2
=1( ) = 0.8，√ 2 ≈ 1.41．
∑ =1( )
19.(本小题12分)
直三棱柱 1 1 1中， ， 分别为 ， 1 1的中点， ⊥ ， = 4， = 1 = 2．
(1)证明： //平面 1 1；
(2)求二面角 的正弦值．
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20.(本小题12分)
+2 1
正项数列{ }中 1 = 2,
= +1 ．
+1+1
(1)求数列{ }的通项公式；
4 +3(2)设数列{3 }的前 项和为 ，数列{ }满足

= ，若当 ∈ 时， > 2 恒成立，求正整数 的( +1)3
最大值．
21.(本小题12分)
2 2 1
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)过点(2√ 3, √ 3)，且离心率为 ，过椭圆 的左焦点 作一条与 轴不重合 2
的直线，交椭圆 于 ， 两点， 为椭圆 的右顶点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明：直线 ， 的斜率之积为定值．
22.(本小题12分)

已知函数 ( ) = + ．

(1)讨论 ( )的单调性；
1 1
(2)若 ( ) = ( ) 有两个相异的零点 1， 2，证明 + > 2． 1 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】0.8
14.【答案】1
1 1
15.【答案】[ , ]
16 2
√ 14
16.【答案】
3

17.【答案】解：(1)已知 = 2， = ，且△ 的面积为2√ 3，
3
1
得 = 2√ 3，∴ = 4，
2
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 = 12，
即 = 2√ 3，
∴ 2 + 2

= 2，∴ = , = ，
2 6
√ 3
则 = ；
4

(2)由(1)可知， = √ 2 + ( )2 = √ 22 + (√ 3)2 = √ 7．
2
1+2+3+4+5
18.【答案】解：(1)由题意， = = 3，
5
2.0+2.2+2.4+2.8+3.1
= = 2.5，
5
5 5 ∑ 2 =1( )( ) = 2.8,∑ =1( ) = 10，
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5 ∑ 2 =1( ) = 0.8，
5 ∑ =1( )( ) 2.8 1.4∴ = = = ≈ 0.99，
5 2 5 2 √ 10×0.8 √ 2√ ∑ =1( ) ∑ =1( )
∵ 0.99 ∈ [0.75,1]，
∴ 与 之间的线性关系较强；
∑5 ( )( ) 2.8
(2)由(1)知 = =1 2 = = 0.28，
∑5 10 =1( )

= = 1.66，

∴研究与试验发展经费支出 关于年份代码 的回归直线方程为 = 0.28 + 1.66，

当 = 6时， = 3.34，故预测我国2023年研究与试验发展经费支出为3.34万亿元．
19.【答案】解：(1)证明：取 的中点 ，连
接 ， ，
∵ ， ， 分别为 ， 1 1， 的中点，
∴ // ， // 1，
又 ， 平面 ，
， 1 平面 1 1，
∩ = ， ∩ 1 = ，
∴平面 //平面 1 1，
又 平面 1 1，
平面 ，
∴ //平面 1 1，
(2) ∵ ⊥ ，由题意，以 为坐标原点，以 ， ， 1所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐
标系 ，
= 2
令 1 = 1，则{
1 ，
1 = 1
即平面 的一个法向量为 1 = (1,2,1)，
又平面 的一个法向量为 2 = (1,0,0)，
记二面角 的平面角为 ，
1 √ 6
则| | = |cos < 1 ,
1 2
2 > | | = | | = ， | 1 || 2 | √ 6 6
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故 √ 30 = sin < 1 , 22 >= √ 1 cos < 1 , 2 >= ． 6
∴二面角 的正弦值为√ 30．
6
+2 1
20.【答案】解：(1) ∵ = +1 ，∴ 2 + 2 2
+1
+ 1 = +1，
+1
即( 2 2 + 1) +1 = 0，
∴ ( + 1 + +1)( + 1 +1) = 0，
∵ { }是正项数列，∴ +1 = + 1，
因此{ }是首项为2，公差为1的等差数列，
∴ = 1 + ( 1) = 2 + ( 1) × 1 = + 1，
故数列{ }的通项公式是 = + 1, ∈ ；
(2)由题意， = 2 × 31 2 + 3 × 3 + + ( + 1) 3
，①
3 = 2 × 3
2 + 3 × 33 + + ( + 1) 3 +1，②
① ②得： 2 = 2 × 3 + (3
2 + 33 + + 3 ) ( + 1) 3 +1
32(1 3 1) 3 1
= 6 + ( + 1) 3 +1 = ( + ) 3 +1，
1 3 2 2
2 +1
∴ +1
3
= 3 ， 4 4
4
因此
+3 6 +3
= = ， ( +1)3 +1
6 +9 6 +3 3
故 +1 = = > 0， +2 +1 ( +1)( +2)
∴ { }为单调递增数列，
9 9 9
故 1 = ，由题意知 > 2 ，∴ < ， 2 2 4
故正整数 的最大值是2．
2 2
(2√ 3) (√ 3)+ = 1
2 2 = 4
21.【答案】解：(1)由题意知 1 ，解得{ = 2√ 3，
= =
2 = 2
{ 2 = 2 + 2
2 2
∴椭圆 的方程为 + = 1．
16 12
(2)证明：由题意知： ( 2,0)， (4,0)，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，直线 的方程为 = 2，
2 2
联立{ + = 116 12 ，消去 得到(3 2 + 4) 2 12 36 = 0，
= 2
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12 36
∴ 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 3 +4 3 +4

∴ = 1
2 1 2
= 1 4 2 4 ( 1 6)( 2 6)
36
1

= 2 = 3
2+4
2 1 2 6 ( 1+ )+36 2
36 12
2 (
3 2
) 6 2 +36+4 3 +4
36 1
= 2 = ， 36 72 2+108 2+144 4
1
故直线 ， 的斜率之积为定值 ．
4
1 +
22.【答案】解：(1)由函数 ( ) = + 得，定义域为 ， ′( ) = ，
令 ( ) = 1 + ，则 ′( ) = 1，
当 < 0时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 > 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) ≥ (0) = 0，所以 ′( ) > 0在 上恒成立，
所以 ( )在 上单调递增．
(2)证明：函数 ( ) = ( ) 有两个相异的零点 1， 2，

等价于 = 0有两个相异的实数根 1， 2，
1
设 ( ) = ，则 ′( ) = ，
当 < 1时， ′( ) > 0，当 > 1时， ′( ) < 0，
所以 ( )在( ∞, 1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
1
所以 ( ) = (1) = ，且 (0) = 0，
1
所以当 > 0时， ( ) ∈ (0, ]，


所以方程 = 0的两个相异的实数根 1， 2均大于0，
1
= 0 1 1 则有{ ，所以 =
2
， 2
= 0
1 2
2
即 1 1 = 2 2，
因为 = 为增函数，所以 1 1 = 2 2，

即ln 2 = ，
2 11

1 =
不妨设 2 > ，令 =
2
1 > 1，则有{
1，
1 2 = 1
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1 1 1 1 2 1
所以 + = + = ．
1 2
1 1 2 1
要证 + > 2，即证 > 2，
1 2
1 1
即证 ( ) < 0，
2
2
1 1 1 1 1 ( 1)
令 ( ) = ( )，则 ′( ) =
2 2 2 2
= < 0，
2 2
所以 ( )在(1,+∞)上单调递减，所以 ( ) < (1) = 0．
1 1
即 ( ) < 0，
2
1 1
所以 + > 2．
1 2
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