河南省驻马店高级中学2025届高三上学期期中数学试卷（含答案）

河南省驻马店高级中学 2025 届高三上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2
1.已知复数 = ，则| | =( )
1+
√ 2
A. B. 1 C. √ 2 D. 2
2
2.已知 ， 为单位向量，若| | = | + |，则 =( )
A. 1 ± √ 3 B. 1 + √ 3 C. 1 √ 3 D. √ 3 1
3.已知等比数列{ }的公比为 ，若 1 + 2 = 12，且 1， 2 + 6， 3成等差数列，则 =( )
3 3
A. B. C. 3 D. 3
2 2
3 1
4.“ = ”是“sin cos = ”的( )
4 2 2 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知定义在 上的奇函数 ( )满足 ( 1) = (3 )，且在[0,1)上单调递减，若方程 ( ) = 1在[0,1)上
有实数根，则方程 ( ) = 1在[ 1,11]上的所有实根之和为( )
A. 30 B. 28 C. 26 D. 24
9
6.在△ 中，内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，若 = ， 2 = ，则 + =( )
3 4
3 √ 7 √ 3
A. B. √ 2 C. D.
2 2 2
7.已知函数 ( ) = + ， ( ) = 2 + ，若函数 ( )图象上存在点 且 ( )图象上存在点 ，使
得点 和点 关于坐标原点对称，则 的取值范围是( )
1 1 1 1
A. [ , +∞) B. ( ∞, ] C. [ 2 , +∞) D. ( ∞, ] 2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < )的图象如图所示，点 (0, 1)，
( 0, 1)在曲线 ( )上，若| | = √ 13，则( )

A. =
3
5
B. =
6
1
C. ( )的图象关于点( , 0)对称
2
D. ( )在[7,11]上单调递减
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9.电子通讯和互联网中，信号的传输、处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表
3 5 13
示成三角函数(正弦和或余弦函数)的线性组合.例如函数 ( ) = + + + + 的图象就可
1 3 5 13
以近似地模拟某种信号的波形，则( )
A. ( )为周期函数，且最小正周期为 B. ( )为奇函数

C. = ( )的图象关于直线 = 对称 D. ( )的导函数 ′( )的最大值为7
2
2
10.如图所示，在边长为3的等边三角形 中， = ，且点 在以 中点
3
为圆心， 为半径的圆上， = + ，则下列说法正确的是( )
1
A. ≤ ≤ 1
3
B.
1 2
= +
3 3
9
C. ≤ ≤ 9
2
2√ 3
D. + 的最大值为 + 1
9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
11.已知向量 , 不共线， = + , = ( 1) 2 ，若 // ，则 = ______．
12.已知数列{ }满足 = ( 1) (2 1)，其前100项中某项正负号写错，得前100项和为 50，则写错的
是数列中第______项.
2
13.在△ 中，点 ， 分别是线段 ， 的中点，点 在直线 上，若△ 的面积为2，则 +
的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
已知△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 2 = 3 2 + 2，且 = 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 + = 6，点 在边 上，且 平分∠ ，求 的长度．
15.(本小题12分)

在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = ．
2 2
(1)求 ；

(2)若 = 8， = 5， 是边 上的高，且 = + ，求 ．

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16.(本小题12分)
对于数列 = ( + 1)2
， ∈ ，的前 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对
于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：
1 1 1
①为什么 = 可以裂项相消？是因为此数列的第 ， + 1项有一定关系，即第 项的后一部分与
( +1) +1
第 + 1项的前一部分和为零；
②不妨将 = ( + 1)2
， ∈ 也转化成第 ， + 1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待
定系数法可得 = ( + )2
[ ( + 1) + ]2 +1 = ( + 1)2 ，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即
可确定系数；
③将数列 = ( + 1)2
， ∈ 表示成 +1 = ( + )2 [ ( + 1) + ]2 形式，然后运用“裂项相消
法”即可!
聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减
法”掌握．
(1)(巩固基础)请你帮助小周同学，用“错位相减法”求{ }的前 项和 ；
(2)(创新意识)请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求{ }的前 项和 ．
17.(本小题12分)

已知函数 ( ) = ．

(1)若 ( )在 = 1处取得极小值，求实数 的取值范围；
(2)讨论 ( )的零点个数．
18.(本小题12分)
我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对( 1, 2)
表示.平面向量又称为二维向量，一般地， 元有序实数组( 1, 2, )称为 维向量，它是二维向量的推广，
类似于二维向量，对于 维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度(模)等：设 = ( 1, 2, ), =
( 1, 2, )，则 = ( 1, 2, ) (
2 2 2
1, 2, ) = 1 1 + 2 2 + + ；| | = √ 1 + 2 + + .
已知向量 = ( 1,

2, )满足 = ，向量 = ( 1, 2, )满足 = 2 ．
(1)求 的值；

(2)若 = ( 1, 2,
+1
)，其中 = ln ．
1
( )求证： > ； +1

( )当 2且 ∈ 时，证明：| | > √ ．
2 +4
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
1
11.【答案】
3
12.【答案】38
13.【答案】2√ 3
14.【答案】解：(1)由正弦定理及 = 2 ，得 = 2 ，
因为 2 = 3 2 + 2，所以 2 = 3 2 + (2 )2 = 7 2，即 = √ 7 ，
2 2 2 2
+ 2 2 +4 7 1
由余弦定理得， = = = ，
2 2 ×2 2
因为 ∈ (0, )，
2
所以 = ．
3
2
(2)由(1)可知 = ， = 2 ，
3
= 2 = 4
所以{ ，解得{ ，
+ = 6 = 2
设 = ，

因为 平分∠ ，所以∠ = ∠ = ，
3
1 1 1 2
因为 △ + △ = △ ，所以 + = ， 2 3 2 3 2 3
4
解得 = = ，
+ 3
4
故 AD 的长度为 ．
3
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15.【答案】解：(1)因为 = ，
2 2

所以由正弦定理得： = ，
2 2

sin
所以4 cos 2 = 4
2 = 1，
2 2 cos 2
2
1
因为 ∈ (0, )，所以sin = ，所以 = ；
2 2 3
(2)因为 在 上，且 = + ，
所以 + = 1，所以 = 1 ，
1
在△ 中，由余弦定理有： 2 = 2 + 2 + 2 = 64 + 25 2 × 8 × 5 × = 49，
2
所以 = 7，
1 1 1 √ 3 20√ 3
因为 △ = | | | | = = × 5 × 8 × = 10√ 3，所以| | = ， 2 2 2 2 7
所以| |2 = 2| |2 + 2| |2 + 2 = 25 2 + 64 2 + 20 ，
2 1200所以25 + 64(1 )2 + 20 (1 ) = ，
49
44 5 44
即 = ， = ，所以 = ．
49 49 5
16.【答案】解：(1)因为 = ( + 1)2
，
所以 = 2 × 2
1 + 3 × 22 + 4 × 23 + + ( + 1)2 ①，
则2 = 2 × 22 3 + 3 × 2 + 4 × 2
4 + + ( + 1)2 +1②，
所以① ②得
22 2 +1
= 2 × 2
1 + (22 + 23 + + 2 ) ( + 1)2 +1 = 4 + ( + 1)2 +1 = 2 +1，
1 2
所以 = 2
+1；
(2)因为 = ( + 1)2
，
设 = ( + )2
[ ( + 1) + ]2 +1 = ( 2 )2 ，
= 1 = 1
比较系数得：{ ，得{ ，所以 = ( + 1)2 ( )2 +1，
2 = 1 = 1
所以 = 0 × 2 ( 1) × 2
2 + ( 1) × 22 ( 2) × 23+. . . +( + 1) 2 ( ) 2 +1 = 2 +1．
( ) ( 1)( )
17.【答案】解：(1)函数 ( ) = 的定义域为(0, +∞)， ′( ) = 2 = ， 2
①当 ≤ 1时， > 0，当0 < < 1时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)上递减，
当 > 1时， ′( ) > 0， ( )在(1, +∞)上递增，此时 ( )在 = 1时取得极小值，符合题意；
②当 > 1时，由 ′( ) = 0可得 = 1或 = ，
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若1 < < ，则由 ′( ) > 0可得0 < < 或 > 1；由 ′( ) < 0可得 < < 1，
即 ( )在(0, )和(1, +∞)上递增；在( , 1)递减，此时函数在 = 1取得极小值，符合题意；
( 1)( )
若 = ， ′( ) = 2 ，当 > 0时， ′( ) ≥ 0恒成立，即 ( )在(0, +∞)上恒为增函数，不符合题意；
若 > ，由 ′( ) > 0可得0 < < 1或 > ；由 ′( ) < 0可得1 < < ，
即 ( )在(0,1)和( , +∞)上递增，在(1, )上递减，此时函数在 = 1时取得极大值，故不符合题意．
综上可得，实数 的取值范围为( ∞, )；
(2)由(1)知，①当 ≤ 1时， ( )在(0,1)上递减，在(1, +∞)上递增，
则 ( )在 = 1时取得极小值，也是最小值，为 (1) = > 0，此时函数 ( )无零点；
②当1 < < 时， ( )在(0, )和(1, +∞)上递增；在( , 1)递减，
故当 = 1时， ( )取得极小值 (1) = > 0，当 = 时， ( )取得极大值 (ln ) = (ln ) > 0，
当 → 0+时， ( ) → ∞，故此时函数 ( )在(0, +∞)上有一个零点；
③当 = 时， ( )在(0, +∞)上恒为增函数，又 (1) = 0，故此时函数 ( )在(0, +∞)上有一个零点；
④当 > 时， ( )在(0,1)和( , +∞)上递增，在(1, )上递减，
故当 = 1时 ( )有极大值为 (1) = < 0，当 = 时， ( )有极小值为 ( ) < (1) = < 0，
且当 → +∞时， ( ) → +∞，故此时函数 ( )在(0, +∞)上只有一个零点．
综上所述，当 ≤ 1时，函数 ( )在(0, +∞)上没有零点，当 > 1时，函数 ( )在(0, +∞)上只有一个零点．
18.【答案】解：(1)依题， = (1,2, , )， = (2, 22, , 2 )，
则 = 1 × 2 + 2 × 22 + 3 × 23 + + ( 1) 2 1 + 2 ①，
2 = 1 × 22 + 2 × 23 + 3 × 24 + + ( 1) 2 + 2 +1 ②，
① ②，得 = 2 + 22 + 23 + + 2 2 +1，
2×(1 2 )
即 = 2 +1 = ( 1) 2 +1 2，
1 2
∴ = ( 1) 2 +1 + 2．
+1 1
(2)证明：( ) ∵ = ( 1, 2, , )， = ln( ) = ln(1 + )，
1 1 1
∴ | | = √ ln2(1 + ) + ln2(1 + ) + + ln2(1 + )，
1 2
1 1
先证：ln(1 + ) > ， ∈ ，
+1
1 1
设 ( ) = ln( + 1) ， > 0，则 ′( ) = =
+1 +1 2 2
> 0，
( +1) ( +1)
1
∴ ( )在(0, +∞)上单调递增，即当 ∈ 时， ( ) > (0) = 0，

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1
1 1 1
即ln(1 + ) 1 = ln(1 + ) > 0， 1+ +1

1 1
故ln(1 + ) > ， ∈ ．
+1
1 1 1 1
( ) ∵ 2 > = ，
( +1) ( +1)( +2) +1 +2
2 1∴ ln (1 + ) + ln2
1 1 1 1 1
(1 + ) + + ln2(1 + ) > + + +
1 2 22 32 2( +1)
1 1 1 1 1 1 1 1
> ( ) + ( ) + + ( ) = = ，
2 3 3 4 +1 +2 2 +2 2 +4

∴ | | > √ ．
2 +4

综上可得，当 ≥ 2且 ∈ 时，| | > √ ．
2 +4
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