甘肃省天水二中、新梦想高考复读学校2025届高三上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

甘肃省天水二中、新梦想高考复读学校 2025 届高三上学期 12 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神．”对此诗句的理解是读书只
有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般．由此可得，“读书
破万卷”是“下笔如有神”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
1
2.已知集合 = {1,2,3,4,5}， = { | ∈ }，则 ∩ =( )
2
A. {5} B. {3,5} C. {1,3,5} D. {2,4}
3. ∈ { |1 ≤ ≤ 2}时，不等式 2 ≤ 0成立，则 的取值范围是( )
A. { | ≤ 2} B. { | ≥ 2} C. { |1 < < 2} D. { | ≥ 0}
2
2+
4.函数 ( ) = 2 + ( 2 ) + 1是定义在( , 0) ∪ (0,2 2)上的偶函数，则 ( ) =( )
5
5
A. 1 B. 3 C. D. 不存在
2
5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万
事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图

象的特征，如函数 ( ) = 2的图象大致是( ) 1
A. B.
C. D.
6.在△ 中，点 为线段 的中点，点 满足 = 2 ，若 = + ，则 + 的值为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 4 2 4
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7.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休
年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法
定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 1965年1月 4月 1965年5月 8月 1965年9月 12月 1966年1月 4月 …
改革后法定退 60岁 60岁 60岁 60岁
…
休年龄 +1个月 +2个月 +3个月 +4个月
那么1974年5月出生的男职工退休年龄为( )
A. 62岁3个月 B. 62岁4个月 C. 62岁5个月 D. 63岁
′( ) ( )
8.设 ( )是定义在 上的奇函数，且 (2) = 0，当 > 0时，有 < 0恒成立，则不等式 2 ( ) > 0的
2
解集是( )
A. ( 2,0) ∪ (2,+∞) B. ( 2,0) ∪ (0,2)
C. ( ∞, 2) ∪ (2,+∞) D. ( ∞, 2) ∪ (0,2)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若一个函数的值域为 ，则称该函数为全域函数，则下列函数为全域函数的是( )
1
A. = B. = lg(1 ) C. = D. = | |

10.以下说法中正确的是( )
A. 若 ( ) = 2 ，则 ( )在 = 0处的瞬时变化率为2
B. “ 2 = 0”是“ = 1”的必要不充分条件
C. 在△ 中，若 = ，则△ 一定是等腰三角形
D. 若 ( ) = 3
√ 3 2√ 3 √ 3 2√ 3
，则 ( )的极值点是( , ), ( , )
3 9 3 9
11.若正项数列{ }为等比数列，公比为 ，其前 项和为 ，则下列正确的是( )
1
A. 数列{ 2}是等比数列 B. 数列{ }是等差数列
C. 若{ }是递减数列，则0 < < 1 D. 若 = 3
1 ，则 = 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平面向量 = (2, ), = (2,1)，且 ⊥ ，则| + | = ______．
1
13. > 0， > 0，若2是4 与4 的等比中项，则 + 的最小值是______．


14.若函数 ( ) = | | + 1( ≠ 0)有三个不同的零点，则实数 的取值范围是______．

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四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知| | = 1，| | = √ 2， ,

= ．
4
(1)求| + |；
(2)若( + ) ⊥ ( 2 )，求实数 的值．
16.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 2 + ln ( > 0)．

(1)当 = 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若不等式 ( ) ≥ 2恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题12分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且( ) = (2 ) ．
(1)求 的大小；
3
(2)若△ 的外接圆半径为4，且 = ，求△ 的面积．
8
18.(本小题12分)
在等差数列{ }中， 1 = 2，且 2， 3 + 2， 8构成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)令 = 2 + 9，记 为数列{ }的前 项和，若 ≥ 2024，求正整数 的最小值．
19.(本小题12分)

已知函数 ( ) = sin( + )( > 0)，在( , )上有最小值，无最大值，且满足 ( ) = ( )．
3 6 3 6 3
(1)求 ( )的解析式；
(2)求 ( )的对称中心；
(3)求 ( )的对称轴方程；
(4)用五点作图法作出 ( )的图象；
(5)求 ( )的单调递增区间；
1
(6)求 ( ) > 的解集；
2

(7)将函数 ( )的图象向右平移 (0 < < )个单位后得到函数 ( )的图象，若对满足| ( 1) ( 2)| = 2的6

1， 2，有| 1 2| = ，求 的值． 7
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】5
13.【答案】3
1 1
14.【答案】( , 0) ∪ (0, )
4 4

15.【答案】解：(1)| | = 1，| | = √ 2， , = ，
4
则
√ 2
= | || |cos < , >= 1 × √ 2 × = 1，
2
2 2
故| + | = √ + + 2 = √ 1 + 2 + 2 = √ 5；
(2)( + ) ⊥ ( 2 )，
2
2
则( + ) ( 2 ) = + (1 2 ) 2 = 0，即 + 1 2 4 = 0，解得 = 3．
1
16.【答案】解：(1)当 = 时， ( ) = 1 + ln ，则 ′( ) = 1 , ′(1) = 0，

又 (1) = 0 + = 2，
所求切线方程为 2 = 0( 1)，即 = 2；
(2) ( ) ≥ 2转化为 + 2 + ≥ 2，
可得 + 2 + + 2 ≥ + ， > 0，
构造函数 ( ) = + ，易得 ( )在 单调递增，
所以有 ( + 2) ≥ ( )，由 ( )在 单调递增，
故可得 + 2 ≥ ，即有 ≥ + 2在(0,+∞)恒成立，
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1
令 ( ) = + 2， ′( ) = 1 = 0，得到 = 1，

可得 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
∈ (1,+∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( )在 = 1时取最大值，
所以 ≥ (1) = 1，得到 ≥ ，
即 的取值范围是[ , +∞)．
17.【答案】解：(1)由( ) = (2 ) ，
根据正弦定理，化简得( ) = (2 )，
等式的两边约去 ，可得 = 2 ，即 = 2 ，
1
所以1 = 2 ，可得 = ，结合 ∈ (0, )，可知 = ；
2 3
2 1
(2)由 = ，可得 + = ，所以cos( + ) = ，
3 3 2
1 3 1
即 = ，结合 = ，解得 = ，
2 8 8
因为△ 的外接圆半径为 = 4，所以 = 4 2 = 8，
1 1 √ 3
可得 △ = = × 8 × = 2√ 3． 2 2 2
18.【答案】解：(1)在等差数列{ }中， 1 = 2，设公差为 ，
由 2， 3 + 2， 8构成等比数列，可得
2
2 8 = ( 3 + 2) ，
即有(2 + )(2 + 7 ) = (4 + 2 )2，解得 = ±2( 2舍去，由于 2 = 0)，
则 = 2 + 2( 1) = 2 ；
(2) = 2
+ 9 = 4 + 9，
4(1 4 ) 4 +1 4
= (4 + 16+. . . +4
) + 9 = + 9 = + 9 ，
1 4 3
1 1
由 5 = × (4
6 4) + 45 = 1409 < 2024， 6 = × (4
7 4) + 54 = 5514 > 2024，
3 3
且{ }为递增数列，
所以 ≥ 2024时，正整数 的最小值为6．

19.【答案】解：(1)因为 ( ) = sin( + )( > 0)，在( , )上有最小值，无最大值，
3 6 3
2
所以| | ≤ = ，故有0 < ≤ 12，
3 6

又 = 与 = 在一个周期内，且 ( ) = ( )，
6 3 6 3
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+
所以 = 6 3 = 时，函数 ( )取到最小值，
2 4
10
则 + = + 2 ， ∈ ，故有 = + 8 ， ∈ ，
4 3 2 3
14 14
又因为0 < ≤ 12，所以 = ，即 ( ) = sin( + )．
3 3 3
14 3
(2)令 + = ， ∈ ，则 = + ， ∈ ，
3 3 14 14
3
所以 ( )的对称中心为( + , 0)， ∈ ．
14 14
14 3
(3)令 + = + ， ∈ ，则 = + ， ∈ ，
3 3 2 28 14
3
所以 ( )的对称轴方程为 = + ， ∈ ．
28 14
(4)列表如下：
14 3
+ 0 2
3 3 2 2
5

1428 7 4 14
0 1 0 1 0
所以 ( )在一个周期内的图象如下：
14 5 3 3
(5)令 + 2 ≤ + ≤ + 2 ，所以 ( )的单调递增区间是[ + , + ]， ∈ ．
2 3 3 2 28 7 28 7
1 14 1
(6)由 ( ) > ，则sin( + ) > ，
2 3 3 2
14 5 3 3 3
则 + 2 ≤ + ≤ + 2 ， ∈ ，即 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
6 3 3 6 28 7 28 7
1 3 3 3
所以 ( ) > 的解集是[ + , + ]， ∈ ．
2 28 7 28 7
(7)由| ( 1) ( 2)| = 2可知的 ( 1)， ( 2)中一个对应最大值，一个对应最小值，
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对于函数 ( )其最大值与最小值对应的 的距离为半个周期，
3 3
则有| 1 2| + = ，即 = = ． 14 14 7 14
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