广东省肇庆市德庆县香山中学、四会中学2025届高三上学期12月联考数学试卷（含答案）

广东省肇庆市德庆县香山中学、四会中学 2025 届高三上学期 12 月联
考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 2 2 < 0}，集合 = { |1 < < 3}，则 ∪ 等于( )
A. { | 1 < < 3} B. { | 1 < < 1} C. { |1 < < 2} D. { |2 < < 3}
2.已知圆锥的底面半径为√ 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A. 2 B. 2√ 2 C. 4 D. 4√ 2
3.在△ 中，点 在边 上， = 2 .记 = ， = ，则 =( )
A. 3 2 B. 2 + 3 C. 3 + 2 D. 2 + 3
4.已知函数 ( )是定义域为 的偶函数，在区间(0,+∞)上单调递增，且对任意 1， 2，均有 ( 1 2) =
( 1) ( 2)成立，则下列函数中符合条件的是( )
A. = ln| | B. = 3 C. = 2| | D. = | |
5.已知圆柱的高为2，侧面积为4 ，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为( )
8√ 2 8√ 3
A. B. C. 4√ 2 D. 4√ 3
3 3
6.已知{ }是各项均为正数的等差数列，且 6 + 2 7 + 10 = 20，则 7 8的最大值为( )
A. 10 B. 20 C. 25 D. 50

7.已知 ( + ) = ( )，则tan(2 ) =( )
6 3 4
√ 3
A. √ 3 B. C. 2 √ 3 D. 2 + √ 3
3

8.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 ∈ [0,1]时， ( ) = cos ，若函数 = ( + 1)是偶函数，则下
2
列结论不正确的为( )
A. = 1 B. ( )的最小正周期 = 4
C. = ( ) |log6 |有4个零点 D. (2023) > (2022)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 1， 2， 3为复数， 1 ≠ 0.下列命题中正确的是( )
A. 若| 2| = | 3|，则 2 = ± 3 B. 若 1 2 = 1 3，则 2 = 3

C. 若 2 = 3，则| 1 2| = | 1 3| D. 若
2
1 2 = | 1| ，则 1 = 2

10.如图是函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图像，则( )
2
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A. ( )的最小正周期为
5
B. = 是函数 = ( )的一条对称轴
6

C. 将函数 = ( )的图像向右平移 个单位后，得到的函数为奇函数
3
5 4
D. 若函数 = ( )( > 0)在[0, ]上有且仅有两个零点，则 ∈ [ , )
6 3
11.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别是 1，
1， 1 1的中点， 是线段 1 1上的动点，则( )
A. 存在点 ，使 ， ， ， 四点共面
B. 存在点 ，使 //平面
1
C. 三棱锥 的体积为
3
9
D. 经过 ， ， ， 四点的球的表面积为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
3
12.记 为等比数列{ }的前 项和，若 1 = 1， 3 = ，则 4 =______． 4
2
13.曲线 = 在 = 1处的切线的倾斜角为 ，则cos(2 + )的值为______．
2
3 + 3 2 2, ≤ 0,
14.已知 ( ) = { 若函数 ( ) = ( ) 有两个零点，则 的取值范围为______．
, > 0,

四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足 = 2 ( + )．
(1)求 ；
(2)已知点 在边 上，且 是∠ 的平分线， = 2，求 + 的最小值．
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16.(本小题12分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1是菱形，且 = 1．
(1)证明：面 1 ⊥面 1 ；
(2)若∠ 1 = 60°， 1 = = 1，求二面角 1 1 1的余弦值．
17.(本小题12分)

已知函数 ( ) = + ( ∈ )．

(1)求 ( )的极值；
1
(2)对任意 ∈ (0,1)，不等式 ( ) > 恒成立，求 的取值范围．

18.(本小题12分)
设数列{ }的前 项和为 ，已知 = 2 + 1．
(1)证明：数列{ + 1}是等比数列；
, 为奇数
(2)若数列{ }满足 1 = 2， +1 = { ，求数列{ }的前2 项的和．
, 为偶数
19.(本小题12分)
记 ′( )， ′( )分别为函数 ( )， ( )的导函数．若存在 0 ∈ ，满足 ( 0) = ( 0)且 ′( 0) = ′( 0)，则
称 0为函数 ( )与 ( )的一个“ 点”．
(1)证明：函数 ( ) = 与 ( ) = 2 + 2 2不存在“ 点”；
(2)若函数 ( ) = 2 1与 ( ) = 存在“ 点”，求实数 的值；

(3)已知函数 ( ) = 2 + ， ( ) = .对任意 > 0，判断是否存在 > 0，使函数 ( )与 ( )在区间

(0,+∞)内存在“ 点”，并说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】
8
3
13.【答案】
5
1
14.【答案】( ∞, 2) ∪ ( , 2)

15.【答案】解：(1)由正弦定理得 = 2 ( + ) = 2 ，
1
因为 ≠ 0，所以 = ，
2

又 ∈ (0, )，所以 = ．
3

(2)因为 是∠ 的平分线，所以∠ = ∠ = ，
6
1 1 1
又 △ = △ + △ ，所以 = 2 sin + 2 sin ， 2 3 2 6 2 6
√ 3 1 1 √ 3
化简得 = + ，所以 + = ，
2 2
2 1 1 2 2 8√ 3
所以 + = ( + )( + ) = (1 + + + 1) ≥ (1 + 1 + 2√ ) =
√ 3 √ 3 √ 3 3

当且仅当 = 时，等号成立．

8√ 3
即 + 的最小值为 ．
3
16.【答案】解：(1)证明：设 1与 1 交于 ，连接 ，
因为侧面 1 1是菱形，所以 1 ⊥ 1 ， = 1 ，
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又 = 1，所以 ⊥ 1，又 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 ，
故 AB 1 ⊥平面 1 ，又 1 平面 1，
故平面 1 ⊥平面 1 ；
(2)由 1 = ， 1 = ，故 C ⊥ 1 ，又由(1)知 ⊥ 1，且 1 ∩ 1 = ， 1， 1 平面 1 1，
故 ⊥平面 1 1．
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立如图所示空间直角坐标系，
设 1 = = 1 = 2，则 = √ 4 1 = √ 3，
则 (0,0,√ 3)， 1( √ 3, 0,0)， 1(0, 1,0)， (0,1,0)，
由 1 = 1 = ( √ 3, 1,0)，得 1( √ 3, 1,√ 3)，
所以 1 1 = ( √ 3, 1,0)， 1 = (0,1, √ 3)， 1 1 = ( √ 3, 0, √ 3)，
设平面 1 1的一个法向量为 = ( , , )，
1 1 = √ 3 + = 0由{ ，取 = 1，得 = (1, √ 3, 1)，
1 = + √ 3 = 0
设平面 1 1 1的一个法向量为 = ( , , )，
1 1 = √ 3 + = 0由{ ，取 = 1，得 = (1,√ 3, 1)，
1 1 = √ 3 + √ 3 = 0
1+3 1 3
故cos < , >= = ，又二面角 1 1 1为锐角， √ 5×√ 5 5
3
故二面角 1 1 1的余弦值为 ． 5
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1
17.【答案】解：(1) ( )的定义域为(0,+∞), ′( ) =
2
= ，
2
当 ≤ 0时， ′( ) > 0恒成立，此时 ( )单调递增， ( )无极值，
当 > 0时，令 ′( ) = 0，得 = ，
故当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ ( ,+∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
此时 ( )在 = 处取到极小值 + 1，无极大值；

1 +
(2)对任意0 < < 1时， ( ) > 恒成立，代入化简即 > 恒成立，
1
1
+ 1
令 ( ) = , ∈ (0,1)，则 ′( ) =
1 2
，
( 1)
1 1
令 ( ) = 1 , ∈ (0,1)，则 ′( ) = < 0，

1
即 ( )在区间(0,1)上单调递减，又 ( ) = 0，

1
所以当 ∈ (0, )时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，此时 ( )单调递增，

1
当 ∈ ( , 1)时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，此时 ( )单调递减，

1 1 1
1 ln + 2 1
所以 ( ) = ( ) = = ， 1 1

1 1
所以 > ，即 的取值范围为( , +∞)．

18.【答案】解：(1)证明：设数列{ }的前 项和为 ，已知 = 2 + 1，
当 = 1时，得 1 = 1 = 2 1 1 + 1，解得 1 = 0；
由 = 2 + 1，得 +1 = 2 +1 ( + 1) + 1，
两式相减可得 +1 = 2 +1 2 1，
即 +1 = 2 + 1，又 1 + 1 = 2，
+1
所以 +1 + 1 = 2( + 1)，即
+1 = 2，
+1
所以{ + 1}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2) 1 = 2 = 2 1 = 1， + 1 = 2
1，即 1 = 2 1，
, 为奇数 2
1 1, 为奇数
+1 = { = { ，
, 为偶数 2 1 1 , 为偶数
当 为偶数时， 1 + +1 = 2 1，
当 为奇数时， 1 +1 = 2 1，
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所以 1 + 2 + + 2 = 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) + + ( 2 2 + 2 1) + 2
= 1 + 21 1 + 23 1 + + 22 3 1 + 22 2 1
2(1 4 1)
= 1 + ( 1) + 22 2 1
1 4
5×22 2 3 +1
= ．
3
19.【答案】(1)证明： ′( ) = 1， ′( ) = 2 + 2，
2
则由定义得{ = + 2 2，得方程无解，
1 = 2 + 2
则 ( ) = 与 ( ) = 2 + 2 2不存在“ 点”；
1
(2)解： ′( ) = 2 ， ′( ) = ， > 0，

1 1
由 ′( ) = ′( )得 = 2 ， > 0，得 = √ ，
2
1 1 1 1
(√ ) = = (√ ) = 2 ，得 = ；
2 2 2 2 2
( 1)
(3)解： ′( ) = 2 ， ′( ) = 2 ，( ≠ 0)，
2 3
由 ′( 0) = ′( 0)，假设 > 0，得
0 = 0 > 0，得0 < < 1，
0 1
0
0 2 2 2 2
由 ( 2 0 2 00) = ( 0)，得 0 + = = ，得 = ， 0 0 1 0 0 1
2 22
3+3 2+
令 ( ) = = ，( > 0,0 < < 1)，
1 1
设 ( ) = 3 + 3 2 + ，( > 0,0 < < 1)，
则 (0) = < 0， (1) = 2 > 0，得 (0) (1) < 0，
又 ( )的图象在(0,1)上不间断，
则 ( )在(0,1)上有零点，
则 ( )在(0,1)上有零点，
则存在 > 0，使 ( )与 ( )在区间(0,+∞)内存在“ ”点．
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