陕西省宝鸡市2025届高三上学期联考数学试卷（含答案）

陕西省宝鸡市 2025 届高三上学期联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { ∈ |1 ≤ < 5}， = { ∈ | 2 3 4 < 0}，则 ∩ =( )
A. ( 1,1] B. ( 1,4) C. [1,4) D. [1,5)
2.已知复数 满足(1 + ) = 2 + 3 ，则复数 的虚部为( )
1 5 1 5
A. B. C. D.
2 2 2 2
3.已知向量 = ( + 3,2 + 1)， = ( + 3, 5)，则“| | = 2”是“ ⊥ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.圆 2 + 2 2 8 + 13 = 0的圆心到直线 + 1 = 0的距离为1，则 =( )
4 3
A. B. C. √ 3 D. 2
3 4
4
5.已知sin( + ) = 2 ( )， + = ，则 =( )
3
1 1
A. 3 B. 3 C. D.
3 3
6.等比数列{ }的各项均为正数，且2 1 + 3 2 = 1，
2
3 = 9 2 6.设 = log3 1 + log3 2 + +log3 ，则
1
数列{ }的前 项和 =( )
2 1 1 4 A. 2 B. C. [1 ( ) ] D.
+1 2 3 ( +1)
2 2
7.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 (5,0)，过点 的直线交双曲线 于 、 两点.若 的
中点坐标为(6, 2)，则 的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. = 1 B. = 1 C. = 1 D. = 1
5 20 16 9 9 16 15 10
8.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位：
万元)等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年(2023年)该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公
司从2023年到2032年该产品的销售总额约为(参考数据：1.310 ≈ 13.79)( )
A. 3937万元 B. 3837万元 C. 3737万元 D. 3637万元
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列命题正确的是( )
A. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥ B. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥
C. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥ D. 若 // ， // ，则 //
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10.已知函数 ( ) = |log 22|1 ||，若函数 ( ) = ( ) + ( ) + 2 有6个不同的零点，且最小的零点为 =
1，则下列说法正确的是( )
A. = 0 B. + = 1 C. = 1 D. 6个零点之和是6

11.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0)，则下列说法正确的是( )
6
4 7
A. 当 = 3时， ( )在( , )上单调递增
9 9

B. 若| ( 1) ( 2)| = 2，且| 1 2| = ，则函数 ( )的最小正周期为 2

C. 若 ( )的图象向左平移 个单位长度后，得到的图象关于 轴对称，则 的最小值为3
12
23 29
D. 若 ( )在[0,2 ]上恰有4个零点，则 的取值范围为[ , )
12 12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.过原点且倾斜角为60°的直线被圆 2 + 2 4 = 0所截得的弦长为______．
13.已知数列{ }前 项和为 ，且 = 2 1， ∈ +，若存在两项 ， 使得√ = 2 1，当 > 0，
9 1
> 0， + = + 时，则 + 最小值是______．

14.已知曲线 ( ) = + 在点(0, (0))处的切线与曲线 = ln( 1) + 相切，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知⊙ 的半径为1，点 在直径 的延长线上， = 1，点 是半圆上的一个动点，以 为边作正
三角形 ，且点 与圆心分别在 两侧．
(1)若∠ = ，试将四边形 的面积 表示成 的函数；
(2)求四边形 面积的最大值？
16.(本小题15分)
统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为2020年 2024年我国在线直
播生活购物用户规模(单位：亿人)，其中2020年 2024年对应的代码依次为1 5．
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年份代码 1 2 3 4 5
市场规模 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36

参考数据： ≈ 5.16， ≈ 1.68，∑5 =1 ≈ 45.10，其中 = √ ．
参考公式：对于一组数据( 1, 1)，( 2, 2)… ( , )，其经验回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘
∑


估计公式分别为 = =1 2 , ≈ 1.83．
∑ 2 =1
(1)由上表数据可知，若用函数模型 = √ + 拟合 与 的关系，请估计2028年我国在线直播生活购物用
户的规模(结果精确到0.01)；
(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率 ，现从我国在线直播购物用户中随
机抽取5人，记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为 ，若 ( = 5) = ( = 4)，求 的数学期望和
方差．
17.(本小题15分)
如图，在正四棱柱 1 1 1 1中， = 2， 1 = 4.点 2， 2， 2， 2分别在棱 1， 1， 1， 1
上， 2 = 1， 2 = 2 = 2， 2 = 3．
(1)证明： 2 2// 2 2；
(2)是在棱 1上否存在点 ，使得二面角 2 2 2为150°，若存在，求出点 位置，若不存在，请说明
理由．
18.(本小题17分)
2
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的准线与椭圆 + 2 = 1相交所得线段长为√ 3．
4
(1)求抛物线 的方程；
(2)设圆 过 (2,0)，且圆心 在抛物线 上， 是圆 在 轴上截得的弦.当 在抛物线 上运动时，弦 的
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长是否有定值？说明理由；
(3)过 (1,0)作互相垂直的两条直线交抛物线 于 、 、 、 ，求四边形 的面积最小值．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 2 1．
(1)当 = 5时，则过点(0,2)的曲线 ( )的切线有几条？并写出其中一条切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)若 ( )有唯一零点，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2√ 3
13.【答案】4
14.【答案】4 + 2
15.【答案】解：(1)在△ 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos
= 1 + 4 4cos = 5 4cos ，
= △ + △
1 √ 3
= sin + 2
2 4
5√ 3
= √ 3 + (0 < < )；
4
5√ 3 5√ 3
(2) = sin √ 3cos + = 2sin( ) + ，
4 3 4

当 = + 2 ( ∈ )时，又 ∈ (0, )，
3 2
5 5√ 3
∴当 = 时，
6 max
= 2 + ．
4
16.【答案】解：(1)设 = √ ，则 = + ，
∑5

所以 = =1
5 45.10 5×1.68×5.16≈ ≈ 1.98，
∑5 2
2
5 15 5×1.68
2
=1
所以 与 的拟合函数关系式为 = 1.98√ + 1.83，
当 = 9时， = 1.98 × 3 + 1.83 = 7.77，
则估计2028年我国在线直播生活购物用户的规模为7.77亿人；
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(2)由题意知 (5, )，
所以 ( = 4) = 45
4(1 ) = 5 4(1 )， ( = 5) = 55
5，
由 ( = 5) = ( = 4)，可得5 4(1 ) = 5，
又因为0 < < 1，
5
解得 = ，
6
5
所以 ～ (5, )，
6
5 25 5 5 25
所以 ( ) = 5 × = ， ( ) = 5 × (1 ) = ．
6 6 6 6 36
17.【答案】解：(1)证明：以 为坐标原点， ， ， 1所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如
图，
则 (0,0,0)， 2(0,0,3)， 2(0,2,2)， 2(2,0,2)， 2(2,2,1)，
∴ 2 2 = (0, 2,1), 2 2 = (0, 2,1)，
∴ 2 2 // 2 2，
又 2 2， 2 2不在同一条直线上，∴ 2 2// 2 2．
(2)假设在棱 1上存在点 (0,2, )(0 ≤ ≤ 4)，使得二面角 2 2 2为150°，
则 2 2 = ( 2, 2,2), 2 = (0, 2,3 ), 2 2 = ( 2,0,1)，
设平面 2 2的法向量 = ( , , )，
⊥ 2 2 2 2 = 2 2 + 2 = 0则{ ，则{ ，
⊥ 2 2 = 2 + (3 ) = 0
令 = 2，得 = 3 ， = 1，∴ = ( 1,3 , 2)，
设平面 2 2 2的法向量 = ( , , )，
⊥ 2 2 2 2 = 2 2 + 2 = 0则{ ，则{ ，
⊥ 2 2 2 2 = 2 + = 0
令 = 1，得 = 1， = 2，∴ = (1,1,2)，
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| | 6 √ 3
∴ |cos < , > | = = = | 150°| =
| || | 2 ，
√ 6√
2 2
4+( 1) +(3 )
化简可得， 2 4 + 3 = 0，解得 = 1或 = 3，∴ (0,2,1)或 (0,2,3)，
所以在棱 1上存在点 ，使得二面角 2 2 2为150°，点 是线段 1靠近两端点的两个四等分点．
18.【答案】解：(1)由已知，抛物线 的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是 √ 3( , )，
2 2
把 √ 3
2
( , )代入椭圆方程化简得
3
+ = 1，解得 = 2．
2 2 16 4
所以抛物线 的方程为 2 = 4 ．
(2)假设 在抛物线 上运动时弦 的长为定值，理由如下：
设 ( 0, 0)在抛物线 上，可知 ( 0, 0)到 轴距离为| 0|，
根据圆的弦长公式可知：| | = 2√ | |2 | 0|2，
由已知| |2 = ( 2)2 + 20 0，
2
0 = 4 0，
所以| | = 2√ | |2 | 0|2 = 2√
2 4 + 4 + 20 0 0
2
0 = 4，
则 在抛物线 上运动时弦 的长的定值为4．
(3)解：若过点 且相互垂直的两条直线分别与两条坐标轴垂直，
则其中与 轴重合的直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
1
设过的 的两条直线的方程分别为 = ( 1)、 = ( 1)，其中 ≠ 0，

设直线 = ( 1)交抛物线 于点 ( 1, 1)、 ( 2, 2)，
= ( 1)
由{ 得 2 22 (2
2 + 4) + 2 = 0，
= 4
= (2 2 + 4)2 4 4 = 16 2 + 16 > 0，
2 4
由韦达定理可得 2 +4 + = ，则| | = 2 + 1 + 2 = 4 +1 2 2， 2

同理可得| | = 4 + 4 2，
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1 1 4 1
所以，四边形 的面积 = | | | | = (4 + 2)(4 + 4
2) = 8(2 + 2 +
2 2 2
)

2 1≥ 8(2 + 2√ 2) = 32，

2 1当且仅当 = 2时，即当 = ±1时，等号成立，

即四边形 的面积的最小值为32．
19.【答案】解：(1)当 = 5时， ( ) = 3 5 2 25 1，函数定义域为 ，
可得 ′( ) = 3 2 10 25，
设切点为( 0, 0)，
因为切线过点(0,2)，
所以切线斜率存在，
设切线方程为 = + 2，
0 + 2 =
3
0 5
2
0 25 0 1此时{ 2 ， = 3 0 10 0 25
整理得( 0 1)(2
2
0 3 0 3) = 0，
易知方程2 20 3 0 3 = 0的判别式 > 0，
所以该方程有2个不等实根且不为1，
则( 20 1)(2 0 3 0 3) = 0有3个不等的实根，
即共有3条切线，其中一条切线的切点横坐标为1，
此时 = 3 10 25 = 32，
则切线方程为 = 32 + 2；
(2)易知 ′( ) = 3 2 + 2 2 = (3 )( + )，
当 = 0时， ′( ) = 3 2 ≥ 0，
所以 ( )在 上单调递增；
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当 > 0时， < ，
3
当 < 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；

当 < < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
3

当 > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
3

当 < 0时， > ，
3

当 < 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
3

当 < < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
3
当 > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
综上所述，当 = 0时， ( )在 上单调递增，无递减区间；

当 > 0时， ( )在( ∞, )和( , +∞)上单调递增，在( , )上单调递减；
3 3

当 < 0时， ( )在( ∞, )和( ,+∞)上单调递增，在( , )上单调递减；
3 3
(3)当 = 0时， ( ) = 3 1，
此时函数仅有1个零点1；
当 > 0时，由(2)知， ( )的极大值为 ( )，
当 → +∞时， ( ) → +∞，
若 ( )有唯一零点，
此时 ( ) = 3 + 3 + 3 1 < 0，
解得 < 1，
即 ∈ (0,1)；

当 < 0时，由(2)知， ( )的极大值为 ( )，
3
若 ( )有唯一零点，
5
此时 ( ) = 3 1 < 0，
3 27
3
3 √25
解得 > ，
5
3
3 √25
即 ∈ ( , 0)．
5
3
3 √25
综上，实数 的取值范围为( , 1)．
5
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