福建省南平市某校2025届高三上学期第二次段考数学试卷（PDF版，含答案）

福建省南平市某校 2025 届高三上学期第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |log 22( + 1) < 2}， = { |2 5 3 ≤ 0}，则 ∪ =( )
1
A. { | < ≤ 3} B. { | 1 < ≤ 3}
2
1
C. { | ≤ < 3} D. { | ≤ 3}
2
2.已知 = (1,0)， = (1,1)，若( ) ⊥ ，则实数 =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
3.某班有5名男同学，4名女同学报名参加辩论赛，现从中选取4名同学组成一个辩论队，要求辩论队不能全
是男同学也不能全是女同学，则满足要求的辩论队数量是( )
A. 120 B. 126 C. 210 D. 420

4.中国的5 技术领先世界，5 技术的数学原理之一便是著名的香农公式 = 2(1 + )，它表示在受噪
声干扰的信道中，最大信息传递速率 取决于信通带宽 、信道内信号的平均功率 、信道内部的高斯噪声

功率 的大小，其中 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，


由于技术提升，带宽 在原来的基础上增加20%，信噪比 从1000提升至4000，则 大约增加了( )

(附： 5 ≈ 0.6990)
A. 22% B. 33% C. 44% D. 55%

5.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知三个向量 = ( , cos )， = ( , cos )， = ( , cos )
2 2 2
共线，则△ 的形状为( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形．

C. 有一个角是 的直角三角形 D. 等腰直角三角形
6

6.定义在(0, )上的函数 ( )， ′( )是 ( )的导函数，且 ′( ) < ( )成立， = 2 ( ), =
2 3
2√ 3
√ 2 ( ), = ( )，则 ， ， 的大小关系为( )
4 3 6
A. > > B. > > C. > > D. > >
1, > 0
7.已知函数 ( ) = {3 若 < ，且 ( ) = ( )，则 的取值范围是( )
+ 1, ≤ 0
2
3 1 3 1 2 2 3 1
A. [ 2, ln + ] B. ( 2, ln + ) C. ( , 2] D. ( , ln + ]
2 3 2 3 3 3 2 3
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+
8.已知向量| | = | | = 4， = 8， = ，且| | = 1，则 与 夹角的最大值为( )
2
5
A. B. C. D.
6 4 3 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点 是△ 的中线 上一点(不包含端点)且 = + ，则下列说法正确的是( )
A. + 2 = 1 B. 2 + = 1
1 2C. 2 + 4 ≥ 2√ 2 D. + 的最小值是9


10.设函数 ( ) = sin( )( > 0)，则下列结论正确的是( )
6

A. ∈ (0,2)， ( )在[ , ]上单调递增
6 4
B. 若 = 2且| ( 1) ( 2)| = 2，则| 1 2| =
5 8
C. 若| ( )| = 1在[0, ]上有且仅有2个不同的解，则 的取值范围为[ , )
3 3

D. 存在 ∈ (0,2)，使得 ( )的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
6
11.已知函数 ( ) = ( 1) ( ≠ 0)在区间(0, +∞)上有两个不同的零点 1， 2，且 1 < 2，则
下列选项正确的是( )
A. 的取值范围是(0,1) B. 1 2 = 1
4
C. ( 1 + 1)( 2 + 1) > 4 D. 1 + 2 < 2 < 1 + 2 + 3
三、填空题：本题共 3 小题，共 20 分。
12.已知 = (1,2)， = ( 2,2)，则 在 方向上的投影向量坐标为______．
1
13.若( + )(2 )5的展开式中各项系数的和为2，则 = ______，该展开式中的常数项为______．

1
14.对于函数 ( ) = 2 + ， ( ) = ，若对任意的 1 ∈ [0,1]，存在唯一的 2 ∈ [ 2 , ]使得 ( 1) =
( 2)，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
1
已知 = (√ 3 + , 1)， = ( , )，其中 > 0，若函数 ( ) = 的最小正周期为4 ．
2
(1)求 的值，并求 ( )的单调递增区间；
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1
(2)将 ( )图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，再将得到的图象上所有点向右平移 个单
2 4
√ 3
位，得到 ( )的图象.若 ∈ (0, )，求满足 ( ) = 的 的取值集合．
2
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 3 ， ( ) = 2 ．
(1)若函数 ( ) = ( ) + ( )在 = 1处取得极大值，求 ( )的极值及单调区间；
(2)若 > 0，不等式 ( ) > 2 ( )对一切 ∈ +恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
√ 3
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 = ．

(1)求角 的大小；
(2)若△ 为锐角三角形且 = 2√ 6，求△ 面积的取值范围．
18.(本小题12分)
为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进
行了统计，得到如下的列联表：附表：
每天看电子产品的时间
近视情况 合计
超过一小时 一小时内
近视 10人 5人 15人
不近视 10人 25人 35人
合计 20人 30人 50人
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2
2 ( ) = ．
( + )( + )( + )( + )
(1)根据小概率值 = 0.05的 2独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
(2)在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
(3)以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为 ，每天看电子产品超过一小时的
人数为 ，求 ( = )的值．
19.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = 4 2 3( ∈ )．
2
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(1)若 = 1，求 ( )的图象在 = 1处的切线方程；
(2)若 ( )恰有两个极值点 1， 2( 1 < 2).
( )求 的取值范围；
( )证明： ( 1) + ( 2) < 4 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1 1
12.【答案】( , )
2 2
13.【答案】1 40
2
14.【答案】( 1 2 , 1]
1
15.【答案】解：(1)已知 = (√ 3 + , 1)， = ( , )，其中 > 0，
2
又 ( ) = ，
1
则 ( ) = = √ 3 + cos2 ，
2
√ 3 1
= 2 + 2 = sin(2 + )，
2 2 6
2
所以 = 4 ，
2
1
解得 = ，
4

所以 ( ) = sin( + )，
2 6

令2 ≤ + ≤ 2 + ， ∈ ，
2 2 6 2
4 2
所以4 ≤ ≤ 4 + ， ∈ ，
3 3
4 2
所以函数 ( )的单调递增区间为[4 , 4 + ]( ∈ )．
3 3
1
(2)将 ( )图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，得 = sin( + )，
2 6
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再将得到的图象上所有点向右平移 个单位，得 = sin( + ) = sin( )，
4 4 6 12

即 ( ) = sin( )，
12
√ 3 11
由 ( ) = sin( ) = ， ∈ ( , )，
12 2 12 12 12
2
得 = 或 = ，
12 3 12 3
5 3
所以 = 或 = ，
12 4
5 3
故 的取值集合{ , }．
12 4
16.【答案】解：(1) ( ) = ( ) + ( ) = 2 3 + 2 ，定义域为(0, +∞)，
2 2 2 3 + 2 (2 )( )
则 ′( ) = 2 3 + = = ，

因为函数 ( ) = ( ) + ( )在 = 1处取得极大值，
所以 ′(1) = (2 )(1 ) = 0，解得 = 1或2，
(2 1)( 1)
当 = 1时， ′( ) = ，

1 1
令 ′( ) > 0得 > 1或0 < < ，令 ′( ) < 0得 < < 1，
2 2
1 1
故 ( )在(0, ), (1, +∞)上单调递增，在( , 1)上单调递减，
2 2
此时 = 1为极小值点，不合要求，
(2 2)( 2)
当 = 2时， ′( ) = ，

令 ′( ) > 0得 > 2或0 < < 1，令 ′( ) < 0得1 < < 2，
故 ( )在(0,1)，(2, +∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
此时 = 1为极大值点，满足要求，
综上， ( ) = 2 6 + 4 ， ( )有极大值 (1) = 1 6 = 5，无极小值，
单调递增区间为(0,1)，(2, +∞)，单调递减区间为(1,2)；
(2) ( ) = ( ) 2 ( ) = 2 3 2 2 ，定义域为(0, +∞)，
2 2 2 2 3 2 2 (2 + )( 2 )
则 ′( ) = 2 3 = = ，

因为 > 0，所以2 + > 0，
令 ′( ) > 0得 > 2 ，令 ′( ) < 0得0 < < 2 ，
故 ( )在(0,2 )上单调递减，在(2 , +∞)上单调递增，
则 ( ) = (2 ) = 4
2 6 2 2 2 2 = 2 2 2 2 2 ，
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令 2 2 2 2
1
2 > 0得， 2 < 1，解得0 < < ，
2
1
故实数 的取值范围是(0, )．
2
√ 3 √ 3 √ 3 +
17.【答案】解：(1)由 = ，得 = + ，即 = =

sin( + )
，

√ 3
而 = sin( ) = sin( + )，结合正弦定理得 = ，

√ 3 1
由 为三角形的内角，可知 > 0，所以 = ，可得 = √ 3，结合 ∈ (0, )，所以 = ；
3

(2)由正弦定理，得 = = = 4√ 2，所以 = 4√ 2 ，

√ 3 1
= 4√ 2 = 4√ 2sin( + ) = 4√ 2( + ) = 2√ 2 + 2√ 6 ，
3 2 2
1 1
因此，△ 的面积 = = × 4√ 2 (2√ 2 + 2√ 6 )sin = √ 6(2√ 2sin2 +
2 2 3
2√ 6 )

= √ 6[√ 2(1 2 ) + √ 6 2 ] = 2√ 3(√ 3 2 2 ) + 2√ 3 = 4√ 3sin(2 ) + 2√ 3，
6
5
因为锐角三角形 中， < < ，可得2 ∈ ( , )，
6 2 6 6 6

所以当 = 时，△ 的面积 取得最大值4√ 3 + 2√ 3 = 6√ 3，且△ 的面积 的最小值大于2√ 3 +
3
2√ 3 = 4√ 3，
综上所述，△ 面积的取值范围为(4√ 3, 6√ 3].
18.【答案】解：(1)零假设 0为：学生患近视与长时间使用电子产品无关，
2
50×(10×25 10×5) 400
计算可得， 2 = = ≈ 6.349 > 3.841 = ，
15×35×20×30 63 0.05
根据小概率值 = 0.05的 2独立性检验，我们推断 0不成立，即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯
有关；
(2)每天看电子产品超过一小时的人数为 ，
2 1 3 45×5+120 69
则 ( ≥ 2) = ( = 2) + ( = 3) = 10 53 +
10
3 = = ， 455 9115 15
69
所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是 ；
91
1 1 1 1 1 1
(3)依题意， ( = = 0) = × = ， ( = = 2) = × = ，
2 2 4 5 5 25
事件 = = 1包含两种情况：
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①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；
②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，
1 1 1 1 6
于是 ( = = 1) = 12 × × +
1 × × = ，
2 5 2 5 10 25
1 1 6 53
所以 ( = ) = ( = = 0) + ( = = 1) + ( = = 2) = + + = ．
4 25 25 100
1 1 1
19.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 4 2 3， (1) = 4 × 1 1 × 1 3 = ，
2 2 2
1 2+4 1 1+4 1
′( ) = 4 = ，则 ′(1) = = 2，
1
1
则 ( )的图象在 = 1处的切线方程为 = 2( 1) + ，即4 2 3 = 0；
2
2+4
(2)( ) ′( ) = 4 = ( > 0)，

令 ( ) = 2 + 4 ( > 0)，由 ( )恰有两个极值点 1， 2( 1 < 2)，
则 2 + 4 = 0有两个不同实数根 1， 2，且0 < 1 < 2，
= 16 4 > 0
则有{ 1 2 = > 0 ，即0 < < 4，即 的取值范围是(0,4)；
1 + 2 = 4
( )证明：由( )知，0 < < 4，且 1 2 = ， 1 + 2 = 4，
1 1
则 ( 1) + ( 2) = 4 1 1
2
1 3 + 4 2 2
2
2 3 2 2
1
= 4( 1 + 2) 1 2 [( 1 +
2
2) 2 1 2] 6 2
1
= 4 × 4 (42 2 ) 6 = 2 + ，
2
则要证 ( 1) + ( 2) < 4 ，即证2 + < 4 ，
即 + 2 < 0，
令 ( ) = + 2(0 < < 4)，
1 1
′( ) = 1 + 1 = ，

1 1 1
令 ( ) = ，则 ′( ) = < 0在 ∈ (0,4)上恒成立，
2
故 ( )在(0,4)上单调递减，
1 1
又 (1) = 1 1 = 1 > 0， (2) = 2 < ln√ < 0，
2 2
1 1
故存在 0 ∈ (1,2)，使 ( 0) = 0 = 0，即 0 = ， 0 0
则当 ∈ (0, 0)时， ′( ) > 0， ∈ ( 0, 4)时， ′( ) < 0，
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即 ( )在(0, 0)上单调递增，在( 0, 4)上单调递减，
1 1 1
则 ( ) ≤ ( 0) = 0 + 0 0 0 2 = 0 + 0 × 2 = + 3， 0 00 0
1
由对勾函数性质可知， = + 在(1,2)上单调递增，

1 1
由 0 ∈ (1,2)，则 0 + 3 ∈ ( 1, )， 0 2
即 ( ) ≤ ( 0) < 0，即 + 2 < 0，
即可得证： ( 1) + ( 2) < 4 ．
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