江苏省无锡市辅仁高级中学2025届高三上学期12月调研数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省无锡市辅仁高级中学 2025 届高三上学期 12 月调研数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 1， 2是两个复数，则“ 1， 2互为共轭复数”是“ 1 + 2为实数”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合 = {1,2,3,4,5}，且 ∩ = ，则集合 可以是( )
A. {1,2,3} B. { | 2 > 1}
C. { |log2( 2) < 2} D. { |2
> 1}
2
3.已知cos( ) = ， = 3，则cos( + ) =( )
3
1 1 2 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
1
4.已知向量 ， 满足| | = 4，| | = 2，且 在 上的投影向量为 ，则cos , 的值为( )
4
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 2 8 8
5.已知{ }是各项均为正数的等差数列， 为其前 项和，且 6 + 2 7 + 10 = 20，则当 7 8取最大值时，
10 =( )
A. 10 B. 20 C. 25 D. 50
1
6.若斜率为1的直线 与曲线 = ln( )和圆 2 + 2 = 都相切，则实数 的值为( )
2
A. 2 B. 0或 2 C. 0或2 D. 2
2
7.已知椭圆 + 2 = 1， 为椭圆上任意一点，过点 分别作与直线 1： = 2 和 2： = 2 平行的直线，4
分别交 2， 1交于 ， 两点，则| |的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.已知某正三棱柱的外接球的表面积为8 ，则该正三棱柱的体积的最大值为( )
A. 4√ 2 B. 3√ 2 C. 2√ 2 D. √ 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 3， +1 = 则( ) 1
2 1
A. 3 = B. > 0 C. = D. = 40 3 5 2024 2 37
10.关于函数 ( ) = 3 3 + 1，下列说法正确的是( )
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A. ( )有两个极值点 B. ( )的图象关于(0, 1)对称
C. ( )有三个零点 D. 2 10°是 ( )的一个零点
11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的
成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操
的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 ： 2 =
2 ( > 0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与 围
成的(如图阴影区域)， ， 为 与其中两条曲线的交点，若： = 2，则( )
A. 开口向上的抛物线的方程为 = 4 2
B. | | = 8
C. 直线 + = 截第一象限花瓣的弦长最大值为√ 2
D. 阴影区域的面积不大于32
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知函数 ( ) = ( > 0)，若 ( + )为偶函数，且 ( )在区间(0, )内仅有两个零点，则 的值是
2
______．
2 2
13.已知 1， 2分别为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过 1的直线与双曲线左支交于 ，
两点，且 1 = 2 1 ，以 为圆心， 2为半径的圆经过点 ，则 的离心率为______．
14.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ( ≠ ).已知 = 2 ，则 + 的最大值是
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
设数列{ }是首项为1的等比数列，已知 1, 2 + , 4 3成等差数列，数列{ }满足

2
= ．
2
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；
(2)记 和 分别为数列{ }和{ }的前 项和，试比较 与 的大小．
16.(本小题15分)
如图，已知直线与抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)交于 ， 两点，且 ⊥ ， ⊥ 交 于点 ，点 的坐
标为(1,1)，
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(1)求 的值．
(2)若线段 的垂直平分线于抛物线 交于 ， 两点，求△ 的面积．
17.(本小题15分)
已知三棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥平面 ．
(1)求证： ⊥ ；
√ 5
(2)若二面角 的正弦值为 ，且 = 2， = 1，求 ．
3
18.(本小题17分)
在△ 中，角 ， ， 的对边是 ， ， ，已知 + = √ 2 ， 为常数．
(1)若 = 0， = 2.求△ 面积的最大值；
√ 2
(2)若 = 1， + = ，求 的值．
3
19.(本小题17分)
已知直线 = + ( > 1)与 轴交于 点，与曲线 = 交于 ( 1 , 1)， ( 2, 2)两点(其中 在第一象限，
在第二象限)．
(1)若 = = ，试比较 1 + 2与0的大小；
(2)①若点 恰好为 的中点，证明： > 1；
②设 (1,0)，若 ≥ 1，证明| | > | |．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
√ 17
13.【答案】
3
8√ 3
14.【答案】
9
15.【答案】解：(1)设等比数列{ }的公比为 ( ≠ 0)，
1
因为{ }的首项为1且 1、 2 + 、4 3成等差数列， 2
1 1
所以2( 2 + ) = 1 + 4 3，即2( + ) = 1 + 4
2，
2 2
1 1
解得 = 或 = 0(舍去)，所以 = ( )
1， =
= ． 2 2 2 2
1
1 1
(2)由(1)可得， 2 = 1 = 2(1 )．
1 2
2
1 2 3 1
因为 = +2 22
+
23
+. . . + + ，①
2 1 2

1 1 2 2 1
则 = + +. . . + + +
2 22 23 2 1 2 2 +1
，②
1 1
1 1 1 1 1 (1 2 )2 +2由① ②得： = + 2 + 3 +. . . + +1 = 1 +1 = 1 +1， 2 2 2 2 2 2 1 2 2
2
2+
所以 = 2 2 ．
2+ 1 2 2+
由 = 2 2(1 ) = 2 2 2 2
=
2
< 0，所以 < ．
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16.【答案】解：(1)根据题意可设直线 的方程为 1 = ( 1)，
2 = 2 ( > 0)
联立{ ，得 2 + 2 4 = 0，设 ( , )， ( , )，
1 = ( 1) 1 1 2 2
所以 = 4 2 + 16 > 0， 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 4 ，
因为 ⊥ ，所以 1 2 + 1 2 = 4 2( 1 + 2) + 2 1 2 = 0，
所以4 + 4 8 = 0，解得 = 1；
(2)如图所示：
设线段 的中点为 ( 0, 0)，
+
则 = 1 20 = = 1，所以 0 = 2 0 = 3， 2
所以 ： + 1 = 3，即 = 4，
2
{ = 2 联立 ，得 2 2 8 = 0， ′ = 4 + 32 = 36 > 0，
= + 4
设 ( 3 , 3)， ( 4, 4)，则 3 + 4 = 2， 3 4 = 8，
所以| | = √ ( 23 4) + ( 3 4)2 = √ 2[( 3 + 24) 4 3 4] = 6√ 2，
| 4|
又点 到直线 的距离为 = 2√ 2，
√ 2
1
所以△ 的面积为 × 6√ 2 × 2√ 2 = 12．
2
17.【答案】(1)证明：过 作 ⊥ 于 ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
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因为 ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，
因此 ⊥ ．
(2)解：解法一：过 作 ⊥ 于 ，连接 ，
则 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 即为二面角 的平面角，
所以 √ 5 √ 5sin∠ = ，tan∠ = ，
3 2
又由(1)可得 ⊥ ， ⊥ ，
设∠ = ，则 = 2 ，
2 2
= 2 2 , = ，
√ 5
2 √ 5
所以tan∠ = = = √ 5 = 2 2 2 ，
√ 5
1
所以 = ，
2
4√ 5
从而 = 2 = ；
5
√ 5 √ 5
解法二：同方法一得sin∠ = ，tan∠ = ，
3 2
√ 2 2 2
设 = ，则 4 = , = , = ，
2 2 2√ 5
√
所以 √ 5 4
2 √ 5 4√ 5
tan∠ = = = ，解得 = ，
2 5
从而 4√ 5 = ；
5
解法三：如图，以 为原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，
建立空间直角坐标系，
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记二面角 为 ，设∠ = ，由法一可知，
(2,0,0)， (0,1,0)， (2 2 2 , 0,2 )，
= ( 2,1,0), = ( 2 2 , 0,2 )，
设面 的法向量为 = ( , , )，
2 + = 0
则{ = 0，即{ ，
= 0 2
2 + 2 sin = 0

令 = 1，得 = (1,2, )，
sin
又面 的法向量为 = (0,0,1)，
记二面角 为 ，则 √ 5 = ，
3

| |sin 2
所以| | = |cos , | = | | = =| | | | √ 2 3
，
5+( )
sin
1 2√ 5
解得 = ，则 = ，
2 5
所以 4√ 5 = 2 = ．
5
18.【答案】解：(1)解法一：当 = 0时， = √ 2 ，
2 4由余弦定理 = 2 + 2 2 得3 2 2√ 2 2 = 4，所以 2 = ， 3 2√ 2

1 √ 2 2√ 2 4√ 2sin cos
△ = =
2 = = 2 2
2 2 3 2√ 2 3(cos2 +sin2 ) 2√ 2(cos2 sin2 )
2 2 2 2

4√ 2sin cos 4√ 2tan
= 2 2 2 = ，
(3 2√ 2)cos2 +(3+2√ 2)sin2 (3 2√ 2)+(3+2√ 2)tan2
2 2 2
4√ 2
设tan = ( > 0)，则
2 △
=
3 2√ 2+(3+2√ 2) 2
4√ 2 4√ 2
= ≤ = 2 2
3 2√ 2 √
+(3+2√ 2) √ 3 2√ 2
，
2 (3+2√ 2)
当且仅当3 2√ 2 = (3 + 2√ 2) ，即 = 17 12√ 2时取等号，

所以△ 面积的最大值为2√ 2．
解法二： = 0时， = √ 2 ，即| | = √ 2| |
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以 所在的直线为 轴， 的中点 为原点建立平面直角坐标系 ，
则 ( 1,0)、 (1,0)，设 ( , )，
由| | = √ 2| |，得√ ( + 1)2 + 2 = √ 2√ ( 1)2 + 2，化简得 2 + 2 + 6 + 1 = 0，
即 的轨迹方程为( 3)2 + 2 = 8( ≠ 0)，
1
所以△ 面积的最大值为 △ = 2 2√ 2 = 2√ 2． 2
(2)解法一：由 + = √ 2 及正弦定理可知 + = √ 2 ，
由 √ 2 + = 及 + + = ，
3
√ 2
得 = cos( + ) cos( + ) = +
3
√ 2
= ( + ) ( + ) = √ 2sin2
3
√ 2
= √ 2(1 cos2 ) ，
3
2
整理可得3 2 + 2 = 0，解得 = 或 = 1(舍)，
3
2 √ 5
故 = √ 1 cos2 = √ 1 ( )2 = ．
3 3
√ 2
解法二：不妨设 = √ 2，则 + = 2，由 + = ，
3
2
+ 2
2
2 2+ 2 2+2 2 2 2可得 +2 √ 2+ = + = ，
2 2 2√ 2 2√ 2 3
4
所以 = ( 2 2 + 2) + ( 2 2 + 2) = ( 2 2)( ) + 2( + )
3
= ( + )( )2 + 2( + ) = 2( )2 + 4
= 2( + )2 + 8 + 4 = 8 4，
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3 2 2 2 2
解得 = ，所以 +
2 ( + ) 2 2
5 = = =
，
2 2 3
因此 √ 5 = √ 1 cos2 = ．
3
19.【答案】解：(1)若 = = ，
此时 + = ，
可得 = 0，
设 ( ) = ，函数定义域为 ，
可得 ′( ) = ，
当 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ (1, +∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( )的最小值为 (1) = < 0，
1
又 ( 1) = > 0， (3) = 3 4 > 0，

由零点存在定理知 1 ∈ (1,3)， 2 ∈ ( 1,1)，
则 1 + 2 > 0；
(2)①证明：因为点 恰好为 的中点，
所以 1 + 2 = 0，且 1 > 0 > 2，
1 = +
因为{ 1

，
2 = 2 +
1 2
整理得 = ，
1 2
要证 > 1，
1 2
需证 > 1，
1 2
即证 1 1 > 2 1，
设 ( ) = 2 ，函数定义域为(0, +∞)，
可得 ′( ) = + 2 > 2√ 2 = 0，
所以 ( )在(0, +∞)上单调递增，
所以 ( ) > (0) = 0，
故 > 1；
1 = +
②证明：因为{ 1

，
2 = 2 +
1 2
所以 = ，
1 2
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因为 ≥ 1，
1 2
即 = ≥ 1，
1 2
所以 1 1 + 2 ≥
2 2 + 2 > 0，
此时( 1 2 2 21 + 2) ≥ ( 2 + 2) ，
即( 1 1 + 2)
2 ( 2 2 + 2)
2 ≥ 0，
要证| | > | |，
需证( 1)2 + 2 11 > ( 2 1)
2 + 2 2，
即证[( 1)2 + 2 11 ] [( 2 1)
2 + 2 2 ] > 0，
因为( 1 1 + 2)
2 ( 2 2 + 2)
2 ≥ 0，
此时需证[( 2 2 11 1) + ] [( 2 1)
2 + 2 2 ] > ( 1 1 + 2)
2 ( 2 2 + 2)
2，
要证[( 1)2 + 2 11 ] (
1 1 + 2)
2 > [( 1)2 + 2 22 ] (
2 22 + 2) ，
即证( 1 2)
1 + 1 > ( 2 2)
1 + 2，
设 ( ) = ( 2) + ，函数定义域为 ，
此时要证 ( 1) > ( 2)，
因为 ′( ) = ( 1) + 1，
令 ( ) = ( 1) + 1，
可得 ′( ) = ，
当 ∈ ( ∞, 0)时， ′( ) < 0， ′( )单调递减；
当 ∈ (0, +∞)时， ′( ) > 0， ′( )单调递增，
所以 ′( ) ≥ ′(0) = 0，
所以 ( )在 上单调递增，
因为 1 > 2，
所以 ( 1) > ( 2).
故| | > | |．
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