上海市金山中学2016届高三第二学期数学双周考（二）试卷

金山中学2015学年第二学期高三数学双周考试（二）
（时间120分钟 满分150分）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）
1. 函数的最小正周期是 。
2. 的展开式中的系数是 （结果用数字作答）。
3. 已知线性方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数的值为 。
4. 若直线的方向向量是直线的法向量，则实数的值等于 。
5．若函数的定义域与值域都是，那么实数的值为 。6. 已知点在焦点为的椭圆上，若，则的值等于 。
7. 【理】在极坐标系中，曲线与极轴交于两点，则两点间的距离等于____________。
【文】设满足约束条件，则的取值范围为 。
8. 从名运动员中选出名运动员组成接力队，参加米接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的概率为 （结果用最简分数作答）。
9．某县共有个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有个。为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本。现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为 。
10．已知点，是抛物线的焦点，若点在抛物线上运动，当取最小值时，点的坐标为 。
11. 在平行四边形中，，则线段的长为____________。
12． 。
13. 已知矩形的周长为，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
14. 对于函数定义域内的值，若对于任意的，恒有（或）成立，则称是函数的极值点。若函数在区间内恰有一个极值点，则的取值范围为 。
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15．“且”是“”的 （ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充分必要条件； D．既不充分又不必要条件。
16. 对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是 （ ）
17. 某科研所共有职工人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是 （ ）
年龄数据的中位数是，众数是 年龄数据的中位数和众数一定相等
年龄数据的平均数 年龄数据的平均数一定大于中位数
18. 如图平行四边形ABCD，点，…，和，…，分别将线段BC和DC等分，……，则的值为（ ）
29 30 31 32
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19. (本题满分12分) 第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分.
如图：将圆柱的侧面沿母线展开，得到一个长为，宽为的矩形。
（1）求此圆柱的体积；
（2）由点拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）。
20.(本题满分14分) 第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.
已知，（是虚数单位）。
（1）当且时，求的值；
（2）设，求的最大值与最小值及相应的值。
21.（本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.
在数列中，。
（1）若数列满足，求证：数列是等比数列；
（2）设，记 ，求使的最小正整数的值。
22．(本题满分16分)第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（2）小题满分6分.
已知椭圆（常数），是曲线上的动点，是曲线上的右顶点，定点的坐标为。
（1）若与重合，求曲线的焦点坐标；
（2）若，求的最大值与最小值；
（3）若的最小值为，求实数的取值范围。
23. (本题满分18分)第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分，第（3）小题满分6分.
设函数。
（1）当时，对于一切，函数在区间内总存在唯一零点，求的取值范围；
（2）若在区间上是单调函数，求的取值范围；
（3）当时，函数在区间内的零点为，判断数列的增减性，并说明理由。
金山中学2015学年第二学期高三数学双周考试（二）答案
（时间120分钟 满分150分）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）
1. 函数的最小正周期是 。
2. 的展开式中的系数是 （结果用数字作答）。
3. 已知线性方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数的值为 。
4. 若直线的方向向量是直线的法向量，则实数的值等于 。
5．若函数的定义域与值域都是，那么实数的值为 。
6. 已知点在焦点为的椭圆上，若，则的值等于 。
7. 【理】在极坐标系中，曲线与极轴交于两点，则两点间的距离等于____________。
【文】设满足约束条件，则的取值范围为 。
8. 从名运动员中选出名运动员组成接力队，参加米接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的概率为 （结果用最简分数作答）。
9．某县共有个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有个。为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本。现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为 。
10．已知点，是抛物线的焦点，若点在抛物线上运动，当取最小值时，点的坐标为 。
11. 在平行四边形中，，则线段的长为____________。
12． 。
13. 已知矩形的周长为，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
14. 对于函数定义域内的值，若对于任意的，恒有（或）成立，则称是函数的极值点。若函数在区间内恰有一个极值点，则的取值范围为 。
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15．“且”是“”的 （ ）D
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充分必要条件； D．既不充分又不必要条件。
16. 对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是 （ ）D
17. 某科研所共有职工人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是 （ ）C
年龄数据的中位数是，众数是 年龄数据的中位数和众数一定相等
年龄数据的平均数 年龄数据的平均数一定大于中位数
18. 如图平行四边形ABCD，点，…，和，…，分别将线段BC和DC等分，……，则的值为（ ）C
29 30 31 32
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19. (本题满分12分) 第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分.
如图：将圆柱的侧面沿母线展开，得到一个长为，宽为的矩形。
（1）求此圆柱的体积；
（2）由点拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）。
解：（1）设圆柱的底面半径为，高为，则，即
（2）设中点为，侧面展开图矩形为，中点为。则绳长的最小值即为侧面展开图中的。
。
所以绳长的最小值为。
20.(本题满分14分) 第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.
已知，（是虚数单位）。
（1）当且时，求的值；
（2）设，求的最大值与最小值及相应的值。
解：（1）由，得
即
因为，则，所以
得：或。
（2）
当，即时，
当，即时，。
21.（本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.
在数列中，。
（1）若数列满足，求证：数列是等比数列；
（2）设，记 ，求使的最小正整数的值。
解：（1）因为，所以，代入得
化简得：
又 所以是以为首项，为公比的等比数列。
（2）由（1）得，所以
由，得
所以
。
若，则，即，得
所以满足条件的最小正整数等于。
22．(本题满分16分)第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（2）小题满分6分.
已知椭圆（常数），是曲线上的动点，是曲线上的右顶点，定点的坐标为。
（1）若与重合，求曲线的焦点坐标；
（2）若，求的最大值与最小值；
（3）若的最小值为，求实数的取值范围。
解：⑴ ，椭圆方程为，
∴ 左、右焦点坐标为。
⑵ ，椭圆方程为，设，则
∴ 时； 时。
⑶ 设动点，则
∵ 当时，取最小值，且，∴ 且
解得。
23. (本题满分18分)第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分，第（3）小题满分6分.
设函数。
（1）当时，对于一切，函数在区间内总存在唯一零点，求的取值范围；
（2）若在区间上是单调函数，求的取值范围；
（3）当时，函数在区间内的零点为，判断数列的增减性，并说明理由。
解：（1）当时，在区间内有唯一零点，
因为函数在区间上是增函数，所以且
即且，由对于恒成立，得
所以的取值范围为。
（2）在区间上是单调函数，设，
由题知或对于恒成立
因为，所以或。
（3）时，，， 在区间上的零点是，所以
由知，，所以，
设在区间上的零点为，所以，即
又函数在区间上是增函数，所以
即数列是递增数列。
A
B
C
D
…
…
A
B
C
D
…
…