四川省资阳市天立学校2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（含答案）

四川省资阳市天立学校 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 3}， = { |2 4}，则 ∩ =( )
A. [ 2,2] B. [ 2, +∞) C. ( ∞, 2] D. ( ∞, 3]
1
2.当 ≠ 0时， 2 + 2的最小值为( )
1
A. B. 1 C. 2 D. 2√ 2
2

3.函数 ( ) = tan(3 )的图象的一个对称中心是( )
3
2
A. ( , 0) B. ( , 0) C. ( , 0) D. ( , 0)
9 18 9 3
4.若 ( ) = ( + 2)( )为奇函数，则 的值为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
5.“ < 2”是“函数 ( ) = lg ( 2 + + 1)的定义域为 ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知 ∈ (0, )，且3 2 + 14 + 7 = 0，则 2 =( )
4√ 2 √ 2 √ 2 4√ 2
A. B. C. D.
7 3 3 7
7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函
数”为：设 ∈ ，用[ ]表示不超过 的最大整数，则称 = [ ]为高斯函数.例如，[2.1] = 2，[ 1.2] = 2，
1 1 1
已知函数 ( ) = [ ]( ≥ )，则函数 ( )的值域为( )
2
A. [0,1) B. (0,2) C. {0,1} D. {0,1,2}

8.已知函数 ( ) = 2 ( )在区间(0, )上恰有一个最大值点与一个最小值点，则正实数 的取值范围
12 3
是( )
19 31 19 31
A. (5,8) B. (5,8] C. ( , ] D. ( , )
4 4 4 4
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. = 180°
B. 第一象限角都是锐角
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C. 在半径为2的圆中， 弧度的圆心角所对的弧长为
6 3

D. 终边在直线 = 上的角的集合是{ | = 2 , ∈ }
4
10.若 > ，则( )
1 1
A. ln( + 1) > 0 B. <

C. 3 > 3 D. | | > | |

2 ( + )cos( )sin( )
11.已知 ( ) = 2 3 ，则下列说法正确的是( )
sin( + )
2
A. ( ) = 2 B. ( ) = 2
3 √ 2 1
C. 若 = 3，则 ( ) = D. 若 = ，则 ( ) =
5 2 2
12.已知正实数 ， 满足 + = 2，则下列结论正确的是( )
A. 2 + 2 ≥ 2 B. > 1 C. √ + √ ≤ 2 D. 3 + 3 ≤ 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2
13.函数 ( ) = √ 的定义域为 ．
ln( +1)
14.已知函数 ( ) = ，则不等式 ( 3) > (1 )的解集为 ．
15.已知函数 ( ) = 23( + 4 + 1)的最大值为2，则 = ．

16.将函数 ( ) = cos(2 )的图象向左平移 (0 < < )个单位长度，得到函数 ( )的图象，若 ( )是偶
6 2
函数，则 = ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知命题 ： ∈ , 2 2 > 0．
(1)写出命题 的否定；
(2)判断命题 的真假，并说明理由．
18.(本小题12分)
3
已知 = 2．
sin +cos
2
(1)若 为锐角，求 = 的值；
3
(2)求 2 2 2 + 1的值．
19.(本小题12分)
已知 > 0， > 0， = + + ．
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(1)当 = 3时，求 的最小值；
1 1
(2)当 = 0时，求 + + + 的最小值．

20.(本小题12分)
某大学科研小组自2023年元旦开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的
生长面积为 (单位： 2)，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了
4 2，二月底测得绿球藻的生长面积为(4√ 2 + 2) 2，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越
来越慢，绿球藻生长面积 (单位： 2)与时间 (单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是 =
1
( > 0, > 1)；另一个是 = 2 + ( > 0, > 0)，记2023年元旦最初测量时间 的值为0．
(1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
(2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积 的7倍？
21.(本小题12分)
4 +
已知函数 ( ) = ( > 0)满足[ (1)]2 = (2) + 2． ×2
(1)求实数 的值；
(2)求函数 ( ) = (2 ) 2 ( )的值域．
22.(本小题12分)
3√ 3
函数 ( ) = 3 ( + )( > 0,0 < < )的部分图象如图所示，该图象与 轴交于点 (0, )，与 轴交
2 2
3
于点 ， ， 为最高点，△ 的面积为 ．
4
(1)求函数 ( )的解析式；

(2)若对任意的 ∈ [0, ]，都有| ( ) + 3 3 | ≤ 3，求实数 的取值范围． 3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】{ | 2 或 1 < < 0}
14.【答案】(2, +∞)
15.【答案】6

16.【答案】
12
17.【答案】解：(1)命题 ： ∈ , 2 2 > 0，
则命题 的否定为 ∈ ， 2 2 0．
(2)命题 为假命题，理由如下：
当 = 0时， 2 2 < 0，故命题 为假命题．
3
18.【答案】解：(1)由 = 2，得 = 2 ，
sin +cos
2√ 5 √ 5
因为 锐角，sin2 + cos2 = 1，所以 = , = ，
5 5
2
可得 = ；
3
(2)由 = 2 得 = 2，
则 2 2 2 + 1 = 2 2(1 2 2 ) + 1 = 2 + 4 2 1
2 +4 2
= 2 1 sin +cos2
2 +4 2 4+16
= 2 1 = 1 = 3． tan +1 4+1
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19.【答案】解：已知 > 0， > 0， = + + ．
(1)当 = 3时， = + + 3 ≥ 2√ + 3，当且仅当 = = 3时取等号，
解得 ≥ 9，即 的最小值为9；
(2)当 = 0时， = + ，
1 1
所以 + = 1，

1 1
+ + +

+
= + +

1 1
= + + 1 = ( + ) · ( + ) + 1


= 3 + + ≥ 3 + 2√ = 5，当且仅当 = = 2时取等号，
1 1
故 + + + 的最小值为5．

1
20.【答案】解：(1)因为两个函数模型 = ( > 0, > 1)， = 2 + ( > 0, > 0)在(0, +∞)上都是
单调增函数，
随着 的增大， = ( > 0, > 1)的函数值增加得越来越快，不满足题意；
1
函数 = 2 + ( > 0, > 0)的函数值随 的增大增加得越来越慢，满足题意．
1
所以函数模型 = 2 + ( > 0, > 0)满足要求，
( + ) = 4
由题意知：{ ，
√ 2 + = 4√ 2 + 2
解得： = 4， = 2，
所以 = 4√ + 2， ≥ 0，且 ∈ ．
(2)由题意知，令4√ + 2 = 7 × 2，
解得： = 9．
所以该水域中绿球藻生长面积在9月底达到其最初的生长面积 的7倍．
21.【答案】解：(1) ∵ [ (1)]2 = (2) + 2，
4+ 16+
所以( )2 = + 2，且 > 0，
2 4
解得 = 1；
4 +1
(2)由(1)可得 ( ) = ， 2
所以 ( ) = (2 ) 2 ( )
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42 + 1 4 + 1
= 2
22 2

1 1
= (2 )2 + ( )2 2 (2
+ ) 2 2
1 1
= (2 + )2 2(2 + ) 2， 2 2
1 1
令 = 2 + ≥ 2√ 2 = 2，当且仅当2 = 1，即 = 0时取等号， 2 2
设 ( ) = 2 2 2， ≥ 2，
开口向上，对称轴 = 1，所以函数在[2, +∞)单调递增，
所以 ( ) ≥ (2) = 22 2 × 2 2 = 2．
所以函数的值域为[ 2, +∞)．
3√ 3
22.【答案】解：(1)由题意得， (0) = 3 = ，0 < < ，
2 2

所以 = ，
3
1 3
又△ 的面积 = | | × 3 = ，
2 4

所以| | = = ，
2 2
所以 = ， = 2，

所以 ( ) = 3 (2 + )；
3

(2)当0 ≤ ≤ 时， ≤ 2 + ≤ ，
3 3 3

所以0 ≤ sin(2 + ) ≤ 1，0 ≤ ( ) ≤ 3，
3

若对任意的 ∈ [0, ]，都有| ( ) + 3 3 | ≤ 3， 3
则 3 ( ) ≤ 3 3 ≤ 3 ( )，
所以 3 ≤ 3 3 ≤ 0，
1
解得 ≤ ≤ 1，
3
1
故 的范围为[ , 1].
3
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