2024-2025学年河北省保定市高一（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年河北省保定市高一（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.下列叙述正确的是( )
A. 如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，且在区间内有零点，则一定有
B. 函数的零点是，
C. 已知方程的解在内，则
D. 函数有两个不同的零点
4.已知函数是上的偶函数，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
7.已知函数，，则( )
A. 是奇函数
B.
C. 的值域是
D. 的值域是
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是( )
A. B.
C. D.
10.设函数，，且，则( )
A. 函数和的图象关于直线对称
B. 函数和的图象的交点均在直线上
C. 若，方程的根为，方程的根为，则
D. 已知，若恒成立，则的取值范围为
11.函数，且恰有两个零点，则可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则 ______．
13.一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为个月假设没有捕杀与其他损耗那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要______年．
14.已知，函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求值：；
求值：；
已知，，求的值．
16.本小题分
已知函数其中，为常量，且，的图象经过点，．
求；
若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知的定义域为，且满足，．
求的解析式；
判断在上的单调性；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
当时，求该函数的值域；
求不等式的解集；
若对于恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”已知定义在上的奇函数，当时，．
求的解析式；
若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
求函数在内的“倒域区间”．
参考答案
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14.，
15.解：原式；
；
，，
则，，
故．
16.解：把，代入，得
结合且，解得：
．
要使在上恒成立，
只需保证函数在上的最小值不小于即可．
函数在上为减函数，
当时，有最小值．
只需即可．
17.解：因为的定义域为，且，
所以是奇函数，
又因为在处有定义，所以，解得，此时，
因为，解得，
故的解析式为；
在上单调递增，证明如下：
任取，
则，
所以，
所以在上单调递增；
因为，所以，
又因为是奇函数，所以，
所以，
即解得，
所以的取值范围为．
18.解：由于函数
令，，那么，
转化为，，
所以二次函数，对称轴为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因此当时，取到最大值为，当时，取到最小值为，
因此当时，的值域为．
根据题得，令，
那么，所以，解得或，
当时，即，解得，
当时，即，解得．
故不等式的解集为或．
由于对于上恒成立，
令，，则，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．
19.解：当时，，
由奇函数的定义得，
所以．
方程，即，
设，，
由题意知，解得，
即实数的取值范围是．
易知当时，，
且在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
所以，所以，所以，
则，解得，
所以在内的“倒域区间”为．
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