湖北省荆门市德艺高级中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（pdf版，含答案）

湖北省荆门市德艺高级中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从1，2，3，4，5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不对立事件的是( )
A. 恰有1个是奇数和全是奇数 B. 恰有1个是偶数和至少有1个是偶数
C. 至少有1个是奇数和全是奇数 D. 至少有1个是偶数和全是偶数
2.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 4 3 2
3.如图，在平行六面体 1 1 1 1中，底面 是边长为1的正
方形，侧棱 1 = 2且∠ 1 = ∠ 1 = 60°，则 1 =( )
A. 2√ 2
B. √ 10
C. 2√ 3
D. √ 14
4. = {1,2,3}， = { ∈ | 2 + = 0, ∈ , ∈ }，则 ∩ = 的概率是( )
2 1 8
A. B. C. D. 1
9 3 9
3 1 1
5.已知正方体 1 1 1 1的棱长为1，若点 满足 = + + 1，则点 到直线 的距离5 3 4
为( )
25 5 13 √ 105
A. B. C. D.
144 12 20 15
6.已知直线 1： + 2 + 6 = 0和直线 2： + ( 1) +
2 1 = 0，以下论述中：
(1)当 ≠ 1或 ≠ 2时， 1与 2相交；
(2)当 1// 2时， = 1或 = 2；
(3)当且仅当 = 1时， 1// 2；
2
(4)当 1 ⊥ 2时， = ． 3
正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7.曲线 = 1 + √ 4 2与直线 = ( 2) + 4有两个交点，则实数 的取值范围是( )
第 1 页，共 8 页
5 1 3 5 5 3
A. ( , +∞) B. ( , ] C. (0, ) D. ( , ]
12 3 4 12 12 4
8.在棱长为2的正方体 1 1 1 ，中， ， 分别为棱 1、 1的中点，
为棱 1 1上的一点，且 1 = (0 < < 2)，设点 为 的中点，则点 到
平面 1 的距离为( )
A. √ 3
√ 2
B.
2
√ 2
C.
3
√ 5
D.
5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在两坐标轴上截距相等，且到点 (3,1)的距离为√ 2的直线方程可以是( )
A. + 6 = 0 B. + 2 = 0 C. + 7 = 0 D. = 0
10.已知圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 25，直线 ：(2 + 1) + ( + 1) 7 4 = 0.则以下命题正确的有
( )
A. 直线 恒过定点(3,1)
B. 圆 被 轴截得的弦长为2 + 2√ 6
C. 直线 与圆 恒相交
D. 直线 被圆 截得最短弦长时，直线 的方程为2 5 = 0
11.在正三棱柱 中， = = 1，点 满足 = + 1 1 1 1 1，其中 ∈ [0,1]， ∈ [0,1]，
则( )
A. 当 = 1时，△ 1 的周长为定值
B. 当 = 1时，三棱锥 1 的体积为定值
1
C. 当 = 时，有且仅有一个点 ，使得 1 ⊥ 2
1
D. 当 = 时，有且仅有一个点 ，使得 1 ⊥平面 1 2
三、填空题：本题共 3 小题，共 20 分。
12.如图所示，在一次游戏中，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明
通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字， ， ， ， ， 这5个数字未知，且 ， 为
奇数，则 + > 5的概率为______．
第 2 页，共 8 页
13.已知直线 ：3 1 = 0及点 (4,1)， (0,4)，点 在 上，当| | | |的值最大时，点的坐标为______，
| | | |的最大值为______．
14.已知空间四边形 各边及对角线长都相等， ， 分别为 ， 的中点，向量
与 夹角的余弦值______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺
利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参
加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都
没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目
二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，
3 2
每次通过的概率均为 ，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为 ，现有这个驾校的一对夫妻学员
4 3
同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考
试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(Ⅰ)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
(Ⅱ)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
16.(本小题12分)
已知△ 的顶点 (5,1)， 边上的中线 所在直线方程为2 5 = 0， 的边上的高 所在直线方
程为 2 5 = 0．
(1)求顶点 的坐标；
(2)求直线 的方程．
17.(本小题12分)
已知圆 ：( 1)2 + ( + 1)2 = 4．
第 3 页，共 8 页
(1)过点 (3,2)向圆 作切线 ，求切线 的方程；
(2)若 为直线 ：3 4 + 8 = 0上的动点，过 向圆 作切线，切点为 ，求| |的最小值．
18.(本小题12分)
如图，三棱锥 中， = = ， ⊥ ，∠ = ∠ = 60°， 为 中点．
(1)证明 ⊥ ；
(2)点 满足 = ，求二面角 的正弦值．
19.(本小题12分)
如图，四面体 中， ⊥ ， = ，∠ = ∠ ， 为 的中点．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)设 = = 2，∠ = 60°，点 在 上，当△ 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正弦
值．
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2
12.【答案】
3
13.【答案】(2,5) √ 5
2
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)设 表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的事件”， 表示
“丈夫在第 次参加科目二考试中通过”，
3 2
表示“妻子在第 次参加科目二考试中通过”，则 ( ) = , ( ) = ， 4 3
3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 1
则 ( ) = ( 1 1) + ( 1 1 2) + ( 1 1 2) + ( 1 1 2 2) = × + × × + × × + × × ×4 3 4 4 3 4 3 3 4 4 3
2 5
= ，
3 6
5
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是 ．
6

(2)由(1)知，夫妻二人共交200元补考费的事件 = 1 2 3( 1 + 1 2) + 1 2 3( 1 + 1 2)，
1 1 3 2 1 2 1 1 2 3 1 3 1
则 ( ) = × × × ( + × ) + × × × ( + × ) = ，
4 4 4 3 3 3 3 3 3 4 4 4 9
1
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率 ．
9
16.【答案】解：(1)设 ( , )，
∵ 边上的中线 所在直线方程为2 5 = 0， 边上的高 所在直线方程为 2 5 = 0．
第 5 页，共 8 页
2 5 = 0
∴ { 1 1 ，解得 = 4， = 3，
× = 1
5 2
∴ (4,3)．
+5 +1
(2)设 ( , )，则 2 5 = 0①，边 的中点 ( , )，
2 2
+5 +1
所以2 × 1 = 0，②
2 2
①②联立解得 = 3， = 1，
∴ ( 1, 3)．
3+3 6
∴ = = ． 4+1 5
6
∴直线 的方程为 3 = ( 4)，化为6 5 9 = 0．
5
17.【答案】解：(1)切线 的斜率不存在时， = 2满足条件．
切线 的斜率存在时，设方程为 2 = ( 3)，即 + 2 3 = 0，
| +1+2 3 | 5
圆心 (1, 1)到切线 的距离= = 2，解得 = ，可得切线方程为：5 12 + 9 = 0，
2 12√ +1
综上可得切线 的方程为： = 2，或5 12 + 9 = 0．
|3+4+8|
(2)当 ⊥ 时，| |取得最小值，此时| | = = 3，
√ 2 2 3 +( 4)
∴ | | = √ 3
2 22 = √ 5．
18.【答案】证明：(1)连接 ， ，
∵ = ， 为 中点．
∴ ⊥ ，
又∵ = = ，∠ = ∠ = 60°，
∴△ 与△ 均为等边三角形，
∴ = ，
∴ ⊥ ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ．
(2)解：设 = = = 2，
∴ = 2√ 2，
∵ = = √ 2， = 2，
第 6 页，共 8 页
∴ 2 + 2 = 4 = 2，
∴ ⊥ ，
又∵ ⊥ ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
(√ 2, 0,0)， (0,0, √ 2)， (0, √ 2, 0)， (0,0,0)，
∵ = ，
∴ ( √ 2, 0, √ 2)，
∴ = ( √ 2, 0, √ 2)， = (0,√ 2, √ 2)， = ( √ 2, 0,0)，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 1 = ( 1, 1, 1)， 2 = ( 2, 2, 2)，
√ 2
则{ 1
+ √ 2 1 = 0，令 1 = 1，解得 1 = 1 = 1，
√ 2 1 √ 2 1 = 0
√ 2 2 √ 2 2 = 0{ ，令 2 = 1，解得 2 = 0， 2 = 1，
√ 2 2 = 0
故 1 = (1,1,1)， 2 = (0,1,1)，
设二面角 的平面角为 ，
| | 2 √ 6
则| | = 1 2 = = ，
| 1 | | 2 | √ 3×√ 2 3
故 √ 3 = ，
3
所以二面角 的正弦值为√ 3．
3
19.【答案】(1)证明：∵ = ， 为 的中点．∴ ⊥ ，
又∵ = ，∠ = ∠ ， = ，∴△ ≌△ ，
∴ = ，又∵ 为 的中点．∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
第 7 页，共 8 页
∴平面 ⊥平面 ；
1
(2)解：连接 ，由(1)知 ⊥ ，∴ △ = × ， 2
故 EF 最小时，△ 的面积最小，∴ ⊥ 时，△ 的面积最小，
又 ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ，
过 作 ⊥ 于点 ，则 ⊥平面 ，
故∠ ，即∠ 为直线 与平面 所成的角，
由 = = 2，∠ = 60°，知△ 是2为边长的等边三角形，
故 AC= 2，由已知可得 = 1， = √ 3，又 = 2，∴ 2 = 2 + 2，
∴ ∠ = 90° × √ 3，所以 = = ，
2
3 √ 7
∴ = √ 12 + = ，
4 2
7 7
+ 4
在△ 中，由余弦定理得cos∠ = 4 4
1
=
√ 7 √ 7 ，
2× × 7
2 2
4√ 3
∴ sin∠ = ．
7
故 CF 与平面 所成的角的正弦值为4√ 3．
7
第 8 页，共 8 页