2024-2025学年上海市华东师大松江实验高级中学高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年上海市华东师大松江实验高级中学高二（上）月考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的二项展开式中系数最大的项是( )
A. 第项 B. 第项
C. 第项和第项 D. 无法确定
2.本不同的书分给人，每人至少本，共有种不同的分法．
A. B. C. D.
3.某人将一枚硬币连掷次，正面朝上的情况出现了次，若用表示“正面朝上”这一事件，则的( )
A. 概率为 B. 频率为 C. 频率为 D. 概率接近于
4.如果、是独立事件，、分别是、的对立事件，那么以下等式不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.“直线垂直于平面内无数条直线”是“”的______条件．
6.已知圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则此圆柱的侧面积为______．
7.已知，的起点坐标是，则的终点坐标为______．
8.由、、、可以组成______个在百位的没有重复数字的四位数．
9.二项式的展开式中所有项的系数之和为______．
10.在某道路，两处设有红灯绿、灯交通信号，汽车在，两处通过即通过绿灯的概率分别是和，某辆汽车在这条道路上匀速行驶，则两处都不停车的概率为______．
11.已知长为的线段的两个端点到平面的距离分别为和，则直线与平面的所成角大小为_____．
12.已知向量，，若，则实数等于______．
13.一个袋子中有个白球，个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球，则两次都取到白球的概率为______．
14.设集合中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．
15.甲、乙、丙、丁个人进行乒乓球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．
甲 乙 丙 丁
甲
乙
丙
丁
那么甲得冠军且丙得亚军的概率是______．
16.如图，在棱长为的正方体中，点是平面上一动点，
且满足，则满足条件的所有点所围成的平面区域的面积是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知长方体中，，，，若该长方体的各顶点都在球的表面上求：
异面直线与所成角的大小；
求球的表面积．
18.本小题分
名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？
人站成一排，要求较高的个学生站在一起；
人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减．
19.本小题分
小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面是边长为单位：的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
证明：平面；
求该包装盒的容积不计包装盒材料的厚度．
20.本小题分
如图，圆锥的底面直径与母线长均为，是圆锥的高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点求：
该圆锥的体积和表面积；
二面角的大小；
点在上，满足异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置．
21.本小题分
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上含的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据单位：：
甲：，，，，，，，，，；
乙：，，，，，；
丙：，，，．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有的可能值及其发生的概率．
在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？结论不要求证明
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.必要不充分
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：根据题意易知，，，，
异面直线与所成角，
又，
异面直线与所成角的大小为；
根据题意可得球的直径即为长方体的体对角线长，
，
球的表面积为．
18.解：将较高的个学生捆成一个元素，与另个学生构成个学生自由排列有种方法，捆成一个元素的三学生内部可自由排列，有种方法，
所以共有种；
因为最高的站在中间，
所以从剩余的名学生中选名在左边，剩余的人在右边，
共有种．
19.证明：如图所示，将几何体补形为长方体，
做于点，做于点，
由于底面为正方形，，均为等边三角形，
故等边三角形的高相等，即，
由面面垂直的性质可知，均与底面垂直，
则，四边形为平行四边形，则，
由于不在平面内，在平面内，
由线面平行的判断定理可得平面．
解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，
其中长方体的高，
长方体的体积，
一个三棱锥的体积，
则包装盒的容积为．
20.解：因为圆锥的底面直径与母线长均为，是圆锥的高，
所以，
所以圆锥的体积，
表面积；
因为是圆锥的高，所以平面，
因为，平面，所以，，
因为点是底面直径所对弧的中点，所以，
则，，两两互相垂直，
则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，所以，
由题知，平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，由题知，
则，
所以二面角的大小为；
因为点在上，所以设，，
则，，
因为异面直线与所成角的余弦值为，
所以，
解得，所以为的中点．
21.解：已知甲以往的次成绩中有次获得优秀奖，
若用频率估计概率，
则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为；
若用频率估计概率，
则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
易知的所有可能取值为，，，，
则，，
，．
由题知乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为，
又丙投出过三人成绩中的最大值，在三人中有一定优势，
故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大．
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