2024-2025学年黑龙江省牡丹江市某校高三（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省牡丹江市某校高三（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若，则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
2.已知数列，则“”是“为等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.向量在向量上的投影为，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则( )
A. B. C. D.
8.对，不等式恒成立，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为则( )
A.
B. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为
C. 估计该年级学生成绩的中位数约为
D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为
10.设复数，，则( )
A. 的虚部为
B. 的共轭复数为
C.
D. 在复平面内，复数对应的点位于第四象限
11.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数在上单调递增
C. 若，则的最小值是
D. 把的图象向右平移个单位长度，所得图象与函数的图象关于轴对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，与的夹角为，则 ______．
13.正四面体中，，，则异面直线与所成角的正弦值为______．
14.在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，中，角、、的对边分别为、、．
若，求角的大小；
已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值．
16.本小题分
在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，且底面，与底面成角，且．
求证：；
当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．
17.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，．
求证：平面平面；
设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动某次体育课上，甲、乙、丙、丁四人一起踢毽子毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，，；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，假设毽子一直没有掉地上，经过次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为，，，，已知．
记丁在前次传毽子中，接到毽子的次数为，求的分布列；
证明为等比数列，并判断经过次传毽子后甲接到毽子的概率与的大小．
19.本小题分
已知，函数，．
当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；
若，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由及正弦定理得：，
，
，
，，，
．
为外接圆劣弧上一点，
，，
在中，由余弦定理：
，
，，
，
则周长的最大值为．
16.解：证明：如图，以点为原点，直线为轴，直线为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
那么，，，，．
故，，
因为，所以，即．
因为，所以，故AB，
又，，所以平面，
故平面的法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，，
整理得，即．
17.解：证明：在中，，，
，
，又，，
平面，又平面，
平面平面；
假设存在点，使得平面平面，
分别以，所在直线为，轴，以过且垂直于平面的直线为轴，建系如图，
设，则，，，，
，，，，
设是平面的法向量，
则，取，
设，，
则，
连接，平面，平面，平面平面，
，取与同向的单位向量，
设是平面的法向量，
则，取，
平面平面，，
，，
故在侧棱上存在点，且，即，使得平面平面．
18.解：根据题意，记丁在前次传毽子中，接到毽子的次数为，则的所有可能取值为，，
，
，
所以的分布列为：
根据题意，当时，，
当时，，
，
，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，，所以，所以，
所以是首项为，公比的等比数列，
所以，即，
所以，
故经过次传毽子后甲接到毽子的概率大于．
19.解：，定义域均为，，
当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；
当时，令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
所以在取极小值，且；
又，
当时：，在单调递减，无极值，与题不符；
当时：令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
所以在取极小值，且，
由，即，解得：，
所以的值为．
证明：令，因为，所以，
由可得：，所以，
由得：，所以，
要证：，只要证：，只要证：，
不妨设，所以只要证：，
即证：，令，只要证：，
令，，
所以在上单调递增，即有成立，所以成立．
第1页，共1页