2024-2025学年内蒙古赤峰市名校高三（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古赤峰市名校高三（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
4.已知曲线：在点处的切线与直线平行，则该切线方程是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知在中，是线段上异于端点的任意一点若向量，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足若，不变，在，后该物体的温度分别为，，且，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若，则；若，则
D. 若，则；若，则
8.在中，，，，点在内部，且，，记，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知命题：，；命题，则( )
A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是真命题
10.已知函数，则( )
A. 为偶函数 B. 的最大值为
C. 在上单调递减 D. 在上有个零点
11.已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则 ______．
13.如图，在边长为的正方形中，点在边上，且，则 ______．
14.已知函数，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，且向量在轴非负半轴上的投影向量为．
求的坐标；
求；
求的面积及外接圆的半径．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，已知的周长为，且，．
求的大小；
求，，的值．
17.本小题分
已知向量，，函数．
将化简成的形式；
将的图象向左平移个最小正周期的单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的单调递增区间；
在的条件下，若，求的值．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
证明：．
已知为钝角，记．
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)若为边上的中线，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数与的定义域的交集为若对恒成立，则称与为同号函数，例如，则函数与为同号函数若存在区间，使得对恒成立，则称与为区间同号函数．
设函数，，，试问这三个函数中是否任意两个都互为区间同号函数？请说明你的理由．
设函数，．
证明：与为同号函数．
若恒成立，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：向量在轴非负半轴上的投影向量为，
设，，舍负，
，；
，，，
；
，，
，
的面积为，
，，
根据正弦定理，外接圆的半径为．
16.解：已知，根据正弦定理可得，
即，即．
，，．
，．
由得
根据余弦定理得，即，
，解得或舍去，
故，．
17.解：向量，，
所以
．
因为的最小正周期，
所以，
则．
令，得，
故的单调递增区间为．
根据题意可得，
令，则，．
由，
故．
18.证明：由，可得，
由余弦定理，得，所以．
解：由，可得，为钝角，可知边最大，所以．
根据三角形三边的关系，可得；由，得．
所以，结合，解得，
即的取值范围为．
(ⅱ)根据为边上的中线，可得，
所以，
所以．
令，则，
因为二次函数在上单调递增，
所以，即的取值范围为．
19.解：这三个函数中任意两个都互为区间同号函数，理由如下：
因为，，，
所以．
则与为区间同号函数．
而，，
而，
令，即；令，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以对恒成立，
又，对都恒成立，
所以存在，使得，对都恒成立，
所以这三个函数中任意两个都互为区间同号函数．
证明：因为函数与的定义域的交集为，
当时，，则，
所以，即；
当时，，则，
所以，即，
所以恒成立，则与为同号函数．
因为，
所以由，
整理得，
令，
则，
当时，，可得，
当时，，可得．
对于函数，，
令，即；令，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
所以函数在和上各有一个零点，
不妨设，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
且时，，
而，即时，，
则
，
设，
则，
所以函数在上单调递减，
所以，即．
第1页，共1页