黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（pdf版，含答案）

黑龙江省哈尔滨市德强高级中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1
1.数列{ }中， 1 = ， = 1 ( ≥ 2)，则 2023的值为( ) 4 1
1 4 5
A. B. C. 5 D.
4 5 4
2.已知等差数列{ }满足 3 + 7 = 32， 6 4 = 6，则 1 =( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3.已知直线过点(1,2)，且在纵坐标上的截距为横坐标上的截距的两倍，则直线 的方程为( )
A. 2 = 0 B. 2 + 4 = 0
C. 2 = 0或 + 2 2 = 0 D. 2 = 0或2 + 4 = 0
4.已知圆 ： 21 +
2 + 4 2 4 = 0，圆 2：
2 + 2 + 3 3 1 = 0，则这两圆的公共弦长为( )
A. 2√ 3 B. 2√ 2 C. 2 D. 1
2 2
5.已知方程 + = 1表示焦点在 轴上的双曲线，则实数 的取值范围是( )
3 2
5 5
A. ( ∞, 2) B. (2, ) C. (3,+∞) D. ( , 3)
2 2
6.若直线 = + 与曲线 = √ 1 2恰有一个公共点，则 的取值范围是( )
A. [ √ 2, √ 2] B. [ 1, √ 2] C. ( 1.1] ∪ {√ 2} D. ( 1,1] ∪ { √ 2}
7.设 ∈ ，圆 ： 2 + 2 2 6 = 0.若动直线 1： + 2 = 0与圆 交于点 ， ，动直线 2：
2 + 1 = 0与圆 交于点 ， ，则| | + | |的最大值是( )
A. 30√ 3 B. 2√ 30 C. 20√ 3 D. 3√ 30
8.“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲
线”.利用这个原理，小明在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆(图1)，光
锥的一条母线恰好与墙面垂直.图2是一个射灯投影的直观图，圆锥 的轴截面 是等边三角形，椭圆 1所
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在平面为 ， ⊥ ，则椭圆 1的离心率为( )
√ 3 √ 6 √ 2 √ 3
A. B. C. D.
2 3 2 3
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{ }的公差为 ，前 项和为 ，且 9 = 10 < 11，则( )
A. 10 = 0 B. > 0 C. 8 < 9 D. 17 < 0
10.已知圆 ： 2 + 2 = 4，则( )
A. 圆 与直线 + 1 = 0必有两个交点
B. 圆 上存在4个点到直线 ： + √ 2 = 0的距离都等于1
C. 若圆 与圆 2 + 2 6 8 + = 0恰有三条公切线，则 = 16
D. 已知动点 在直线 + 4 = 0上，过点 向圆 引两条切线， ， 为切点，则| || |的最小值为8
2 2 2
11.已知 是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)位于第一象限上的一点， 1， 2是 的两个焦点，∠ 1 2 = ， 3
点 在∠ 1 2的平分线上，∠ 1 2的平分线与 轴交于点 ， 为原点， // 1，且| | = ，则下列结
论正确的是( )
√ 5
A. △ 1 2的面积为√ 3
2 B. 的离心率为
5
√ 3 2√ 5
C. 点 到 轴的距离为 D. | | =
2 5
2 2 2 2
12.已知 1， 2是椭圆 2
+ 2 = 1( 1 > 1 > 0)和双曲线 2 2 = 1( 2 > 2 > 0)的公共焦点， 是它们的一
1 1 2 2

个公共点，且∠ 1 2 = ，则以下结论正确的是( ) 3
A. 2 2 2 2 2 21 = 3 2 B. 1 1 = 2 2
C. 2
√ 3 1 1
1 +
2
2的最小值为1 + D. + = 1 2 4 2 4 21 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.设等差数列{ }的前 项和为 ，且 10 = 10， 20 = 30，则 40 = ______．
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14.已知直线 1： + 3 1 = 0， 2：2 + ( 1) + 1 = 0，若 1// 2，则实数 = ______．
2 2
15.设 1， 2分别为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，过点 1且倾斜角为60°的直线与椭圆 交
于 ， 两点，若| | = 3| 1 |，则椭圆 的离心率为______．
16.已知抛物线 ： 2 = 2 的焦点为 ，若 上存在三点 1， 2， 3，且 为△ 1 2 3的重心，则△ 1 2 3三
边中线长之和为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设 为等差数列{ }的前 项和，已知 2 = 11， 10 = 40．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)当 为何值时， 最大，并求出 的最大值．
18.(本小题12分)
已知圆 的圆心在直线 + 2 = 0上，且经过点 (4,0)， (2,2)．
(1)求圆 的方程；
(2)若直线 过点 (4,3)且与圆 相切，求直线 的方程．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系 中，△ 的顶点 的坐标为( 4,2)，∠ 的角平分线所在的直线方程为 + 1 =
0， 边上中线 所在的直线方程为2 + 2 = 0．
(1)求点 的坐标；
(2)求直线 的方程．
20.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 ： = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为
2 2 1
， 2，点 在双曲线右支(且不在坐标轴上)，

2
(1)若双曲线 与椭圆 + 2 = 1有共同的焦点，且双曲线 过点 (2,1)，求该双曲线的标准方程；
4

(2)若 = 1，∠ 1 2 = ，求△ 1 2的面积． 3
21.(本小题12分)
已知动点 ( , )到直线 = 3的距离比它到定点(2,0)的距离多1，记 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)若过点 (4,4)的直线 与 相交于 ， 两点，且 ⊥ ，求直线 的方程．
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22.(本小题12分)
1
已知 ( 2,0)， (2,0)，直线 ， 交于点 ，且直线 ， 的斜率之积为 ，点 的轨迹记为曲线 ．
4
(1)求 的方程．
(2)不过点 (0,1)的直线 与 交于 ， 两点，且直线 与 的斜率之和为2，试问直线 是否过定点？若是，
求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】100
14.【答案】3
2
15.【答案】
3
9
16.【答案】
2
17.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
2 = 则{ 1
+ = 11
，
10 = 10 1 + 45 = 40
解得 1 = 13， = 2，
∴数列{ }的通项公式为 = 13 2( 1)，
即 = 2 + 15．
(13 2 +15)
(2)由(1)得 = =
2 + 14 ，
2
由二次函数的性质得：
当 = 7时， 最大，且最大值为49．
18.【答案】解：(1)因为圆心 在直线 + 2 = 0上，所以设圆 的圆心 ( , 2 )，半径为 ( > 0)，
所以圆的方程为( )2 + ( + 2)2 = 2．
因为圆 经过点 (4,0)， (2,2)，
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所以(4 )2 + (0 + 2)2 = 2，(2 )2 + (2 + 2)2 = 2．
解得 = 2， = 2，所以圆 的方程为( 2)2 + 2 = 4；
(2)直线斜率存在时，设直线 的方程为 3 = ( 4)，即 + 3 4 = 0，
|2 +3 4 | 5
因为直线 与圆相切，所以圆心到直线的距离 = = 2，解得 = ，此时直线 的方程为5 12 +
12
√ 2 1+
16 = 0；
直线斜率不存在时，则直线 的方程为 = 4，此时圆心到直线的距离 = 2，符合题意，
综上：直线 的方程为 = 4或5 12 + 16 = 0．
19.【答案】(1)解：由题意可知点 在直线 + 1 = 0上，设 ( , + 1)，
4 +3
则 中点 ( , )，
2 2
4 +3
又点 ( , )在直线2 + 2 = 0上，
2 2
+3
可得 4 + 2 = 0，解得 = 3，
2
可得 (3,4)；
(2)解：由(1)可知 (3,4)，又 ( 4,2)，
设直线 的方程为： + 3 4 = 0，
则直线 的方程为：2 7 + 22 = 0，
又∠ 的角平分线所在的直线方程为 + 1 = 0，
在直线 + 1 = 0取点 (0,1)，
则点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离，
15 |3+3 |
即有 = ，整理得14 2 + 53 + 14 = 0，
√ 53 √ 1+ 2
7 2
解得： = 或 = ，
2 7
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7
当 = 时，所求方程即为直线 的方程，
2
2
可得 = ，
7
所求直线 的方程为：7 2 13 = 0．
2
20.【答案】解：(1)双曲线 与椭圆 + 2 = 1有共同的焦点，可得 = √ 3，双曲线 过点 (2,1)，
4
4 1
可得 = 1， 2 22 2 + = 3，解得 = √ 2， = 1，
2
双曲线的标准方程为： 2 = 1．
2
(2)设| 1| = ，| 2| = ，
由双曲线的定义可得 = 2 ，
在△ 1 2中，由余弦定理，得4
2 = 2 + 2 2 60° = ( )2 + = 4 2 + ，
可得 = 4 2，
1
则△ 21 2的面积 = = √ 3 = √ 3． 2 3
21.【答案】解：(1)因为动点 ( , )到直线 = 3的距离比它到定点(2,0)的距离多1，
所以动点 ( , )到直线 = 2的距离等于它到定点(2,0)的距离，
则动点 ( , )的轨迹是以(2,0)为焦点， = 2为准线的抛物线，
故 的方程为 2 = 8 ；
(2)设直线 的方程为 = ( 4) + 4， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 4) + 4
联立{ 2 ，消去 并整理得
2 8 + 32 32 = 0，
= 8
此时 > 0，
由韦达定理得 1 + 2 = 8 ， 1 2 = 32 32，
因为 ⊥ ，
所以 = 1 2 + 1 2
21
2
= 2

+ 1 2 = 1 2(
1 2 + 1) = 0，
8 8 64
解得 1 2 = 0或 1 2 = 64，
则 = ±1．
当 = 1时，直线 的方程为 = 0，不符合题意；
当 = 1时，直线 的方程 + 8 = 0，符合题意．
故直线 的方程为 + 8 = 0．
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22.【答案】解：(1)由 ( 2,0)， (2,0)，设
( , )，

可得 = ( ≠ 2)， = ( ≠ +2 2
2)，
1
由题意，得 = = ， +2 2 4
2
整理得 + 2 = 1( ≠ ±2)，
4
2
所以曲线

的方程为 + 2 = 1( ≠ ±2)；
4
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
当直线 斜率不存在时， 1 = 2， 1 = 2，
由直线 与 的斜率之和为2，
1 1 可得 + 2
1 1 1 1 1 2= + = = 2，所以 1 = 1， 1 2 1 1 1
此时直线 ： = 1，恒过定点( 1, 1)；
当 斜率存在时，设 ： = + ( ≠ 1)，
= +
由{ 2 2 ，得(4
2 + 1) 2 + 8 + 4 2 4 = 0，
+ = 1
4
则 = (8 )2 4(4 2 + 1)(4 2 4) > 0，即4 2 2 + 1 > 0，
8 4 2 4
1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
4 +1 4 +1
因为直线 与 的斜率之和为2，
1 1 1所以 + 2 = 2，
1 2
( 1+ 1) 2+( 2+ 1) 1 ( 1)( + ) ( 1) 2 即 = 2 + 1 2 = 2
2
= 2，
1 2 1 2 1
即 2 + 1 = 0，整理得( 1)( + 1 ) = 0，
因为 ≠ 1，所以 = 1，
故直线 方程为 = + 1 = ( + 1) 1，恒过定点( 1, 1)；
综上，直线 过定点( 1, 1)．
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