2023-2024学年江西省吉安市高三（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省吉安市高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，其中，为实数，则( )
A. B. C. D.
3.已知球面被平面所截得的一部分叫做球冠，所截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，球冠的体积公式为其中为球的半径，为球冠的高如图，某水瓢的形状可以近似看作球冠水瓢的厚度忽略不计，已知该水瓢的口径为，水瓢所在的球的半径为，则这个水瓢的容积为( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，的系数是( )
A. B. C. D.
5.设为抛物线的焦点，点在圆：上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数，且，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，，，分别是角，，的对边，若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某兴趣小组为了解同学们的周末阅读时长，随机调查了位同学，得到如图的样本数据的频率分布直方图，则( )
A.
B. 这些同学中周末阅读时长在的有人
C. 这些同学平均周末阅读时长为同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
D. 这些同学周末阅读时长的中位数是
10.为得到的图象，只需对的图象进行的变换是( )
A. 先将横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度
B. 先将横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变，再向右平移个单位长度
C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变
D. 先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变
11.已知函数，，则( )
A.
B. 与是同一函数
C. 的一条切线方程为
D. 若有个不相等的实数根，则
12.正三棱柱中，，点，分别为，的中点，则( )
A. 平面平面
B. 三棱锥的体积为
C. 点到平面的距离为
D. 以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知随机变量服从正态分布，且，则 ______．
14.已知，直线：，直线：，若，则 ______．
15.已知菱形的边长为，，动点在菱形边上，则的取值范围是______．
16.设双曲线的左、右顶点分别为，，点是双曲线的右支上一点，连接，，记交轴于点，且，，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，已知，，且的面积为．
求；
记的中点为，求．
18.本小题分
近年来，我国持续增加研究与试验发展经费支出，坚定不移大力发展科学技术，国家统计局统计了近五年年对应年份代码的研究与试验发展经费支出，如表所示：
年份
年份代码
经费支出万亿元
求研究与试验发展经费支出关于年份代码的相关系数保留两位小数，并判断与之间的线性关系的强弱若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱；
求研究与试验发展经费支出关于年份代码的回归直线方程，并估计我国年研究与试验发展经费支出．
附：相关系数，回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式为：，，，．
19.本小题分
直三棱柱中，，分别为，的中点，，，．
证明：平面；
求二面角的正弦值．
20.本小题分
正项数列中．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，数列满足，若当时，恒成立，求正整数的最大值．
21.本小题分
已知椭圆过点，且离心率为，过椭圆的左焦点作一条与轴不重合的直线，交椭圆于，两点，为椭圆的右顶点．
求椭圆的方程；
证明：直线，的斜率之积为定值．
22.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个相异的零点，，证明．
参考答案
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17.解：已知，，且的面积为，
得，，
由余弦定理，得，
即，
，，
则；
由可知，．
18.解：由题意，，
，
，
，
，
，
与之间的线性关系较强；
由知，
，
研究与试验发展经费支出关于年份代码的回归直线方程为，
当时，，故预测我国年研究与试验发展经费支出为万亿元．
19.解：证明：取的中点，连接，，
，，分别为，，的中点，
，，
又，平面，
，平面，
，，
平面平面，
又平面，
平面，
平面，
，由题意，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
令，则，
即平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
记二面角的平面角为，
则，
故．
二面角的正弦值为．
20.解：，，
即，
，
是正项数列，，
因此是首项为，公差为的等差数列，
，
故数列的通项公式是；
由题意，，
，
得：
，
，
因此，
故，
为单调递增数列，
故，由题意知，，
故正整数的最大值是．
21.解：由题意知，解得，
椭圆的方程为．
证明：由题意知：，，
设，，直线的方程为，
联立，消去得到，
，，
，
故直线，的斜率之积为定值．
22.解：由函数得，定义域为，，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以在上恒成立，
所以在上单调递增．
证明：函数有两个相异的零点，，
等价于有两个相异的实数根，，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，且，
所以当时，，
所以方程的两个相异的实数根，均大于，
则有，所以，
即，
因为为增函数，所以，
即，
不妨设，令，则有，
所以．
要证，即证，
即证，
令，则，
所以在上单调递减，所以．
即，
所以．
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