江苏省淮安市淮阴中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省淮阴中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 = √ 3 的倾斜角为( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2 2 2 2
2.若椭圆 + = 1与双曲线 = 1有相同的焦点，则 的值为( )
2 2 2
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3.已知点 是抛物线 ： 2 = 8 的焦点，若抛物线 上的点 到 的距离为4，则点 到 轴的距离为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为( )
A. 3 B. 3 C. ±3 D. ±9
2 2
5.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的一个焦点为 (2,0)，且双曲线的渐近线与圆( 2)
2 + 2 = 3相切，

则双曲线的方程为( )
2 2 2 2 2 2
A. = 1 B. = 1 C. 2 = 1 D. 2 = 1
9 13 13 9 3 3
6.若等差数列{ }的前 项和为 ， 3 + 5 + 7 = 6， 7 = 7.则 取得最小值时 的值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.已知 ( 1,0)， (1,0)，动点 满足 = 3.则△ 面积的最大值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2 2
8.若椭圆 ： 2 + 2 = 1( > 0)的左、右焦点分别为 1、 2，上顶点为 ，过 1作直线 2的垂线交椭圆 于4 3

， 两点，设△ 的内切圆的半径为 ，则 的值为( )

4 5 6 7
A. B. C. D.
13 13 13 13
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设直线 1： + 3 + 1 = 0， 2： + ( 2) + = 0，圆 ：
2 + 2 = 9，则下列说法正确的有( )
3
A. 若 1// 2，则 = 3或 1 B. 若 1 ⊥ 2，则 = 2
C. 2恒过定点( 2, 1) D. 2被圆 截得的弦长最小值为4
10.下列说法正确的有( )
A. 若数列{ }为等差数列，其公差 > 0，则数列{ }是递增数列
B. 若数列{ }为等比数列，其公比 ∈ (0,1)，则数列{ }是递减数列
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C. 若数列{ }为等差数列，则数列{2
}为等比数列
1 1
D. 若数列{ }的前 项和为 ，且 = ( + )( ∈
)，则数列{ 2 }是等差数列 2
11.已知点 (4,0)，直线 ： = 4，曲线 上的点满足到 的距离与到 的距离之积为16，则下列说法正确的
有( )
A. 曲线 关于 轴对称
B. 曲线 经过坐标原点
| | 16
C. 设曲线 上动点 ( , )( > 4)到直线 = 6的距离为 ，则 的最小值为
25
D. 当点 ( , )在曲线 上时，√ ( + 8)2 + 2的最小值为8 4√ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知直线 过点(3,1)，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线 的方程为______．
2 2
13.设双曲线 ：2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1、 2，点 是双曲线 上的一点，若∠ 1 2 = ， 3
| 1| = 3| 2|，则双曲线 的离心率为______．
14.已知直线 ： = 1，圆 1：( + 1)
2 + 2 = 1，圆 ：( 1)2 + 22 = 1，若圆 3与圆 1、圆 2、直线 都
相切，则圆 3的半径为______，若圆 +2与圆 、圆 +1、直线 都相切( ∈
)，则圆 7的半径为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知三点 (0,0)， (2,0)， ( 1, 1)在圆 上，点 为圆心．
(1)求圆 的方程；
(2)过点 (4,2)作圆 的两条切线，切点为 ， ，求四边形 的面积．
16.(本小题12分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且数列{ + 2}是首项为4，公比为2的等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
1 1 1 2023
(2)若 + + + < ，求满足条件的最大正整数 的值．
1 2 2024
17.(本小题12分)
已知抛物线 ： 2 = 2 过点(1,2)，直线 与抛物线 相交于 ， 两点，若直线 过点 (4,0)．
(1)求抛物线 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过坐标原点；
(3)若 = 2 ，求直线 的方程．
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18.(本小题12分)
已知数列{ }的前 项和为

， +1 = 2 + 2 ( ∈ )， 1 = 1．

(1)证明：数列{ }为等差数列，并求数列{ }的通项公式； 2
(2)求数列{ }的前 项和为 ；
(3)若 ≤ 2 4 对任意 ∈ 恒成立.求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
1
已知 1( 2,0)， 2(2,0)，动点 满足直线 1 与直线 2 的斜率之积 ，动点 的轨迹形成曲线 ． 4
(1)求曲线 的方程；
(2)设点 (0, )( 为常数且 > 0)，求线段 长度的最大值；
(3)经过点 ( 4,0)的两条直线 1， 2，直线 1与曲线 相交于 ， 两点，直线 2与曲线 相交于 ， 两点，
若直线 过定点 ( 3,2)，证明：直线 恒过定点．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 + 4 = 0
√ 7
13.【答案】
2
1 1
14.【答案】
4 169
15.【答案】解：(1)三点 (0,0)， (2,0)， ( 1, 1)在圆 上，
则由圆的对称性可知：圆心 为线段 ， 垂直平分线的交点，
1 1
∵ = 1，线段 中点为( , )， 2 2
1 1
∴线段 垂直平分线方程为： + = ( + )，即 = 1，
2 2
又线段 的垂直平分线为 = 1，∴ (1, 2)，
∴圆 的半径 = | | = √ (1 0)2 + ( 2 0)2 = √ 5，
∴圆 的方程为：( 1)2 + ( + 2)2 = 5．
(2)
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∵ | | = √ (1 4)2 + ( 2 2)2 = 5，| | = √ 5， ⊥ ，
1 1
∴ | | = √ | |2 | |2 = 2√ 5，∴ △ = | | | | = × 2√ 5 × √ 5 = 5， 2 2
∴四边形 的面积 = 2 △ = 2 × 5 = 10．
16.【答案】解：(1)数列{ }的前 项和为 ，且数列{ + 2}是首项为4，公比为2的等比数列，
可得 1 + 2 = 1 + 2 = 4，解得 1 = 2，
由等比数列的通项公式可得 + 2 = 4 × 2 1 = 2 +1，即 = 2 +1 2，
当 ≥ 2时， =
+1
1 = 2 2 (2 2) = 2 ，对 = 1也成立，
综上所述 = 2
；
1 1
(2)由(1)得 = 2 ，则 = ， 2
1 1
即有数列{ }是首项和公比都为 的等比数列，
2
1 1
1 1 1 (1 ( ) )
所以 + + + = 2 2
1
1
= 1 ，
1 2 1 2

2
1 2023
所以1 < ，即2 < 2024， 2 2024
又函数 = 2 ， ∈ +，单调递增，
且210 = 1024 < 2024，211 = 2048 > 2024，
即满足2 < 2024的最大正整数为10，
1 1 1 2023
综上所述，满足 + + + < 的最大正整数为10．
1 2 2024
17.【答案】解：(1)抛物线 ： 2 = 2 过点(1,2)，所以2 = 4， = 2，
故抛物线 的方程为： 2 = 4 ．
(2)证明：如图，直线 过点 (4,0)，
设直线的方程为： = + 4， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 4
联立{ 2 ，化简得
2 4 16 = 0，则 = 16 2 + 64 > 0，
= 4
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所以 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 16，
又 = ( , )， 1 1 = ( 2, 2)，
2 2
所以

= 1
1 2
2 + 1 2 = + 1 2 = 16 16 = 0， 4 4
即 ⊥ ，故以 为直径的圆经过坐标原点；
(3)由(2)可知 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 16，
因为 = 2 ，所以 1 = 2 2，
2 2 + 2 = 4
所以{ ，解得： √ 2 = ± ，
2 22 = 16 2
所以直线 的方程为 √ 2 = ± + 4，
2
即2 √ 2 8 = 0或2 + √ 2 8 = 0．
18.【答案】解：(1)证明：数列{ }的前 项和为 ，

+1 = 2 + 2 ( ∈ )， 1 = 1，
由 = 2 +1 +1 + 2 ，两边同时除以2 ，
1 1 1
可得 +1 = + +1 = ，又 1 = ，
2 +1 2 2 2 +1 2 2 2 2
1
所以数列{ }是首项、公差均为 的等差数列， 2 2
1 1
由等差数列的通项公式可得
2
= + ( 1) = ，
2 2 2
所以 = 2
1．
(2)由 = 1 × 20 + 2 × 21 + 3 × 22 + + 2 1 ，
可得2 1 = 1 × 2 + 2 × 2
2 + 3 × 23 + + ( 1) 2 1 + 2 ，
1 1 1 2

所以 = 1 + 2 + + 2 2 = 2
= (1 )2 1，
1 2
所以 = ( 1)2 + 1．
(3)若 ≤ 2 4 对任意 ∈ 恒成立，
即有( 1)2 + 1 ≤ 2 4 ，整理得 ≤ 2 4 1恒成立，
令 = 2
4 1，则 +1 = [2
+1
4( + 1) 1] (2
4 1) = 2 4，
当 = 1时， +1 < ，当 = 2时， +1 = ，当 ≥ 3时， +1 > ，
所以 1 > 2 = 3 < 4 < 5 < ，即 的最小值为 3 = 2 = 5，
综上， ≤ 5，即实数 的取值范围是( ∞, 5]．
1
19.【答案】(1)解：已知 1( 2,0)， 2(2,0)，动点 满足直线 1 与直线 2 的斜率之积 ， 4
1
可设点 ( , )，由直线的斜率公式可得 = ，
+2 2 4
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则
2
+ 2 = 1，
4
2
故曲线 的方程为 + 2 = 1( ≠ ±2)；
4
(2)解：设 ( , )，则| | = √ 2 + ( )2，
又点 ( , )在椭圆上，得 2 = 4 4 2，
4
∴ | | = ( ) = √ 3 2 2 + 2 + 4 = √ 3( + )2 + 2 + 4，
3 3
∵ 1 ≤ ≤ 1，当0 < ≤ 3时， 1 4| | = ( ) = √ 4 + 2， 3 3
当 > 3时，有| | = ( 1) = + 1．
1
综上所述，| | = {2
√ 2 + 1, 0 < ≤ 3
3 ；
+ 1, > 3
(3)证明：先选择特殊位置，将 点放置到(0, 1)位置，此时 与 关于 轴对称，
直线方程分别为 ： = + 1， ： = + 1，
连接 ，得到过 的直线 ：2 + 8 = 0，
= + 1
联立{ ，解得 与 交于点 ( 7, 6)．
2 + 8 = 0
设 ( , )， ( , )， ( , )， ( , )，
设 的中点 1( 1, 1)，
2 2
将 ， 两点代入椭圆，做差可得 + 2 2 = 0，
4
+ 1整理得： = ．
+ 4
点 1( 1, 1)是线段 中点，可得2 1 = + ，2 1 = + ，
2 1
代入可得： 1 1 = ，
1+3 1 4
整理后可以得到 1所在曲线的方程为： 1：
2 + 3 + 4 2 8 = 0．
注意到对于两端点在椭圆上的线段，设其中点为( 0, 0)，
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1
则线段所在直线斜率 存在时，都有 0 = ．
0 4
同理，可设 ， 的中点 2， 3，
用同样方法可以得到 2和 3所在的曲线方程 2：
2 + 4 + 4 2 = 0．
注意到 在 靠近点 的四等分点处， 的中点 4所在曲线 3为过 1和 2交点的曲线，
由曲线系的方法， 3 = 1 1 + 2 2，
= 4 3
根据曲线关联的点的坐标之间的关系，{ ，
= 4 3
= 3
可得{ 1 ， 2 2 ．
2 = 4
3 = 4 2 3 1： + 7 + 4 + 24 = 0
假设直线 所过的定点为 ( 7, 6)，
计算用 点和 4两点表示 的斜率，并与 4点的坐标相乘得到：
+6 1
= ，
+7 4
化简得到 2 + 7 + 4 2 + 24 = 0，
可知线段 满足两端点在椭圆上，与假设结果相符．
综上，直线 过定点 ( 7, 6)．
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