北京版（2024）初中数学七年级上册期末测试卷（困难难度含详细答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
北京版（2024）初中数学七年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列比较大小正确的是( )
A. B.
C. D.
2.若，互为相反数，，互为倒数，则的值是 ．
A. B. C. D.
3.把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么( )
A. B. C. D.
4.在年月的月历表中，用如图所示的“”型框任意框出表中四个数，这四个数的和可能是( )
A. B. C. D.
5.已知二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，点是线段上一点，点是中点，点是中点，，，则线段的长是( )
A. B. C. D.
7.如图，为射线上一点，，比的多，，两点分别从，两点同时出发．分别以单位秒和单位秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为秒，为的中点，为的中点，以下结论：
；；当时，，其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
8.如图，点是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点，于点，连接并延长，交射线于点，交射线于点，连接交于点，当点在上运动时不包括、两点，以下结论：；；；的最小值是其中正确结论的有个．
A. B. C. D.
9.数轴上：原点左边有一点，从对应着数，有如下说法：
表示的数一定是正数：
若，则；
在，，，中，最大的数是或；
式子的最小值为．
其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为下列选项中错误的是( )
A. 表示数在数轴上的对应点与原点的距离
B. 若满足时，则的值是或
C. 表示、在数轴上对应的两点之间的距离
D. 、分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为，则、两点之间的距离为
11.已知：，，，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
12.如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简： 。
14.关于的方程的解是，则的值为______．
15.如图，在正方形中，点是边上的动点不与点、重合，，，交延长线于点，于点，连结交于点，点是的中点，连结求：
的度数为______；
当时， ______用的代数式表示
16.在同一平面内，为直线上一点，射线将平角分成、两部分，已知，为的平分线，，则______用含有的代数式表示
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足．
填空： ______， ______．
点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与之间的距离表示为则 ______用含的代数式表示
请问：的值是否随着时间的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值．
18.本小题分
已知是最大的负整数的相反数，，且，计算的值．
19.本小题分
钟面上的数学
【基础知识】
钟表上，时针每小时转动的角度是．
时针每分钟转动的角度是，等于多少分？等于多少秒？
【问题初探】
在某一天的点到点之间包括点整和点整，假设这一时刻是点分．
求时针和分针重合时的值；
求用含有的代数式表示时针与分针的夹角．
【类比分析】
小明点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是，他做完作业后还是当天点多钟，且时针和分针的夹角还是，求小明做作业用了多少分钟．
【学以致用】
在某一天点分到点分之间，当秒针是时针和分针的角平分线时，请求出此时的时间．
20.本小题分
某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子图为无盖的长方体纸盒，图为有盖的长方体纸盒．

【操作一】根据图方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．
【问题解决】用含和的代数式表示这个无盖长方体纸盒的底面积．
【操作二】根据图方式制作一个有盖的长方体纸盒．
方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
【拓展延伸】若，该有盖长方体纸盒的体积为_____________；
现有两张边长均为的正方形纸板，分别按图、图的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？请写出计算过程．
若，两个长方体盒子的体积之间还存在相同的倍数关系吗？直接写出判断结果．
21.本小题分
如图，点，，依次在直线上，将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时将射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动如图，设转动时间为秒。
， 。均用含的代数式表示
在转动过程中，当时，求的值。
在转动过程中，是否存在这样的，使得射线是由，，中的两条射线组成的角指大于而不超过的角的平分线若存在，请求出的值若不存在，请说明理由。
22.本小题分
如图，将一副三角板按照如图所示的位置放置在直线上，现将含角的三角板绕点逆时针旋转，在这个过程中
如图，当平分时，试问是否也平分，请说明理由；
当所在的直线平分时，求的度数；
试探究与之间满足怎样的数量关系，并说明理由。
23.本小题分
下列各小题中，都有平分，平分．
如图，若点，，在一条直线上，则________；
如图，若点，，不在一条直线上，，则________；
由以上两个问题发现：当在的外部时，与的数量关系是________；
如图，若在的内部，和还存在上述的数量关系吗请简单说明理由．
24.本小题分
数轴上点，对应的数分别为，，其中，满足，点为数轴上一动点．
______， ______；
若点到点，的距离之和为，求点对应的数；
若点从点以个单位每秒的速度向点运动，到达点后立即掉头，速度变为原来的倍，当点运动秒后，点与点同时出发，点从点以个单位每秒的速度向左运动，点以个单位每秒的速度从表示的点处向左出发，当点与点相遇后，点的速度变为原来的倍，并继续向左运动，直到点追上点后所有点停止运动求点运动多少秒时．
25.本小题分
已知多项式的次数为，常数项为。，分别对应数轴上的、两点。
______，______；
若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向数轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点到点的距离是点到点的距离的倍；
数轴上还有一点的坐标为，若点和同时从点和点出发，分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向点运动，到达点后，再立即以同样的速度返回，运动的终点，求点和点运动多少秒时，，两点之间的距离为。
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，故本选项错误；
B、，，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选C．
根据有理数的大小比较法则求解．
本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：根据题意得
，，
那么．
故选：．
先根据相反数、倒数的概念易求、的值，然后整体代入所求代数式计算即可．
本题考查了相反数、倒数、代数式求值，解题的关键是熟练掌握倒数、相反数的概念．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查整式的加减、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
先设出小长方形和大长方形的长和宽，然后即可表示图中阴影部分的周长为和图中阴影部分的周长为，再作差即可．
【解答】
解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为，
由图可得，，
这两个大长方形的长比宽长，
，
由图可知：阴影部分的周长，
由图可知：阴影部分的周长，
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设四个数中最小的数为，则另外三个数分别为，，，根据四个数的和，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，逐一分析各值即可得出结论．
【解答】
解：设四个数中最小的数为，则另外三个数分别为，，，
依题意，得：或或或，
解得：或或或．
不是整数，舍去；
不是整数，舍去；
在第一列，无法框出“”型框，舍去；
在第三列，可以框出“”型，符合题意．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，代数式的值的有关知识，运用了分类讨论思想，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键，根据条件和可得，，再分类讨论即可．
【解答】
解：二次函数的大致图象如下：
．
当，时，当时取最小值，
即，
解得：．
当时取最大值，即，
解得：或均不合题意，舍去；
当，时，情况一：当时取最小值，即，
解得：．
当时取最大值，即，
解得：；
情况二：时取最小值，时取最大值，
，，
，
，
此种情形不合题意；
所以．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是两点间的距离，掌握线段中点的概念是解题的关键．根据线段中点的概念列式计算即可．
【解答】
解：点是的中点，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两点间的距离，解题的关键是求出到达点时的时间，以及点与重合时的时间，涉及分类讨论的思想．根据比的多可分别求出与的长度，然后分别求出当与重合时，此时，当到达时，此时，最后分情况讨论点与的位置．
【解答】
解：设，
，
解得：，
，，
，故成立，
，，
当时，
此时点在线段上，
，
是的中点
，
，
为的中点，
，
，
当时，此时点在线段外，且点在的左侧，
，，
，
是的中点
，
为的中点，
，
，
当时，此时点在线段外，且点在的右侧，
，，
，
是的中点
，
为的中点，
，
，
综上所述，，故正确，
当，时，此时点在线段上，
，
，
，
，
当，时，此时点在线段外，且点在的左侧，
，，
，
，
，
当时，此时点在线段外，且点在的右侧，
，，
，
，
，不符合，
综上所述，当时，或，故错误；
故选：．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，交于点，
在和中，
，
≌，
，
，，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
当为的中点时，，可见，故错误；
，
，
≌，
，
，
，
∽，
，
又四边形为矩形，
，
，
故正确；
≌，
四边形为矩形，
，
当时，取最小值，
，
，
故正确，
综上正确的结论有，总共有个，
故选：．
连接，证明≌，得到，根据矩形的性质得到，又因为，所以，得到．
当为的中点时，，可见．
先证明∽，得到，因为四边形为矩形，所以，．
因为，当时，取最小值，进而得到．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：数轴上点对应着数，在原点左边，因此，
，即是正数，因此正确；
若，则；又，因此，故正确；
，
，，，，
当时，，当时，，因此正确；
，
，因此正确；
故选：．
根据点在数轴上的位置，判断，，，的符号，求出当时的值，从而对各个选项进行判断，得出答案即可．
考查数轴表示数的意义，相反数、不等式的意义，理解点的取值，得出相应代数式的符号或值是解决问题的前提．
10.【答案】
【解析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义以及两点间的距离公式即可判断．
【详解】解：、表示数在数轴上的对应点与原点的距离，故 A选项不符合题意；
B、当时，舍；
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述：若满足时，则的值是或，故B选项不符合题意；
C、因为表示、在数轴上对应的两点之间的距离是为，所以此选项说法错误，故C选项符合题意；
D、、分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为，则、两点之间的距离为，故 D选项不符合题意；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了完全平方公式的应用，代数式求值，运用了整体代入法，关键在于灵活思维，对多项式扩大倍是利用完全平方公式的关键．观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解．
【解答】
解：，，，
，，，
原式
．
故选D．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是全等三角形的判定及性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识．
在上取点，使，过点作，垂足为判定≌，则，因为，推出当、、共线，且点与重合时，的值最小．
【解答】
解：如图所示：在上取点，使，过点作，垂足为．
在中，依据勾股定理可知．
，
，
平分，
．
在和中，
，
则，
当、、共线，且点与重合时，的值最小，最小值为，
故选C．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了绝对值的化简和整式的加减运算，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：整式的加减的实质就是合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．解答此题的关键是分别判断出、、的正负．首先根据题中数轴，可得，且，所以，，，根据绝对值的意义将绝对值符号去掉，然后再合并同类项即可．
【解答】
解：由题中数轴可得：，且，
，，，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：
把代入方程计算即可求出的值．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
，，，
≌；
，
，
即，
是等腰直角三角形，
点是的中点，
，
，，
，
、、、四点共圆，
；
故答案为：；
≌，
，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
连接，
由得点在的平分线即正方形的对角线上，如图：
四边形是正方形，
，
∽，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
∽，
，
，
故答案为：．
根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形，得到，推出、、、四点共圆，根据圆周角定理得到；
根据全等三角形的性质得到，，求得，根据正方形的性知道的，连接，由得点在的平分线即正方形的对角线上，如图：根据相似三角形的性质得到，求得，得到，设，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：当射线，在直线的同侧时，如图所示：
因为为的平分线，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以；
当射线、在直线的异侧时，如图所示：
因为为的平分线，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以．
综上所述，或．
故答案为：或．
分两种情况：射线，在直线的同侧；射线，在直线的异侧；利用角平分线的定义，互补，角的和差关系即可求得结果．
本题考查了角平分线的定义，角的计算，考查了分类讨论的数学思想，要根据题意画出图形，分两种情况计算是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，
，，
解得，，
是最小的正整数，
；
；
不变．
，
，
故不变，始终为．
故答案为：，；．
利用，得，，解得，的值，由是最小的正整数，可得；
利用题意结合数轴表示出、两点表示的数，进而可得的长；
利用题意结合数轴表示出、两点表示的数，进而可得的长，由求解即可．
本题主要考查了数轴及两点间的距离，以及非负数的性质，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
18.【答案】解：因为是最大的负整数的相反数，
所以，
因为，
所以或，
所以或，
因为，
所以，，
解得，，
所以，，或，，；
当时，
，
，
，
当时，
，
，
，
所以，的值为或．
【解析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为；还考查了绝对值的性质和有理数的概念．
根据有理数的概念求出，根据绝对值的性质求出的值，再根据非负数的性质列方程求解即可得到、，将、、、的值代入进行计算即可得解．
19.【答案】解：，，
等于，等于；
时针与分针重合的时间段为点到点之间，以点整为准，此时分针停在点，时针停在点，
点分重合，
根据题意得：，
，
在点分时，分针与时针重合；
当分针没有超过时针时，
夹角为；
当分针超过了时针时，
夹角为．
综上所述，时针和分针的夹角为或；
设小明开始写作业的时间是点分，
根据题意得：，
解得：；
设小明写完作业的时间是点分，
根据题意得：，
解得：．
完成作业的时间为分；
设当秒针是时针和分针的角平分线时时间为点分秒，
根据题意得：，
解得：，
故此刻的时间是：点分秒．
【解析】根据分秒的转化进率求解即可；
根据题意，列出关于的一元一次方程即可求解；分两种情况，当分针没有超过时针时和当分针超过了时针时求解即可；
设小明开始写作业的时间是点分，设小明写完作业的时间是点分，分别计算出，的值，然后相减即可；
设当秒针是时针和分针的角平分线时时间为点分秒，列出关于的一元一次方程解题即可．
本题考查了一元一次方程的应用，钟表时针与分针的夹角以及列代数式表示式．
20.【答案】解：底面是边长为的正方形，
底面积：
；
当，时，
按图作无盖的长方体的纸盒的体积为，
按图作的长方体的纸盒的体积为，
倍，
答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍．
当，时，
按图作无盖的长方体的纸盒的体积为，
按图作的长方体的纸盒的体积为，
倍，
答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍．
【解析】【分析】
本题考查展开图折叠成几何体，整式的运算，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键．
由折叠可得底面是边长为的正方形，进而求出底面积即可；
由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为，，，根据体积公式进行计算即可；
当，时，分别求出按图，图的折叠方式所得到的长方体的体积即可；
当，时，分别求出按图，图的折叠方式所得到的长方体的体积即可；
【解答】
解：见答案
如图，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来可得到长为，宽为，高为的长方体，
当，，该长方体纸盒长为，宽为，高为，
所以体积为，
故答案为：；
，见答案．
21.【答案】解：，；
如图，根据题意知：，，，
当第一次达到时，
，
即，
解得：，
当第二次达到时，
，
即，
解得：，
答：在运动过程中，当达到时，的值为或秒．
射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
平分时，
，
，解得：；
平分时，
，即，
，解得：；
平分时，，
，解得：；
综上所述，当的值分别为，，秒时，射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线．

【解析】【分析】
本题主要考查的是角的计算，角平分线的知识，同时还涉及到一元一次方程的应用和分类讨论的思想．
的度数等于射线旋转速度乘以旋转时间，的度数等于射线旋转速度乘以旋转时间即可
本小题要用分类讨论的思想解题，当第一次达到时，；当第二次达到时，
，然后分别列出方程求解即可；
本小题需要用分类讨论的思想解题，射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
平分时，有；平分时，有；平分时，有然后分别列出方程求解即可．
【解答】
解：由题意可得，的度数等于射线旋转速度乘以旋转时间，的度数等于射线旋转速度乘以旋转时间，
则，，
故答案为：，
见答案；
见答案．
22.【答案】解：当平分时，也平分，
平分时，
，
，
，
，
也平分；
所在的直线平分，
，
；
当在内部时，
；
当在外部时，
．
【解析】此题考查了角平分线的定义，角的计算，旋转的性质，解题的关键是观察图形得到角与角之间的关系．
根据角平分线的定义，平角的定义即可求解；
根据角平分线的定义和平角的定义求得的度数，再根据角的和差关系即可求解；
根据角的和差关系即可求解．
23.【答案】解：；
；
；
存在．平分，平分，．，，．
【解析】【分析】
本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是依据角的和差关系进行计算．
根据平分，平分，点、、在一条直线上，即可得到的度数；
根据平分，平分，，即可得到的度数；
根据中的方法，即可得到与的数量关系；
若在的内部，和还存在上述的数量关系，方法同．
【解答】
解：平分，平分，，，又，；
故答案为：；
平分，平分，
，，
又，
；
故答案为：；
平分，平分，
，，
；
故答案为：；
见答案．
24.【答案】
【解析】解：．
．
故答案为：．
设对应的数为．
．
当在左侧：
，．
．
．
当在右侧：
，．
．
．
综上所述或．
答：或．
从到用时：秒．
此时，运动：秒 即到达、相遇．
此时，运动：秒即到达表示的点．
个单位每秒 个单位每秒．
故运动秒后，从向以个单位每秒运动．
同时，以个单位每秒，从点继续向左运动，以个单位每秒，从表示的点继续向左运动．
设运动秒后，又运动了秒． 找、、在数轴上对应的数．
则对应对应对应．
．
．
即．
．
追上则：．
．
秒．
故运动秒时．
答：运动秒时．
利用绝对值及偶次方的非负性，可求，的值根据点的运动位置分情况讨论即可求解；根据点的运动情况求得两点的运动时间及其运动路程，利用运动时间以及路程找到在数轴上对应的数，根据运动方程求得当时，点的运动时间
本题考查：含绝对值的一元一次方程以及在行程类应用题的基础上拓宽思路，采用多解类答案，调动学生思维．
25.【答案】解：：；；
设运动时间为．
由题意：或，
解得或，
运动时间为或秒时，点到点的距离是点到点的距离的倍；
设运动时间为．
由题意：或或或，
解得或或或，
点和点运动或或或秒时，，两点之间的距离为．
【解析】【分析】
本题考查的是数轴，一元一次方程的应用，分类讨论有关知识．
求出、的值即可解决问题；
构建方程即可解决问题；
分四种情形构建方程即可解决问题．
【解答】
解：多项式的次数为，常数项为，
，．
见答案；
见答案．
第1页，共1页