人教版八年级数学上册能力提升复习题（含详解）

人教版八年级数学上册能力提升复习题
考试范围：人教版八年级数学上册；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．计算：（﹣2m4）3＝（　　）
A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12
3．下列运算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2×a3＝a6 C．（a﹣b）（b﹣a）＝a2﹣b2 D．（a2）3＝a6
4．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并且测出DE的长即为A，B间的距离，这样实际上可以得到△ABC≌△DEC，理由是（　　）
A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS
5．若4x2+kx+9是一个完全平方式，则m的取值是（　　）
A．±12 B．12 C．±6 D．6
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC＝14，且AD：DC＝4：3，则点D到AB的距离DE是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠ADE＝∠DAE，∠BDC＝∠DBC，则∠ADB＝（　　）
A．18° B．36° C．72° D．108°
8．等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，取大于的长为半径，分别以点A、B为圆心，作弧相交于两点，过此两点的直线交AC边于点D（作图痕迹如图所示），连接BD，则∠DBC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10．一个正多边形的外角与其相邻的内角的度数之比为2：7，那么这个多边形的边数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．计算：20200+（）﹣1＝　 　．
12．若关于x的分式方程无解，则a的值为 　 　．
13．已知a+b＝﹣5，ab＝6，则a2+b2＝　 　．
14．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，若∠A＝40°，∠B＝30°，∠BDC＝110°，则∠BEC的度数为 　 　．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若2DG＝AD，则DF＝　 　．
（14题图） （15题图）
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：（4x+1）（x﹣2）﹣（2x﹣3）2； （2）解方程：．
17．（8分）先化简再求值：（1），再从0，﹣1，2中选一个数作为a的值代入求值．
18．（9分）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：DE＝DF；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣5，1），C（﹣2，﹣2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标；
（3）请在x轴上画点P，使得PA+PB最短（保留作图痕迹，不写画法）．
20．（9分）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
（1）分解因式：ab+a+b+1；
（2）若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值；
（3）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣5＝0，S＝2a2+3ab+b2+5a﹣b，求S的最小值．
21．（9分）如图，AE⊥DB，CF⊥DB，垂足分别是点E，F，DE＝BF，AB＝CD．
求证：∠A＝∠C．
22．（10分）受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．
（1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；
（2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
23．（11分）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D A D B C B B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、1，不是最简分式，不符合题意；
选：C．
2．解：（﹣2m4）3＝（﹣2）3×（m4）3＝﹣8m12，
选：D．
3．解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，选项A错误；
∵a2×a3＝a5，选项B错误；
∵（a﹣b）（b﹣a）＝﹣a2+2ab﹣b2，选项C错误；
∵（a2）3＝a6，选项D正确；
选：D．
4．证明：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
选：D．
5．解：∵4x2+kx+9＝（2x）2+kx+32，
∴kx＝±2 2x 3，
解得：k＝±12．
选：A．
6．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵AC＝14，且AD：DC＝4：3，
∴DC＝146，
∴DE＝CD＝6，
即点D到AB的距离DE等于6，
选：D．
7．解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠BAE＝∠ABC＝∠EDC＝∠C＝∠E＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠ADE＝∠DAE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠DAB＝∠BE﹣∠DAE＝72°，
∠BDC＝∠DBC＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠DBA＝36°．
选：B．
8．解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，三角形的周长为10．
选：C．
9．解：由题意得，点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∵AB＝AC，
∴，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝45°，
选：B．
10．解：设正多边形的每个外角的度数为2x，与它相邻的内角的度数为7x，依题意有：
2x+7x＝180°，
解得x＝20°，
这个多边形的边数＝360°÷40°＝9．
选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：原式＝1+3＝4，
答案为：4．
12．解：，
3x+9+ax＝4x﹣12，
（a﹣1）x＝﹣21，
∵分式方程无解，
∴分两种情况：
当a﹣1＝0时，a＝1，
当（x+3）（x﹣3）＝0时，x＝±3，
把x＝±3分别代入（a﹣1）x＝﹣21中，
得a＝8或﹣6，
综上所述：a的值为1或8或﹣6．
答案为：1或8或﹣6．
13．解：∵a+b＝﹣5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25．
∵ab＝6，
∴a2+b2+12＝25，
∴a2+b2＝13．
答案为：13．
14．解：作射线AD，如图，
由三角形外角的性质得到：∠BDC＝∠BDF+∠CDF＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠ACD＝∠BAC+∠B+∠ACD，
又∵∠BAC＝40°，∠B＝30°，∠BDC＝110°，
则∠ACD＝∠BDC﹣∠BAC﹣∠B＝110°﹣40°﹣30°＝40°，
∵CE平分∠ACD，
∴，
∴∠BEC＝∠BAC+∠ACE＝40°+20°＝60°，
即∠BEC＝60°．
答案为：60°．
15．解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
设DF＝x，
∵CD＝14，
∴CF＝CD﹣DF＝14﹣x，
∵EF⊥CD，
在Rt△DFG中，∠BDC＝60°，
∴∠DGF＝30°，
∴DG＝2DF＝2x，
∵2DG＝AD，
∴AD＝2DG＝4x，
∵CH⊥AB，
在Rt△CHD中，∠BDC＝60°，
∴∠DCH＝30°，
∴DHCD＝7，
∴AH＝AD+DH＝4x+7，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°，∠ACB＝∠ACD+∠FCE＝60°，
∴∠A＝∠FCE，
又∵CH⊥AB，EF⊥CD，
∴∠AHC＝∠CFE＝90°，
在△ACH和△CFE中，
，
∴△ACH≌△CFE（AAS），
∴AH＝CF，
∴4x+7＝14﹣x，
解得：x．
答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）原式＝4x2﹣8x+x﹣2﹣（4x2﹣12x+9）
＝4x2﹣8x+x﹣2﹣4x2+12x﹣9
＝5x﹣11；
（2）去分母得：x（x+2）﹣x2+4＝2，
解答：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1．
17．解：（1）
，
∵当a＝﹣1或2时，原分式无意义，
∴a＝0，
当a＝0时，原式．
18．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，BD＝CD，BE＝CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
（2）解：在Rt△BED和Rt△CFD中，AE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∵△ADE≌△ADF，Rt△BED≌Rt△CFD，
∴AE＝AF，CF＝BE＝4，
∵AC＝20，
∴AE＝AF＝20﹣4＝16，
∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．
19．（1）解：如图所示，△A′B′C′即为所求，
（2）解：由图知A′（1，3），B′（5，1），C′（2，﹣2）；
（3）解：如图所示，点P即为所求．
20．解：（1）ab+a+b+1
＝（ab+a）+（b+1）
＝a（b+1）+（b+1）
＝（a+1）（b+1）；
（2）由题得ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5，
∵a，b为正整数且a＞b，
∴，即，
∴a+b＝8；
（2）由题得ab＝a+b+5，
S＝2a2+3ab+b2+5a﹣b
＝2a2+3a+3b+15+b2+5a﹣b
＝2a2+8a+b2+2b+15
＝2（a2+4a+4）+（b2+2b+1）+6
＝2（a+2）2+（b+1）2+6，
∵（a+2）2≥0，（b+1）2≥0，
∴S≥6，（当且仅当a＝﹣2，b＝﹣1时取等号），
经验证：a＝﹣2，b＝﹣1满足ab﹣a﹣b﹣5＝0，
综上，S的最小值为6．
21．证明：∵AE⊥DB，CF⊥DB，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵DE＝BF，
∴DF＝BE，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴∠A＝∠C．
22．解：（1）设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x元/瓶，依题意得：2．
解得，x＝10．
经检验，x＝10是原方程的根．
所以该商场购进的第一批消毒液的单价为10元/瓶；
（2）共获利：（200）×13+200×13×0.9﹣（8000+17600）＝5340（元）．
在这两笔生意中商场共获得5340元．
23．解：（1）判断：EN与MF相等（或EN＝MF），点F在直线NE上，
（2）成立．
延长EN交BC于点F，连接DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC．
∵DMN为等边三角形，DM＝DN，
又∵D，E，F是三边的中点，
∴EF＝DF＝BF，则BD＝DF，
∵∠BDM+∠MDF＝60°，∠FDN+∠MDF＝60°，
∴∠BDM＝∠FDN，
在△DBM和△DFN中，
，
∴△DBM≌△DFN（SAS），
∴BM＝FN，∠DFN＝∠FDB＝60°，
∴NF∥BD，
∵E，F分别为边AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BD，
∴F在直线NE上，
∵BF＝EF，
∴MF＝EN．
（3）如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF＝NE成立）．
连接DF、DE，
由（2）知DE＝DF，∠NDE＝∠FDM，DN＝DM，
在△DNE和△DMF中，
∴△DNE≌△DMF（SAS），
∴MF＝NE．
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