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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第五章 圆
5.1 圆的有关概念和性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 圆的有关概念及性质 ☆ 数学中考中，有关圆的概念与性质部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、 填空题的形式考查。对于这部分的复习需要学生熟练掌握圆的概念和性质、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形。特别是圆周角定律及圆内接多边形是每年都涉及。
考点2 垂径定理及其计算 ☆☆
考点3 圆周角定理及圆内接多边形 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 圆的有关概念及性质
（一）圆的定义和性质
1.圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点__所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
2.圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离___定长r的点的集合．
3.圆心与半径：固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．
4.圆的对称性：
（1）圆是______图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
（2）圆是以圆心为对称中心的_______图形。
【注意】（1）圆心相同且半径相等的圆叫做______；
（2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做_______；
（3）半径相等的圆叫做______。
（二）与圆有关的概念
1. 弦的概念：连结圆上任意两点的_____叫做弦(如图中的AC)。
2. 直径的概念：经过______的弦叫做直径（如图中的AB）。
【注意1】（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。
3.弧的概念：圆上任意两点间的_____叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
4.等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相_____的弧叫做等弧。
5.半圆的概念：圆的任意一条_____的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
6.优弧的概念：在一个圆中______半圆的弧叫做优弧。如图中的 ；
7.劣弧的概念：_____半圆的弧叫做劣弧。如图中的。
8.圆的周长公式：c＝2πr．
9.圆的面积公式：S＝πr2
【注意2】对圆的认识需要注意的几个问题
（1）在一个圆中可以画出无数条弦和直径．
（2）直径是弦，但弦不一定是直径．
（3）在同一个圆中，直径是最长的弦．
（4）半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．
（5）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．
考点2. 垂径定理及其计算
1. 垂径定理:垂直于弦的______平分弦,并且平分弦所对的____条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
【温馨提示】垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
2. 垂径定理的推论：
推论1：1）平分弦（不是直径）的____垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的________经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的______弧。
推论2：圆的两条_____弦所夹的弧相等。
3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
4.垂径定理的应用
解决应用垂径定理的圆问题，基本思路就是利用勾股定理构造方程。
考点3. 圆周角定理及圆内接多边形
（一）弧、弦、圆心角的关系问题
1.圆心角的定义
（1）顶点在_____的角,叫圆心角，如∠AOB .
（2）圆心角 ∠AOB 所对的弧为
（3）圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
注意：对于任意给定一个圆心角，都对应出现三个量：即圆心角、弧、弦。
2.圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的_____相等， 圆心角所对的____相等。
推论：（1）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的______相等，弧所对的____相等。
（2）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对应的_____相等，弦所对应的____相等，弦所对应的_____相等。
（二）圆周角定理
1.圆周角的定义
_____在圆上，并且两边都与圆_____的角叫做圆周角.
2.圆周角定理及其推论
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的______的一半．
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
圆周角定理推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____．
（2）直径所对的圆周角是直角．
3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形
（1）圆心O在∠BAC的一边上（如图甲）
（2）圆心O 在∠BAC的 内部（如图乙）
（3）圆心O在∠BAC的外部（如图丙）
甲 乙 丙
4.圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于______.
【方法总结】在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
（三）圆内接四边形
如果一个多边形所有_____都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
推论1：圆的内接四边形的对角______.
推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都_____它的内对角.
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
【易错点提示】
考点1. 圆的有关概念及性质
【例题1】（原创）下列对圆的说法中，错误的是（ ）
A．半圆是弧 B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦
【变式练1】（2024湖南一模）下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式练2】（2024福建一模）已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
考点2. 垂径定理及其计算
【例题2】（2024江西省）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______．
【变式练1】（2024西藏一模）在中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【变式练2】（2024山西一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
考点3. 圆周角定理及圆内接多边形
【例题3】（2024甘肃临夏）如图，是直径，，则（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024甘肃一模）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则
∠B=（ ）
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
【变式练2】（2024安徽一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．65°
考点1. 圆的有关概念及性质
1．（2024内蒙古包头）已知中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 厘米．
2．（2024云南）下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2. 垂径定理及其计算
1. （2024内蒙古赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川凉山）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A. B. C. D.
考点3. 圆周角定理及圆内接多边形
1. （2024湖南省）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024甘肃威武）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024四川广元）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. （2024吉林省）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. （2024武汉市）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024江苏连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________．
考点1. 圆的有关概念及性质
1．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
考点2. 垂径定理及其计算
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
2．如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC＝4，AB＝6，则sinA等于（ ）
A． B． C． D．
3. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20m B．28m C．35m D．40m
4. 如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
5．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
考点3. 圆周角定理及圆内接多边形
1. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27° B．108° C．116° D．128°
2. 如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
3. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 cm．
4. 如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
5. 如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为_______．
6．如图所示，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，若，∠E＝70°，则∠ABC的度数（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数
是（ ）
A．65° B．115° C．130° D．140°
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠D＝62°，则∠BAC＝ ．
9. 如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ °．
10．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所对的圆心角的度数．
11．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD．OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为弧AC的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
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第五章 圆
5.1 圆的有关概念和性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 圆的有关概念及性质 ☆ 数学中考中，有关圆的概念与性质部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、 填空题的形式考查。对于这部分的复习需要学生熟练掌握圆的概念和性质、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形。特别是圆周角定律及圆内接多边形是每年都涉及。
考点2 垂径定理及其计算 ☆☆
考点3 圆周角定理及圆内接多边形 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 圆的有关概念及性质
（一）圆的定义和性质
1.圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
2.圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
3.圆心与半径：固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．
4.圆的对称性：
（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
（2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
【注意】（1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
（2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
（3）半径相等的圆叫做等圆。
（二）与圆有关的概念
1. 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(如图中的AC)。
2. 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（如图中的AB）。
【注意1】（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。
3.弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
4.等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
5.半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
6.优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。如图中的 ；
7.劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。如图中的。
8.圆的周长公式：c＝2πr．
9.圆的面积公式：S＝πr2
【注意2】对圆的认识需要注意的几个问题
（1）在一个圆中可以画出无数条弦和直径．
（2）直径是弦，但弦不一定是直径．
（3）在同一个圆中，直径是最长的弦．
（4）半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．
（5）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．
考点2. 垂径定理及其计算
1. 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
【温馨提示】垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
2. 垂径定理的推论：
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
4.垂径定理的应用
解决应用垂径定理的圆问题，基本思路就是利用勾股定理构造方程。
考点3. 圆周角定理及圆内接多边形
（一）弧、弦、圆心角的关系问题
1.圆心角的定义
（1）顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
（2）圆心角 ∠AOB 所对的弧为
（3）圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
注意：对于任意给定一个圆心角，都对应出现三个量：即圆心角、弧、弦。
2.圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等。
推论：（1）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的圆心角相等，弧所对的弦相等。
（2）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对应的圆心角相等，弦所对应的优弧相等，弦所对应的劣弧相等。
（二）圆周角定理
1.圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理及其推论
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
圆周角定理推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
（2）直径所对的圆周角是直角．
3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形
（1）圆心O在∠BAC的一边上（如图甲）
（2）圆心O 在∠BAC的 内部（如图乙）
（3）圆心O在∠BAC的外部（如图丙）
甲 乙 丙
4.圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
【方法总结】在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
（三）圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
推论1：圆的内接四边形的对角互补.
推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
【易错点提示】
考点1. 圆的有关概念及性质
【例题1】（原创）下列对圆的说法中，错误的是（ ）
A．半圆是弧 B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦
【答案】C
【解析】根据圆的有关概念进行判断
A．半圆是弧，所以A选项的说法正确；
B．半径相等的圆是等圆，所以B选项的说法正确；
C．过圆心的弦为直径，所以C选项的说法错误；
D．直径是弦，所以D选项的说法正确．故选C．
【变式练1】（2024湖南一模）下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；
②半径不是弦，所以②错误；
③直径是最长的弦，正确；
④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误．
【变式练2】（2024福建一模）已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】根据圆中最长的弦为直径求解．因为圆中最长的弦为直径，直径为10，所以弦长L≤10．
考点2. 垂径定理及其计算
【例题2】（2024江西省）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______．
【答案】或或2
【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】为直径，为弦，
，
当的长为正整数时，或2，
当时，即为直径，
将沿翻折交直线于点F，此时与点重合，
故；
当时，且在点在线段之间，
如图，连接，
此时，
，
，
，
，
；
当时，且点在线段之间，连接，
同理可得，
，
综上，可得线段的长为或或2．
【变式练1】（2024西藏一模）在中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】根据题意画出图形，然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．
如图所示：∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．
【变式练2】（2024山西一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
【答案】B
【解析】连接AB、CO交于点D，
由题意得，OC⊥AB，
则AD＝DB＝AB＝4，
设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，
解得，R＝5，
则该铁球的直径为10cm．
【提示】垂径定理内容是垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
考点3. 圆周角定理及圆内接多边形
【例题3】（2024甘肃临夏）如图，是直径，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出．
由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出．
，
，
．故选：D．
【变式练1】（2024甘肃一模）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则
∠B=（ ）
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
【答案】C
【解析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．
【变式练2】（2024安徽一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．65°
【答案】D
【解析】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵∠APC为△PCD的外角，
∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．
考点1. 圆的有关概念及性质
1．（2024内蒙古包头）已知中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 厘米．
【答案】6
【解析】中最长的弦为12厘米，
的直径为12厘米，
的半径为6厘米．
2．（2024云南）下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③ 故选B
考点2. 垂径定理及其计算
1. （2024内蒙古赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解．
∵半径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴， 故选：B．
2. （2024四川凉山）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】∵是线段的垂直平分线，
∴直线经过圆心，设圆心为，连接．
中，，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得：；
故轮子的半径为， 故选：C．
考点3. 圆周角定理及圆内接多边形
1. （2024湖南省）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案．
【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着，
，
，
． 故选：C．
2. （2024甘肃威武）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据得到，根据得到，根据直角三角形的两个锐角互余，计算即可．
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴． 故选A．
3. （2024四川广元）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案．
【详解】是圆周角，与圆心角对相同的弧，且，
，
又四边形是的内接四边形，
，
又，
， 故选：A．
4. （2024吉林省）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴, 故选：C．
5. （2024武汉市）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解．
【详解】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，
∵四边形内接于，
∴
∴
∵
∴，
∴是的直径，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴，,
∵
∴
又∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴ 故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
6. （2024江苏连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________．
【答案】90
【解析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
∵是圆的直径，
∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为，
∵、、、所对的弧的和为半圆，
∴．
考点1. 圆的有关概念及性质
1．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】B
【解析】∵AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，
∴∠AOD＝∠DOC，
∴，
∵OA＝OD，
∴．故选：B．
考点2. 垂径定理及其计算
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】B
【解析】由垂径定理知，点E是CD的中点，有CD＝2ED＝2CE，可得DE＝OE，则∠DOE＝∠ODE＝45°，利用圆周角定理即可求解．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CD＝2ED＝2CE，
∵CD＝2OE，
∴DE＝OE，
∵CD⊥AB，
∴∠DOE＝∠ODE＝45°，
∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°．
2．如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC＝4，AB＝6，则sinA等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】∵弦AB⊥OC，AB＝4，OC＝2，
∴AC＝AB＝3，
∴OA＝＝＝5，
∴sinA＝＝．故选：C．
3. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20m B．28m C．35m D．40m
【答案】B
【解析】由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，
设主桥拱半径为R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R＝≈28．故选：B．
4. 如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
【答案】7
【解析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．
如图，连接，
A、B、C是上的点，，
，
D为OC的中点，
，
四边形是菱形，，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．
5．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
【答案】10．
【解析】由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，
如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，
则∠OEC＝90°，
∵餐盘与BC边相切，
∴点E为切点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，
∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），
设餐盘的半径为x cm，
则OA＝OE＝x cm，
∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，
在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴餐盘的半径为10cm，
考点3. 圆周角定理及圆内接多边形
1. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27° B．108° C．116° D．128°
【答案】B
【解析】∵∠A＝54°，
∴∠BOC＝2∠A＝108°．
【提示】圆周角定理内容是：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2. 如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
3. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 cm．
【答案】5．
【解析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．
如图，连接OC．
∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝5（cm），
∴⊙O的半径为5cm．
4. 如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
【答案】62
【解析】连接，根据直径所对的圆周角是90°，可得，由，可得，进而可得．
【详解】连接，
∵AB是的直径，
∴，
，
，
【点睛】考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
5. 如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为_______．
【答案】
【解析】【分析】先由垂径定理求得BC=BD=5，再由直径所对圆周角是直角∠ACB=90°，由余弦定义可推出sinA=,即可求得sinA=,然后由圆周角定理得∠A=∠D，，即可得，即可求解．
【详解】解：连接AC，如图，
∵⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，
∴CH=DH，AB⊥CD，
∴BC=BD=5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴sinA=,
∵∠A=∠D，
∴cosA= cosD=,
∴sinA=sinD=
∴，
∴AB=
【点睛】考查解直角三角形，圆周角定理，垂径定理的推论，求得∠ACB=90°、∠A=∠D是解题关键．
6．如图所示，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，若，∠E＝70°，则∠ABC的度数（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】连接DB，
∵∠E＝70°，
∴∠A＝70°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵，
∴∠DBC＝∠DBA＝20°，
∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°．故选：B．
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数
是（ ）
A．65° B．115° C．130° D．140°
【答案】C
【解析】∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，故选：C．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠D＝62°，则∠BAC＝ ．
【答案】28°．
【解析】连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝62°，
∴∠B＝∠D＝62°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝28°
9. 如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ °．
【答案】80
【解析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．
10．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所对的圆心角的度数．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：连接AD，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OD，OE，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°，
∴所对的圆心角的度数为40°．
11．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5，
∵S△ABC＝AB CE＝BC AC，
∴CE＝＝＝．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD．OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为弧AC的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明见解析；（2）20．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝∠C＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
∴点D为的中点；
（2）∵OF⊥AC，
∴AF＝AC＝8，
在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，
∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，
∴OA2＝64+（OA﹣4）2，
∴OA＝10，
∴⊙O的直径为20．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC， ∴AF＝CF，
∵AB是直径，∴∠C＝90°，
∴OD∥BC，∴∠D＝∠CBE，
∵E是BD的中点，∴BE＝DE，
∵∠BEC＝∠DEF，
∴△BCE≌△DFE（ASA），∴BC＝DF，
∵OF＝BC，∴OF＝DF，∴OF＝OD，
设BC＝x，则OD＝x，
∴AB＝2OD＝3x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（3x）2＝（4）2+x2，
解得x＝2，
BC＝2．
故选：C．
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