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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第六章 图形的变化
6.1 尺规作图
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 基本尺规作图及相应判断 ☆☆ 几何作图题分尺规作图和无刻度作图，是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 从考点频率看，尺规作图是几何作图的基础，也是高频考点、必考点，所以必须熟练尺规作图，而无刻度作图是近几年的新考法，有几个省市着重考查此类题型。从题型角度看，以解答题为主，分值8分左右，着实不少！但选择题、填空题考查几何作图题也不少。
考点2 无刻度直尺作图 ☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
考点1. 基本尺规作图及相应判断
1. 由作角平分线过程求解。这类作图主要考查了_______的性质定理和尺规作图，勾股定理、菱形判定等知识。
2. 由作垂直平分线过程求解。这类作图主要考查了_______的作法和性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌根据垂直平分线的性质等。
考点2. 无刻度直尺作图
1. 网格中有一线的无刻度作图。这类作图主要考查作图-对称变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用_______的思想解决问题。
2. 网格中有一三角形的无刻度作图。 这类作图主要考查格点作图，平行四边形的判定及性质，勾股定理，全等三角形、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关_____的性质是解决问题的关键。
3. 网格中有四边形的无刻度作图。 这类作图主要考查了_____作图、位似图形、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握尺规作图的常见作法是解题关键。
4. 特殊图形中的无刻度作图。 这类作图主要考查了作图—复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图_____成基本作图，逐步操作，也考查了全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质等。
5. 平行四边形中的无刻度作图。 这类作图主要考查作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握______的判定与性质是解答本题的关。
6. 矩形、菱形、正方形中的无刻度作图。这类作图主要考查了复杂作图，掌握____________的性质是解题的关键。
【提示】几何作图题分尺规作图和无刻度作图，是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，尺规作图是几何作图的基础，也是高频考点、必考点，所以必须熟练尺规作图，而无刻度作图是近几年的新考法，有几个省市着重考查此类题型。
2．从题型角度看，以解答题形式出现的情况成为常态，分值8分左右。
考点1. 基本尺规作图及相应判断
【例题1】（2024深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有①
【变式练1】（2024长春一模）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确
是（ ）
A. B.
C. D.
【变式练2】（2024江苏连云港一模）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
【变式练3】（2024山东烟台一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
考点2. 无刻度直尺作图
【例题2】（2024武汉市）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
（4）在（3）基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
【变式练1】（2024湖南长沙一模）如图是的正方形网格，已知格点△ABC（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)图1中，在边上找一点，作线段，使得；
(2)图2中，在边上找一点，作线段，使得．
【变式练2】（2024广州一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，先以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长；
(2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形．
【变式练3】（2024深圳一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，仅用无刻度的直尺作图：
(1)在上取点M，使四边形为平行四边形；
(2)在的延长线上取一点F，使四边形为平行四边形．
考点1. 基本尺规作图及相应判断
1. （2024河北省）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线
2. （2024四川成都市）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
3. （2024武汉市）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024湖南省）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________．
5. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则______．
6. （2024贵州省）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为______．
7. （2024河南省）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形是菱形
8. （2024四川达州）如图，线段、相交于点．且，于点．
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
9. （2024广西）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
10. （2024广州） 如图，中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
11. （2024福建省）如图，已知直线．
（1）在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积．
12. （2024甘肃临夏）根据背景素材，探索解决问题．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形
背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件 点与坐标原点重合，点在轴正半轴上且坐标为
操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形．
问题解决
任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______．
13. （2024甘肃威武）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长交于点C；
即点A，B，C将的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______．
考点2. 无刻度直尺作图
1. （2024天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上．
（1）线段的长为______；
（2）点在水平网格线上，过点作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使的周长最短，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______．
2. （2024吉林省）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，面出四边形的一条对称轴．
（2）在图②中，画出经过点E的的切线．
3. （2024江西省）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）如图，过点作的垂线；
（2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
考点1. 基本尺规作图及相应判断
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
A. B. C. D.
2．（2021湖北黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
3. 如图，已知直线AB和AB上的一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：
第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
第二步：分别以点D和点E为圆心，以为半径作弧，两弧交于点F；
第三步：作直线CF，直线CF即为所求．
下列关于的说法正确的是（ ）
A. ≥ B. ≤ C. D.
4．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心
5．如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
6.如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）
A B. 4 C. 6 D.
7．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；③以点A为圆心，AB长为半径作弧；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
8．已知： AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．
③画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（ ）
A．（，3） B．（3﹣，3） C．（﹣，3） D．（2﹣，3）
9. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____．
10．如图，∠MON＝40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为 ．
11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为__________________．
12. 如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
13. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
14. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
15. 如图，四边形ABCD是矩形．
（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．
16. 如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
考点2. 无刻度直尺作图
1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．
(1)在图1中作等腰，满足条件的格点C有______个，请在图中画出其中一个．
(2)在图2中，只用一把无刻度直尺，在线段上求作一点D，使得，并保留作图痕迹．
2. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)如图①，是内一点，在上找一点，使；
(2)如图②，在线段上找到点，连结，使的面积为3；
(3)如图③，在线段上找到点，连结，使的面积为3．
3. 如图，在和中，，，与相交于点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
(1)如图1，作线段的垂直平分线；
(2)如图2，在上分别取点，使得．
1．已知平行四边形是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点E关于平行四边形对称中心的对称点．
(1)如图1，点是平行四边形的上一点；
(2)如图2，点是平行四边形外一点．
4. 在矩形中，．图1中，点在边上，；图2中，点在边上，，点是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1的CD边上作出点F，使四边形为菱形．
(2)在图2的CD边上作出点G，使四边形为正方形．
5. 只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线．
(2)如图2．已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F．
6. 如图，在正方形中，，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）
(1)在图①中，画出的中点M；
(2)在图②中，画出的中点N．
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第六章 图形的变化
6.1 尺规作图
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 基本尺规作图及相应判断 ☆☆ 几何作图题分尺规作图和无刻度作图，是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 从考点频率看，尺规作图是几何作图的基础，也是高频考点、必考点，所以必须熟练尺规作图，而无刻度作图是近几年的新考法，有几个省市着重考查此类题型。从题型角度看，以解答题为主，分值8分左右，着实不少！但选择题、填空题考查几何作图题也不少。
考点2 无刻度直尺作图 ☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
考点1. 基本尺规作图及相应判断
1. 由作角平分线过程求解。这类作图主要考查了角平分线的性质定理和尺规作图，勾股定理、菱形判定等知识。
2. 由作垂直平分线过程求解。这类作图主要考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌根据垂直平分线的性质等。
考点2. 无刻度直尺作图
1. 网格中有一线的无刻度作图。这类作图主要考查作图-对称变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题。
2. 网格中有一三角形的无刻度作图。 这类作图主要考查格点作图，平行四边形的判定及性质，勾股定理，全等三角形、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键。
3. 网格中有四边形的无刻度作图。 这类作图主要考查了复杂作图、位似图形、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握尺规作图的常见作法是解题关键。
4. 特殊图形中的无刻度作图。 这类作图主要考查了作图—复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质等。
5. 平行四边形中的无刻度作图。 这类作图主要考查作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关。
6. 矩形、菱形、正方形中的无刻度作图。这类作图主要考查了复杂作图，掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键。
【提示】几何作图题分尺规作图和无刻度作图，是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，尺规作图是几何作图的基础，也是高频考点、必考点，所以必须熟练尺规作图，而无刻度作图是近几年的新考法，有几个省市着重考查此类题型。
2．从题型角度看，以解答题形式出现的情况成为常态，分值8分左右。
考点1. 基本尺规作图及相应判断
【例题1】（2024深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有①
【答案】B
【解析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分；
在图③中，利用作法得，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
则①③可得出射线平分．故选：B．
【变式练1】（2024长春一模）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式练2】（2024江苏连云港一模）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
【答案】
【解析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
【详解】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．
【变式练3】（2024山东烟台一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】【分析】（1）连接OA,过点A作AD⊥AO即可；
（2）连接OB，OC．先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．
【详解】(1)解：如图，切线AD即为所求；
(2)如图：连接OB，OC．
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC cos30°＝，
∴BC＝2．
【点睛】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
考点2. 无刻度直尺作图
【例题2】（2024武汉市）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
（4）在（3）基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析 （3）作图见解析
（4）作图见解析
【解析】【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
（1）作矩形，对角线交于点D，做射线，即可；
（2）作,射线于点Q，连接交于点E，即可；
（3）在下方取点F，使，是等腰直角三角形，连接， ，交于点G，即可；
（4）作，交于点M，作，交于点N，连接，即可．
【小问1详解】
如图，作线段，使四边形是矩形，交于点D，做射线，点D即为所求作；
【小问2详解】
如图，作,作于点Q，连接交于点E，点E即为作求作；
【小问3详解】
如图，在下方取点F，使，连接，连接并延长，交于点G，点F，G即为所求作；
【小问4详解】
如图，作，交射线于点M，作，交于点N，连接，线段即为所求作．
【变式练1】（2024湖南长沙一模）如图是的正方形网格，已知格点△ABC（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)图1中，在边上找一点，作线段，使得；
(2)图2中，在边上找一点，作线段，使得．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的面积、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）取线段的中点，连接，则点即为所求．
（2）取格点，，使，且，连接，交于点，连接，则点即为所求．
【详解】（1）
解：如图1，取线段的中点，连接，
则得，
则点即为所求；
（2）
解：如图2，取格点，，使，且，
连接，交于点，连接，
则，
则，
，
，
则点即为所求．
【变式练2】（2024广州一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，先以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长；
(2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【分析】（1）取的中点，然后顺次连接即可；根据勾股定理可得，，结合图形可知，故，取格点，使得，则有，连接，再取点，连接，此时可有，，即四边形为平行四边形，则有，易得，，所以，易得，连接，则平分四边形的周长；
（2）取格点，，，使得，，，连接交于，易证明，所以，结合，可得，即为直角三角形，因为，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得；在网格中取点，连接交于点，则，过点作，交为点，即可获得答案．
【详解】（1）解：如下图，四边形，线段即为所求；
（2）如下图，，四边形即为所求．
【变式练3】（2024深圳一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，仅用无刻度的直尺作图：
(1)在上取点M，使四边形为平行四边形；
(2)在的延长线上取一点F，使四边形为平行四边形．
【答案】(1)见详解 (2)见详解
【分析】（1）连接，交于点O，连接并延长交于点M，则点M即为所求，因为四边形为平行四边形，则，又因为E为的中点，O为的中点，所以，即，所以四边形为平行四边形；
（2）连接并延长交的延长线于点F，连接，则点F即为所求，因为四边形为平行四边形，则，所以，又因为E为的中点，所以，且，所以，即，所以四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：点M即为所求：
（2）解：如图，点F即为所求：
考点1. 基本尺规作图及相应判断
1. （2024河北省）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线
【答案】B
【解析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．
由作图可得：，
∴线段一定是的高线；故选B
2. （2024四川成都市）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定．
【详解】由作图可知，为的角平分，
∴，故A正确；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，故D错误；
∵，
∴，故C正确，故选：D．
3. （2024武汉市）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：作图可得
∴四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，故选：C．
4. （2024湖南省）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________．
【答案】6
【解析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，．
详解】作图可知平分，
∵是边上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，故答案为：6．
5. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则______．
【答案】2
【解析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案．
【详解】根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数；
，
解得：．
6. （2024贵州省）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为______．
【答案】5
【解析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出，即可求解．
由作图可知∶ ，
∵，
∴．
7. （2024河南省）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形是菱形
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证．
【小问1详解】
解：如图，
；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形．
8. （2024四川达州）如图，线段、相交于点．且，于点．
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，理由见解析
【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定：
（1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接、即可；
（2）先证明，得到，再证明，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
9. （2024广西）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求．
（2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长．
【小问1详解】
解：如下直线l即为所求．
【小问2详解】
连接如下图：
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
10. （2024广州） 如图，中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析
【解析】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）证明：如图，
∵由作图可得：，由旋转可得：，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
11. （2024福建省）如图，已知直线．
（1）在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积．
【答案】（1）见解析； （2）的面积为1或．
【解析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想：
（1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可；
（2）分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可
【小问1详解】如图，
直线就是所求作的直线．
【小问2详解】
①当时，
，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：，
，
．
②当时，
分别过点作直线的垂线，垂足为，
．
，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，
．
，，
，，
．
在中，由勾股定理得，
．
．
③当时，同理可得，．
综上所述，的面积为1或．
12. （2024甘肃临夏）根据背景素材，探索解决问题．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形
背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件 点与坐标原点重合，点在轴正半轴上且坐标为
操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形．
问题解决
任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______．
【答案】任务一：见解析；任务二：
【解析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
任务一：根据操作步骤作出，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出，即得出，最后顺次连接即可；
任务二：由旋转的性质可知，即得出，即此时点所在位置的坐标为．
【详解】解：任务一：如图，正六边形即为所作；
任务二：如图，
由旋转可知，
∴，
∴．
13. （2024甘肃威武）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长交于点C；
即点A，B，C将的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可；
（2）连接，设的交点为D，得到，根据的半径为，是直径，是等边三角形，计算即可．
本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关键．
【小问1详解】
根据基本作图的步骤，作图如下：
则点A，B，C是求作的的圆周三等分点．
【小问2详解】
连接，设的交点为D，
根据垂径定理得到，
∵的半径为，是直径，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
考点2. 无刻度直尺作图
1. （2024天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上．
（1）线段的长为______；
（2）点在水平网格线上，过点作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使的周长最短，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______．
【答案】 ①. ②. 图见解析，说明见解析
【解析】【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键．
（1）利用勾股定理即可求解；
（2）根据圆的相关性质和网格特点进行作图即可．
【详解】（1）由勾股定理可知，，
故答案为：
（2）如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与相交于点，则点即为所求．
2. （2024吉林省）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，面出四边形的一条对称轴．
（2）在图②中，画出经过点E的的切线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：
（1）如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求；
（2）如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求；
易证明四边形是矩形，且E、F分别为的中点；
【小问2详解】
解：如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求；
易证明四边形是正方形，点E为正方形的中心，则．
3. （2024江西省）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）如图，过点作的垂线；
（2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析．
【解析】【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线；
（）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即；
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
考点1. 基本尺规作图及相应判断
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
根据作图过程可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，
∴BD=BC，故选项A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，故选项B成立；
没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立；故选：D．
【点睛】考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
2．（2021湖北黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE＝DC，再利用勾股定理计算出AC＝8，然后利用面积法得到 DE×10+ CD×6＝×6×8，最后解方程即可．
解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴ DE×10+ CD×6＝×6×8，
即5CD+3CD＝24，
∴CD＝3．
故选：A．
3. 如图，已知直线AB和AB上的一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：
第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
第二步：分别以点D和点E为圆心，以为半径作弧，两弧交于点F；
第三步：作直线CF，直线CF即为所求．
下列关于的说法正确的是（ ）
A. ≥ B. ≤ C. D.
【答案】C
【解析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，结合三角形三边关系判断即可．
由作图可知，分别以点和点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点，此时．
【点睛】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心
【答案】C
【解析】根据题意判断AD是∠BAC的角平分线，可知C正确，根据重心和外心定义可知B、D选项错误，根据三角形任意两边之和大于第三边可知A错误．
由题可知AD是∠BAC的角平分线，
A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故选项A错误，不符合题意；
B、△ABC的重心是三条中线的交点，故选项B错误，不符合题意；
C、∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，故选项C正确，符合题意；
D、△ABC的外心是三边中垂线的交点，故选项D错误，不符合题意．
5．如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【解析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF≠∠AOB，可知（Ⅱ）错误．
解：如图，连接EM，EN，MF．NF．
∵OM＝ON，OE＝OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵EF＝MN，
∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图象可知∠MOF≠∠AOB，
∴S扇形FOM≠S扇形AOB，故（Ⅱ）错误，故选：D．
6.如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）
A B. 4 C. 6 D.
【答案】A
【解析】【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得．
【详解】根据作图知CE垂直平分AC，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵线段AB是半圆O的直径，∴，
在中，根据勾股定理得，
，故选A．
【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．
7．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；③以点A为圆心，AB长为半径作弧；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
【答案】D
【解析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AE,AP的长，即可得出答案．
∵AC⊥AB， ∴∠CAB＝90°,
∵AD平分∠BAC, ∴∠EAB＝×90°＝45°,
∵EP⊥AB, ∴∠APE＝90°,
∴∠EAP＝∠AEP＝45°,∴AP＝PE, ∴设AP＝PE＝x,
故AE＝AB＝x,
∴AP：AB＝x:x＝1:．
8．已知： AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．
③画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（ ）
A．（，3） B．（3﹣，3） C．（﹣，3） D．（2﹣，3）
【答案】A
【解析】利用基本作图得到∠AOF＝∠COF，再根据平行四边形的性质得到AD∥OC，接着证明∠AOF＝∠AFO得到OA＝AF，设AF交y轴于M，如图，设A（t，3），则AM＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+2，利用勾股定理得到t2+32＝（﹣t+2）2，然后解方程求出t即可得到A点坐标．
解：由作法得OE平分∠AOC，则∠AOF＝∠COF，
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴AD∥OC，
∴∠AFO＝∠COF，
∴∠AOF＝∠AFO，∴OA＝AF，
设AF交y轴于M，如图，
∵F（2，3），
∴MF＝2，OM＝3，
设A（t，3），
∴AM＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+2，
在Rt△OAM中，t2+32＝（﹣t+2）2，解得t＝﹣，
∴A（﹣，3）．故选：A．
9. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____．
【答案】
【解析】根据作图可知，，根据直角三角形两个锐角互余，可得，根据即可求解．
【详解】∵在中，，，
∴，
由作图可知是的垂直平分线，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出是的垂直平分线，是解题的关键．
10．如图，∠MON＝40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】4+π．
【解析】利用作图得到OA＝OB＝OD＝4，∠BOD＝∠AOD＝20°，则根据弧长公式可计算出的长度为π，过B点关于OM的对称点F，连接DF交OM于E′，连接OF，如图，证明△ODF为等边三角形得到DF＝4，接着利用两点之间线段最短可判断此时E′B+E′D的值最小，从而得到阴影部分周长的最小值．
解：由作法得OC平分∠MON，OA＝OB＝OD＝4，
∴∠BOD＝∠AOD＝∠MON＝×40°＝20°，
∴的长度为＝π，
过B点关于OM的对称点F，连接DF交OM于E′，连接OF，如图，
∴OF＝OB，∠FOA＝∠BOA＝40°，∴OD＝OF，
∴△ODF为等边三角形，∴DF＝OD＝4，
∵E′B＝E′F，
∴E′B+E′D＝E′F+E′D＝DF＝4，
∴此时E′B+E′D的值最小，
∴阴影部分周长的最小值为4+π．
故答案为4+π．
11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为__________________．
【答案】
【解析】根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长．
如图，连接EG，
根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，∠BEG=∠C=90°，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，
∴AE＝＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，
∴EG2﹣DE2＝DG2
∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2，
解得CG＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，作图-基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
12. 如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】作的角平分线即可．
如图，射线即为所求作．
【点睛】考查角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
13. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
【答案】C
【解析】如图，△ABC为所作．
14. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【答案】（1）见解析 （2）45°．
【解析】（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
15. 如图，四边形ABCD是矩形．
（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．
【答案】（1）见解析。（2）．
【解析】（1）如图所示：
（2）∵四边形ABCD是矩形，EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，∠CAB＝∠ACE＝30°，
∴∠ECB＝60°，
∴∠ECB＝30°，
∵BC＝4，
∴BE＝．
16. 如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【答案】答案见解析．
【解析】方法一：作出OP的垂直平分线，交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
方法二：作出以OP为底边的等腰三角形BPO，再作出∠OBP的角平分线交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
【详解】解：
作法：连结PO，分别以P、O为圆心，大于PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A；以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
作法：连结PO，分别以P、O为圆心，以大于PO的长度为半径画弧交PO上方于点B，连结BP、BO；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BP、BO于C、D两点，分别以于C、D两点为圆心，大于CD的长度为半径画弧交于一点，连结该点与B点，并将其反向延长交PQ于点A，以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
考点2. 无刻度直尺作图
1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．
(1)在图1中作等腰，满足条件的格点C有______个，请在图中画出其中一个．
(2)在图2中，只用一把无刻度直尺，在线段上求作一点D，使得，并保留作图痕迹．
【答案】(1)4，见解析 (2)见解析
【解析】（1）当以为底边时，点C应在线段的中垂线上，显然易找出点C，如图1、图2；
当以为腰时，如图3、图4．（画出其中一个即可）
故答案为：4；
（2）如图5，D即为所求作的点．
提示：∵，
∴与相似．
又∵，
∴．
2. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)如图①，是内一点，在上找一点，使；
(2)如图②，在线段上找到点，连结，使的面积为3；
(3)如图③，在线段上找到点，连结，使的面积为3．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】本题考查格点作图，平行四边形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）取格点，连接，交于，点即为所求；
（2）取格点，，连接交于，点即为所求；
（3）取格点，，连接交于，连接，，点即为所求．
【解析】（1）如图，取格点，连接，交于，
由勾股定理可得，，
∴四边形是平行四边形，
∴，则，
即：点为所求；
（2）的面积，
如图，取格点，，连接交于，
由图可知，，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
即：点即为所求；
（3）如图，取格点，，连接交于，连接，，
由图可知，，，，
则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即：点即为所求．
3. 如图，在和中，，，与相交于点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
(1)如图1，作线段的垂直平分线；
(2)如图2，在上分别取点，使得．
1．已知平行四边形是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点E关于平行四边形对称中心的对称点．
(1)如图1，点是平行四边形的上一点；
(2)如图2，点是平行四边形外一点．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）连接，，交于点O，再连接并延长，与交于点F即可；
（2）同（1）的方法找出点O，连接，交于G，连接并延长，交于H，连接并延长，与的延长线交于点F．
【详解】（1）解：如图，点F即为所求；
（2）如图，点F即为所求．
【点睛】本题考查了平行四边形的对称性，中心对称图形的性质，解题的关键是通过对称构造图形，得到需要的点和线．
4. 在矩形中，．图1中，点在边上，；图2中，点在边上，，点是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1的CD边上作出点F，使四边形为菱形．
(2)在图2的CD边上作出点G，使四边形为正方形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）连接，相交于点，则点为的中点，也是菱形的对角线交点，连接并延长交于点，则点即为所求；
（2）连接，交于点，连接并延长交于点，则点为的中点，连接交于点，则为正方形的对角线，为的中点，也是正方形的对角线交点，连接并 延长交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图1所示，连接，相交于点，连接并延长交于点，连接，则点即为所求，
在矩形中，，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）解：如图2所示，连接，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接并 延长交于点，连接，则点即为所求，
四边形是矩形，
，，，，，
点为中点，
，，
，，
点为的中点，
，
在中，，在中，，
，，
四边形是平行四边形，
又，，
四边形是正方形．
【点睛】本题考查了直尺作图，矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定，三角形中位线性质，根据矩形对角线的性质确定菱形和正方形的对角线交点，是解本题关键．
5. 只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线．
(2)如图2．已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F．
【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析
【分析】（1）由等腰三角形三线合一，可知的角平分线过线段的中点，由平行四边形的性质可知，的中点即为平行四边形对角线的交点，过与的中点的射线即为所求，作图即可，如图1；
（2）由菱形的性质，三角形的三条中线交于一点即重心，作的中线，，交点为重心，连接并延长交于，即为所求，如图2．
【详解】（1）解：如图1，连接、交于点，过作射线，即为所求；
（2）解：如图2，连接，，与交于点G，连接，与交于点，连接并延长交于，即为所求；
6. 如图，在正方形中，，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）
(1)在图①中，画出的中点M；
(2)在图②中，画出的中点N．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查无尺规作图，涉及到正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；
（1）连接，连接的交点和点E，交于点M，点M为所求；
（2）作法不唯一，根据正方形的性质，由（1）得：点M为的中点，连接与交于点H，连接交与点N，点N即为所求．
【详解】（1）解：如图，点M为所求；
（2）解：如图，点N即为所求，
由（1）得：点M为的中点，连接与交于点H，连接交于点N，点N即为所求；
∵四边形是正方形，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
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