【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案：6.3 图形的相似（学生版+教师版）

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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第六章 图形的变化
6.3 图形的相似
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 相似的有关概念与相似多边形 ☆☆ 图形相似部分，属于初中数学难点，也是中考重点，每年考查1~3道题,分值为3~19分，常以选择题、填空题、解答题的形式考察。特别是在压轴题里体现图形相似的知识点多，如在解决圆的证明与计算有的题用到相似、有的抛物线压轴题体现相似、有的探索实践类综合题也体现相似。其重要性不言而喻。
考点2 相似三角形的性质与判定 ☆☆☆
考点3 图形的位似 ☆
考点4 一线三等角问题 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
考点1. 相似的有关概念与相似多边形
1.比例线段的相关概念
（1）如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是或写成a：b=m：n
（2）在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。
（3）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
（4）若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。
（5）如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。
2.比例的性质
（1）基本性质
①a：b=c：dad=bc
②a：b=b：c
（2）更比性质（交换比例的内项或外项）
（3）反比性质（交换比的前项.后项）：
（4）合比性质：
（5）等比性质：
3.黄金分割
把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB
4.平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
5.相似多边形
相似多边形定义1：形状相同的图形叫做相似图形。
相似多边形定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似多边形性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
注意：多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
考点2. 相似三角形的性质与判定
1. 相似三角形的判定定理
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边成比例的两个三角形相似。
符号语言：
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
符号语言：
判定4：两角分别相等的两个三角形相似。
符号语言：
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
判定直角三角形相似的方法：
推论1：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
推论2：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
【易错点提示】
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
【思路方法总结】三角形相似的判定定理的使用：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定1；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
2. 相似三角形的性质定理
（1）相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
（2）相似三角形性质：
性质定理1：相似三角形的对应角相等；
性质定理2：相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
性质定理3：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
注意1：相似三角形对应高的比等于相似比。相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比。
注意2：由三角形面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【思路方法总结】相似三角形的判定方法归纳总结（理解牢记）
(1)定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似。
（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（5）两角分别相等的两个三角形相似。
（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似。
3. 相似三角形的应用
（1）利用相似三角形测量高度
1）测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
2）测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
（2）利用相似三角形测量宽度：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
（3）利用相似解决有遮挡物问题
考点3. 图形的位似
1.位似图形的概念
两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．
【易错点提示】
（1）判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．
（2）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
2.位似图形的性质
（1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等．
（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比）
（3）对应线段平行或者在一条直线上．
3.画位似图形
画位似图形的一般步骤：
① 确定位似中心；
② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点．
位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外.
4.基本模型
5.平面直角坐标系中的位似
（1）平面直角坐标系中的位似变换
1）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k．
3）当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍．
（2）性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
考点4. 一线三等角问题
1.一线三等角基本含义： 一线三等角就是指两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等且落在同一条直线上，故称一线三等角。如图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角。
2.一线三等角基本类型及特点与结论
（1）同侧型一线三等角
锐角一线三等角 钝角一线三等角 直角一线三等角
【特点】∠1＝∠2＝∠3
【结论】1.△CAP∽△PBD
2．当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD
（2）异侧型一线三等角
锐角一线三等角 钝角一线三等角 直角一线三等角
【特点】点P在线段BA的延长线上，∠1＝∠2＝∠3
【结论】1.△CAP∽△PBD；
2．当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD
考点1. 相似的有关概念与相似多边形
【例题1】 （2024江苏连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁
【答案】D
【解析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．
由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．
故选D．
【变式练1】（2024湖北一模）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【答案】B
【解析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B．
【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
【变式练2】（2024内蒙古赤峰一模）如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x.
【答案】见解析。
【解析】∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，
∴ 它们的对应角相等．由此可得
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
在四边形ABCD中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.
∵ 四边形ABCD和EFGH相似，
∴它们的对应边成比例，由此可得
解得 x ＝ 28 cm.
考点2. 相似三角形的性质与判定
【例题2】 （2024湖南省）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】∵点分别为边的中点，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，故错误；
故选：．
【变式练1】（2024河北一模）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用相似三角形的判定依次判断可求解．
∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，
A.若，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
B.若，且∠DAE=∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；
C.若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；
D.若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
【变式练2】（2024湖南一模） 如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．
【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【解析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
∵∠A=∠A，
∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似．
故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【变式练3】（2024河南一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键．
【变式练4】（2024浙江湖州一模）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，．若DE＝2，则BC的长是______．
【答案】6
【解析】根据相似三角形的性质可得，再根据DE=2，进而得到BC长．
根据题意，
∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵DE＝2，
∴，
∴；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质进行计算．
考点3. 图形的位似
【例题3】 （2024黑龙江绥化）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解．
依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是
故选：D．
【变式练1】（2024深圳一模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′=1：2
D．AB∥A′B′
【答案】C．
【解析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
【变式练2】（2024云南一模）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为　 　．
【答案】18．
【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），
∴A′（4，4），C′（12，2），
∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．
【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
【变式练3】（2024长沙一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2.
【答案】见解析
【解析】利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形.
考点4. 一线三等角问题
【例题4】 （2024广州） 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
．
【变式练1】（2024武汉一模）如图，在等边△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，且∠ADE＝60°，若BD＝4，CE＝3，求AB的长．
【答案】16
【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD＋∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠CDE＋∠ADB＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，即＝，
∴AB＝16.
【变式练2】（2024海南一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝2AB，∠BAC＝90°，AE⊥CE于点E，BD⊥AE于点D，若DE＝4AD，求cos ∠ABD的值．
【答案】.
【解析】∵∠BAC＝90°，AE⊥CE，BD⊥AE，
∴∠BAD＋∠EAC＝90°，∠EAC＋∠ACE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
∵∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴△BAD∽△ACE，
∵AC＝2AB，
∴EC＝2AD，
∵DE＝4AD，
∴AE＝DE＋AD＝5AD，
在Rt△AEC中，由勾股定理，得AC＝＝AD，
∴cos ∠ABD＝cos ∠CAE＝＝.
考点1. 相似的有关概念与相似多边形
1. （2024江苏盐城）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______．
【答案】##
【解析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
∵两个相似多边形的相似比为，
∴它们的周长的比为．
考点2. 相似三角形的性质与判定
1. （2024重庆市B）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．
∵两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形面积的比是，故选：D．
2. （2024陕西省）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，
∴，即，
解得，故选：B．
3. （2024四川内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．
∵与相似，且相似比为，
∴与的周长比为，故选B．
4. （2024四川乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则______．
【答案】
【解析】本题考查了平行线间距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可．
【详解】解：设的距离为，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴．
5. （2024辽宁）如图，，与相交于点，且与面积比是，若，则的长为______．
【答案】12
【解析】考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
6. （2024云南省）如图，与交于点，且．若，则__________．
【答案】##0.5
【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题．
，
，
．
7. （2024山东滨州）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是____________．（写出一种情况即可）
【答案】或或
【解析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．
，
∴当时，．
当时，．
当时，．
故答案为：或或．
8. （2024吉林省）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为______．
【答案】
【解析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即．
【详解】∵正方形的对角线相交于点O，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即
9. （2024江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．
【答案】
【解析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为
10. （2024湖南长沙）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解．
【详解】如图，过D作，交延长线于H，则，
∵在菱形中，，，
∴，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故选：C．
11. （2024内蒙古赤峰）如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④
【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解．
【详解】∵，，
∴，，
由旋转的性质得，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
①点B在旋转过程中经过的路径长是；①说法正确；
②∵，∴；②说法正确；
③∵，
∴，
∴；③说法正确；
④∵，，
∴，
∴．④说法正确；
综上，①②③④都是正确的，
故选：A．
12. （2024山东枣庄）如图，点为平行四边形ABCD的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
【解析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键．
作辅助线如图，由平行正相似先证，再证，即可求得结果．
【详解】延长和，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴．故选：B．
13. （2024江苏常州）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________．
【答案】
【解析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可；
的垂直平分线分别交边于点E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
14. （2024四川德阳）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点．
（1）证明：；
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定、三角形全等的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解题关键．
（1）先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据定理即可得证．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴
∵，
∴．
【小问2详解】
证明：∵是等边三角形，，，
∴，
∴
∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴．
15. （2024内蒙古赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）①②，证明见解析
（3）
【解析】【分析】（1）等边对等角，得到，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论；
（2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果；
②猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论；
（3）过点作，角平分线的性质，得到，推出，等角的余角相等，得到，进而得到，得到，根据，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①当时，；当时，，
∴总结规律得：是的2倍，
∴当时，；
②当时，猜想，
证明：作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴；
【小问3详解】
，理由如下：
过点作，
∵，，
∴，
由（2）知，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键．
考点3. 图形的位似
1. （2024四川凉山）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，，
∴，
∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，
∵三角形硬纸板的面积为，
∴，
∴的面积为．
故选：D．
2. （2024重庆）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（ ）
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9
【答案】A
【解析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解．
∵与位似
∴
∵与的位似比是1:2
∴与的相似比是1:2
∴与的周长比是1:2
【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质．
考点4. 一线三等角问题
1. （2024甘肃威武）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解
【解析】（1），理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键．
2. （2024山东烟台）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键．
（1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可；
（2）同（1）中方法证明，再证明即可；
（3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可．
【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）补全图形如图：
，理由如下：
过点作交于点，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴．
当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上：或
考点1. 相似的有关概念与相似多边形
1.在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小．
【答案】x=31.5,y=27,=83°．
【解析】∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等．
∴，
∴．
．
【点拨】利用图形相似，对应边成比例，对应角相等的性质来进行解题。
考点2. 相似三角形的性质与判定
1.如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
【答案】见解析。
【解析】在 △ABC 和 △ADE 中，
∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE.
故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠D，∠C=∠E，
∠BAD=∠CAE.
2.如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
【答案】见解析。
【解析】证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.
∵ 在△DEF中，∠E=80 °，
∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC ∽△DEF.
3. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由平行线得出△ADE∽△ABC，得出对应边成比例＝，即可得出结果．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝6，
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
4. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
【答案】C
【解析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．
在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
5. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解．
∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键．
6．如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
【答案】
【解析】先根据三角形中位线定理得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得的面积，由此即可得出答案．
点，分别是边，的中点
，即
又
则四边形的面积为．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
7. 如图，相交于点E，，则的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 6
【答案】C
【解析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE的长，即可求得BD的长．
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．
8. 如图，在中，，则的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
∴ ，
∴．
【点睛】考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解．
∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C．
11. 如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是________．
【答案】12
【解析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM、MN、CN之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解．
如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，
，，，，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
求出,
．
【点睛】本题考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一定的难度，不断的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
12. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2) 由BE2=AB AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．
【详解】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．
∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．
∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．
(2)∵BE2=AB AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，
∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13. 如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，
∴∠DFC＝∠AED，
又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE，
∴△DFC∽△AED；
（2）∵CD＝AC，
∴＝
由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，
故：＝（）2＝（）2＝．
13. 如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）由两角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEC；
（2）由相似三角形的性质可得＝()2＝，即可求解．
证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC；
（2）∵△ABC∽△DEC；
∴＝()2＝，
又∵BC＝6，
∴CE＝9．
考点3. 图形的位似
1．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【答案】A
【解析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可．
设点B′的横坐标为x，
则B、C间的横坐标的长度为a﹣1，B′、C间的横坐标的长度为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3
2.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（　　）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
【答案】D
【解析】根据信息，找到OB与OD的比值即可．
∵B（0，1），D（0，3），
∴OB＝1，OD＝3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝1：3．
3. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
【答案】C
【解析】根据位似图形的性质即可得出答案．
由位似变换的性质可知，
△ABC与△DEF的相似比为：1∶2
△ABC与△DEF的面积比为：1∶4故选C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
4. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 16
【答案】B
【解析】根据周长之比等于位似比计算即可．
设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．
【答案】
【解析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．
和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据与的周长比等于相似比可得．
【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
考点4. 一线三等角问题
1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D，E，F分别在BC，AB，AC边上，且∠EDF＝45°，若AE＝，BD＝BC，求CF的长．
【答案】.
【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝6，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝6.
∵∠EDF＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠B＋∠BED，
∴∠FDC＝∠BED，
∴△BED∽△CDF，
∴＝，
∵AE＝，BD＝BC＝2，
∴BE＝，CD＝4，
∴＝，
∴CF＝.
2. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE =AQ·AB求证：
（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；
（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论．
【小问1详解】
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF；
【小问2详解】
证明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE =AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
3. （2022山东烟台）
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】（1）见解析 （2） （3）①；②
【解析】【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【小问1详解】
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
【小问2详解】
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
【小问3详解】
解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
4. 如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)证明：△ABC∽△DEB；
(2)求线段BD的长．
【答案】见解析
【解析】 (1)证明：∵AC⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°，∠C＋∠ABC＝90°.
∵CB⊥BE，
∴∠ABC＋∠EBD＝90°，
∴∠C＝∠EBD，
∴△ABC∽△DEB；
(2)解：由(1)得△ABC∽△DEB，
∴＝.
∵AB＝8，AC＝6，DE＝4，
∴＝，∴BD＝3.
5.如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为点B，点P在CB上.
(1)【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为______度；
(2)【问题探究】
根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
图①　 图② 图③
【答案】见解析
【解析】(1)画出图形如图
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠ABC＝×(180°－90°)＝45°.
又∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，
∴∠PBE＝∠ABC＋∠ABD＝135°.
(2)PA＝PE.理由如下：
如解图②，过点P作PG∥AB交AC于点G.
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴△CPG为等腰直角三角形，
∴CG＝CP，∠AGP＝∠C＋∠CPG＝135°.
∴∠PBE＝∠AGP.
又∵AC＝BC，∴AC－CG＝BC－CP，
即GA＝PB.
∵∠APE＝90°，
∴∠BPE＋∠APC＝90°.
∵∠C＝90°，
∴∠APC＋∠CAP＝90°，
∴∠BPE＝∠CAP.
在△PBE和△AGP中，
，
∴△PBE≌△AGP(ASA)，
∴PA＝PE；
【一题多解】 如解图③，连接AE.∵∠ABE＝∠APE＝90°，
∴A，P，B，E四点在以AE为直径的圆上．
∵＝，
∴∠BAE＝∠BPE.
又∵∠APE＝90°，
∴∠BPE＋∠APC＝90°.
∵∠C＝90°，
∴∠APC＋∠CAP＝90°，
∴∠BPE＝∠CAP＝∠BAE.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝45°，
∴∠BAE＋∠BAP＝45°，
即∠EAP＝45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴PA＝PE.
(3)BA＝BP＋BE或BA＝BE－BP.
理由如下：
∵点P在射线CB上移动，∴分情况讨论：
①当点P在线段CB上时，
如解图④，过点E作EH⊥CB交射线CB于点H.
∵∠ABC＝45°，∠ABD＝90°，
∴∠EBH＝45°，即BE＝HE.
由(2)可知，∠CAP＝∠BPE，PA＝PE，
在△PAC和△EPH中，
，
∴△PAC≌△EPH(AAS)，
∴CP＝HE，
即BE＝CP，
∴CP＝BE.
又∵BA＝BC，
∴BA＝(BP＋CP)＝(BP＋BE)＝BP＋BE.
②当点P在CB的延长线上时，
如解图⑤，过点E作EI⊥CB交射线CB于点I.
∵∠ABC＝45°，∠ABD＝90°，
∴∠EBI＝45°，
即BE＝IE.
同理可证，△PAC≌△EPI，
∴CP＝IE，
即BE＝CP，
∴CP＝BE.
又∵BA＝BC，
∴BA＝(CP－BP)＝(BE－BP)＝BE－BP.
综上所述，BA，BP，BE之间的数量关系为BA＝BP＋BE或BA＝BE－BP.
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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第六章 图形的变化
6.3 图形的相似
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 相似的有关概念与相似多边形 ☆☆ 图形相似部分，属于初中数学难点，也是中考重点，每年考查1~3道题,分值为3~19分，常以选择题、填空题、解答题的形式考察。特别是在压轴题里体现图形相似的知识点多，如在解决圆的证明与计算有的题用到相似、有的抛物线压轴题体现相似、有的探索实践类综合题也体现相似。其重要性不言而喻。
考点2 相似三角形的性质与判定 ☆☆☆
考点3 图形的位似 ☆
考点4 一线三等角问题 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
考点1. 相似的有关概念与相似多边形
1.比例线段的相关概念
（1）如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是或写成a：b=m：n
（2）在两条线段的比a：b中，a叫做比的_____，b叫做比的_____。
（3）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称______（4）若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做_____，线段b，c叫做______，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。
（5）如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的_________。
2.比例的性质
（1）基本性质
①a：b=c：d______
②a：b=b：c
（2）更比性质（交换比例的内项或外项）
（3）反比性质（交换比的前项.后项）：
（4）合比性质：
（5）等比性质：
3.黄金分割
把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB
4.平行线分线段成比例定理
三条______截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
5.相似多边形
相似多边形定义1：_____相同的图形叫做相似图形。
相似多边形定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的____-分别相等，____成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做______。
相似多边形性质：相似多边形的对应角_____，对应边______。
注意：多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
考点2. 相似三角形的性质与判定
1. 相似三角形的判定定理
判定1：______于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边________的两个三角形相似。
符号语言：
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
判定3：两边_______且____相等的两个三角形相似。
符号语言：
判定4：_____分别相等的两个三角形相似。
符号语言：
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
判定直角三角形相似的方法：
推论1：有个锐角相等的两个直角三角形相似.
推论2：斜边和一直角边______的两个直角三角形相似.
【易错点提示】
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
【思路方法总结】三角形相似的判定定理的使用：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定1；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
2. 相似三角形的性质定理
（1）相似三角形定义：对应角_____，对应边______的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做_______．
（2）相似三角形性质：
性质定理1：相似三角形的______相等；
性质定理2：相似三角形的________（边、高、中线、角平分线）成比例；
性质定理3：相似三角形的周长比______相似比，面积比等于相似比的______．
注意1：相似三角形对应高的比等于相似比。相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比。
注意2：由三角形面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【思路方法总结】相似三角形的判定方法归纳总结（理解牢记）
(1)定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似。
（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（5）两角分别相等的两个三角形相似。
（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似。
3. 相似三角形的应用
（1）利用相似三角形测量高度
1）测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
2）测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
（2）利用相似三角形测量宽度：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
（3）利用相似解决有遮挡物问题
考点3. 图形的位似
1.位似图形的概念
两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线_____于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做______．
【易错点提示】
（1）判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．
（2）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
2.位似图形的性质
（1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即______相等，_____的比相等．
（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比____相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比）
（3）对应线段_____或者在一条直线上．
3.画位似图形
画位似图形的一般步骤：
① 确定__________；
② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的_____；
③ 根据_____，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到______的图形.
利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点．
位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外.
4.基本模型
5.平面直角坐标系中的位似
（1）平面直角坐标系中的位似变换
1）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k．
3）当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍．
（2）性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
考点4. 一线三等角问题
1.一线三等角基本含义： 一线三等角就是指两个三角形中相等的两个角落在______一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角______且落在同一条直线上，故称一线三等角。如图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角。
2.一线三等角基本类型及特点与结论
（1）同侧型一线三等角
锐角一线三等角 钝角一线三等角 直角一线三等角
【特点】∠1＝∠2＝∠3
【结论】1.△CAP∽△PBD
2．当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD
（2）异侧型一线三等角
锐角一线三等角 钝角一线三等角 直角一线三等角
【特点】点P在线段BA的延长线上，∠1＝∠2＝∠3
【结论】1.△CAP∽△PBD；
2．当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD
考点1. 相似的有关概念与相似多边形
【例题1】 （2024江苏连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁
【变式练1】（2024湖北一模）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【变式练2】（2024内蒙古赤峰一模）如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x.
考点2. 相似三角形的性质与判定
【例题2】 （2024湖南省）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024河北一模）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【变式练2】（2024湖南一模） 如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．
【变式练3】（2024河南一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式练4】（2024浙江湖州一模）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，．若DE＝2，则BC的长是______．
考点3. 图形的位似
【例题3】 （2024黑龙江绥化）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标
是（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024深圳一模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′=1：2
D．AB∥A′B′
【变式练2】（2024云南一模）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为　 　．
【变式练3】（2024长沙一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2.
考点4. 一线三等角问题
【例题4】 （2024广州） 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【变式练1】（2024武汉一模）如图，在等边△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，且∠ADE＝60°，若BD＝4，CE＝3，求AB的长．
【变式练2】（2024海南一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝2AB，∠BAC＝90°，AE⊥CE于点E，BD⊥AE于点D，若DE＝4AD，求cos ∠ABD的值．
考点1. 相似的有关概念与相似多边形
1. （2024江苏盐城）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______．
考点2. 相似三角形的性质与判定
1. （2024重庆市B）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　）
A. B. C. D.
2. （2024陕西省）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
3. （2024四川内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ）
A. B. C. D.
4. （2024四川乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则______．
5. （2024辽宁）如图，，与相交于点，且与面积比是，若，则的长为______．
6. （2024云南省）如图，与交于点，且．若，则__________．
7. （2024山东滨州）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是____________．（写出一种情况即可）
8. （2024吉林省）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为______．
9. （2024江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．
10. （2024湖南长沙）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A. B. C. D.
11. （2024内蒙古赤峰）如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④
12. （2024山东枣庄）如图，点为平行四边形ABCD的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A. B. 3 C. D. 4
13. （2024江苏常州）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________．
14. （2024四川德阳）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点．
（1）证明：；
（2）证明：．
15. （2024内蒙古赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
考点3. 图形的位似
1. （2024四川凉山）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024重庆）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（ ）
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9
考点4. 一线三等角问题1. （2024甘肃威武）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
2. （2024山东烟台）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
考点1. 相似的有关概念与相似多边形
1.在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小．
考点2. 相似三角形的性质与判定
1.如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
2.如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
3. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
5. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
6．如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
7. 如图，相交于点E，，则的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 6
8. 如图，在中，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11. 如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是________．
12. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF．
13. 如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．
13. 如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．
考点3. 图形的位似
1．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
2.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（　　）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
3. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
4. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 16
5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．
考点4. 一线三等角问题
1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D，E，F分别在BC，AB，AC边上，且∠EDF＝45°，若AE＝，BD＝BC，求CF的长．
2. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE =AQ·AB求证：
（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
3. （2022山东烟台）
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
4. 如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)证明：△ABC∽△DEB；
(2)求线段BD的长．
5.如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为点B，点P在CB上.
(1)【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为______度；
(2)【问题探究】
根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
图①　 图② 图③
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