中小学教育资源及组卷应用平台
【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第一章 数与式
1.4 二次根式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次根式的有关概念及性质 ☆☆ 数学中考中，有关二次根式的部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。二次根式的运算的考查多是体现在其他解答题里。二次根式的估值虽然不常见，但属于能力亮点问题，估计会成为今后高频考点。
考点2 二次根式的运算 ☆☆☆
考点3 二次根式的估值 ☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
考点1. 二次根式的有关概念及性质
1.二次根式的概念
我们把形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．注意：a可以是数，也可以是式.
2.二次根式有意义的条件
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数a≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零。
3. 最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
4. 同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
5．二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）(二次根式双重非负性)；
【解读】二次根式中,a≥0且 ≥0, 即为二次根式的双重非负性。
1）正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a2，(a≥0)．
2）若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
如：若a2+|b|+=0，则a2=0，|b|=0，=0，可得a=b=c=0．中考经常出现利用这个性质来解决问题。
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【方法总结】归纳总结二次根式问题考点类型及解题方法（十分重要）
【类型1】判断根式是否是二次根式。判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．
【类型2】 根据二次根式有意义求字母的取值范围。含二次根式的式子有意义的条件：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【类型3】 利用二次根式的非负性求解。二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
【类型4】和二次根式有关的规律探究性问题。解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．
考点2. 二次根式的运算
1.二次根式的加减
（1）二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开方数相同的根式进行合并。
（2）二次根式的混合运算
1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；
2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
2.二次根式的乘除
乘法法则：；
除法法则：．
3.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
【补充拓展】分母有理化
1.分母有理化的概念：
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2.常见类型：
常见类型一：．
常见类型二：．
其中，我们称是的“有理化因子”，是的“有理化因子”．分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．
3.有理化因式的概念：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。
4.熟记一些常见的有理化因式：
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是。
5.分母有理化十法
分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。
通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。
【二次根式加减乘除运算方法总结】
【类型1】被开方数相同的最简二次根式。根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．
【类型2】 二次根式的加减运算。二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．
【类型3】 二次根式的化简求值。化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．
【类型4】 二次根式加减运算在实际生活中的应用。利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．
【二次根式的乘法类型题及解题方法总结】
【类型1】 二次根式的乘法法则成立的条件。运用二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．
【类型2】 二次根式的乘法运算。在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．
【类型3】积的算术平方根的性质。利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．
主要运用公式＝·(a≥0，b≥0)和＝a(a≥0)对二次根式进行化简．
【类型4】二次根式乘法的综合应用。把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．
【二次根式的除法问题类型及解题方法总结】
【类型1】 二次根式的除法运算。利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．
【类型2】 二次根式的乘除混合运算。二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．
【类型3】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围。运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．
【类型4】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．
【类型5】最简二次根式。解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【类型6】二次根式除法的综合运用。解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．
考点3. 二次根式的估值
1．比较二次根式的大小方法
比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
2.用有理数估算二次根式的大致范围
用有理数估算二次根式的大致范围时,一般采用“相邻平方比较”法,即用两个相邻数的平方与被开方数比较,若被开方数介于这两个相邻数的平方之间,则这个二次根式的值就在这两个相邻数之间,估算的精确度可由相邻数的精确度来确定.
3.二次根式估值一般步骤
（1）一般先对根式进行平方，如；
（2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<5<9；
（3）对以上两个整数开方，如，；
（4）这个根式的值在这两个相邻整数之间，如．
考点1. 二次根式的有关概念及性质
【例题1】（2024黑龙江绥化）若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得，即可求解．
∵式子有意义，
∴，
解得：，故选：C．
【对点变式练1】（2024内蒙古赤峰市一模）下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)； (2)； (3)；(4)； (5)；
(6)(x≤3)；(7)(x≥0)；(8)；(9)；(10)(ab≥0)．
【答案】见解析。
【解析】判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；
(2)被开方数是非负数．
因为，，＝，(x≤3)，，(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.的根指数不是2，，(x≥0)，的被开方数小于0，所以不是二次根式．
【对点变式练2】（2024哈尔滨一模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．
根据二次根式里面被开方数即可求解．
由题意知：被开方数，解得：．
【对点变式练3】（2024吉林长春一模）若，则(a+b)2025= ．
【答案】1
【解析】根据非负数的意义，求出a、b的值，代入计算即可．
∵，
∴a-2=0且b+1=0，
解得，a=2，b=-1，
∴(a+b)2020=(2-1)2025=1
考点2. 二次根式的运算
【例题2】 （2024甘肃威武）计算：．
【答案】0
【解析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
．
【对点变式练1】（2024哈尔滨二模）计算﹣2的结果是 ．
【答案】2．
【解析】直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2×
＝3﹣
＝2．
【对点变式练2】（2024沈阳一模）计算·的结果是________．
【答案】 6a
【解析】 ·＝＝6a.
【对点变式练3】（2024湖南一模）化简：
(a＞0，b＞0，c＞0)．
【答案】见解析。
【解析】运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．
＝＝.
考点3. 二次根式的估值
【例题3】 （2024河北省）已知a，b，n均为正整数．
（1）若，则______；
（2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个．
【答案】 ①. ②.
【解析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；
（1）由即可得到答案；
（2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，而，
∴；
故答案为：；
（2）∵a，b，n均为正整数．
∴，，为连续的三个自然数，而，
∴，，
观察，，，，，，，，，，，
而，，，，，
∴与之间的整数有个，
与之间的整数有个，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个）．
【对点变式练1】（2024辽宁一模）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【解析】先写出21的范围，再写出的范围．
∵16＜21＜25，
∴4＜＜5．
【对点变式练2】（2024广州一模）下列各数中比3大比4小的无理数是（ ）
A． B． C．3.1 D．
【答案】A．
【解析】因为，所以，且是无理数，故选项A正确．
考点1. 二次根式的有关概念及性质
1. （2024四川德阳）化简：＝__________．
【答案】3
【解析】根据二次根式的性质“”进行计算即可得．
．
【点睛】本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质．
2. （2024江苏连云港）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
3. （2024上海市）已知，则___________．
【答案】1
【解析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可．
根据题意可知：，
∴，
解得：．
考点2. 二次根式的运算
1. （2024湖南省）计算的结果是（ ）
A. B. C. 14 D.
【答案】D
【解析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】，故选：D
2. （2024四川乐山）已知，化简的结果为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可．
，
∵，
∴，
∴，
∴，故选：B．
3. （2024山东威海）计算：________．
【答案】
【解析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解．
．
4. （2024贵州省）计算的结果是________．
【答案】
【解析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算．
原式==．
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则（a≥0，b＞0）是解题关键．
5. （2024天津市）计算的结果为___．
【答案】
【解析】利用平方差公式计算后再加减即可．
原式．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．
6. （2024河南省）计算：；
【答案】9
【解析】利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，零指数幂的意义化简计算即可；
原式
7. （2024上海市）计算：．
【答案】
【解析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．
【详解】
．
考点3. 二次根式的估值
1. （2024重庆市A）已知，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围．
∵，
∵，
∴，故选：B．
2. （2024四川资阳）若，则整数m的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定和的范围，然后求出整数m的值的值即可．
∵，即，，即，
又∵，
∴整数m的值为：3，故选：B．
3. （2024重庆市B）估计的值应在（ ）
A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间
【答案】C
【解析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．
∵，
而，
∴
4. （2024江苏盐城）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
【答案】C
【解析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可．
，
，
，
，
即S在3和4之 间，故选：C．
5. （2024内蒙古赤峰）请写出一个比小的整数_____________
【答案】1（或2）
【解析】先估算出在哪两个整数之间，即可得到结果．
，
满足条件的数为小于或等于2的整数均可.
点评：解答本题的关键是熟知用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法．
6. （2024深圳）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是________．（写出一个答案即可）
【答案】2（答案不唯一）
【解析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算．利用算术平方根的性质求得，，再根据无理数的估算结合，即可求解．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴正方形的边长，即，
∴正方形的边长可以是2．
考点1. 二次根式的有关概念及性质
1. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
【答案】x≥8
【解析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x-8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
2.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x＞3．
【解析】由题意得：2x﹣6＞0，
解得：x＞3，
【点拨】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．
考点2. 二次根式的运算
1．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A.是最简二次根式，符合题意；
B.2，不是最简二次根式，不符合题意；
C.|a|，不是最简二次根式，不符合题意；
D.，不是最简二次根式，不符合题意．
【点拨】利用最简二次根式定义判断即可．
2.把下列式子的分母有理化：
【答案】见解析。
【解析】把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，与 均为有理化因式。
3．已知a＝，b＝，求a2－ab＋b2的值．
【答案】22
【解析】 所求代数式a2－ab＋b2可转化为用a＋b与ab表示的式子，而所给条件也可以进行分母有理化，从而得到a＋b与ab的值，这样可使计算简便．
∵a＝＝－，b＝＝＋，
∴a＋b＝2 ，ab＝2，
∴a2－ab＋b2＝－3ab＝－3×2＝22.
4. 若实数m，n满足，则_______．
【答案】7
【解析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解．
由题意知，m，n满足，
∴m-n-5=0，2m+n 4=0，
∴m=3，n=-2，
∴．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
5. 计算的结果是_________．
【答案】2
【解析】根据二次根式的性质进行化简即可．
．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：．
6. 若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，
所以，
所以，，所以
7.(1)已知a、b满足＋|b－|＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；
(2)已知x、y都是实数，且y＝＋＋4，求yx的平方根．
【答案】见解析。
【解析】(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根．
(1)根据题意得解得则(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；
(2)根据题意得解得x＝3.则y＝4，故yx＝43＝64，±＝±8，∴yx的平方根为±8.
8. 计算：．
【答案】
【解析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂进行计算即可求解．
原式＝
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题的关键．
9．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．
A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．，此选项计算正确；
D．2与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误．
10. 从，﹣，﹣这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】依题意任选两数相乘，将所得的三个乘积与2作比较，即可得出结论．
∵，
，
（﹣）×＝＞2，
∴从，﹣，﹣这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有2个．
11. 已知x为实数时，化简＋.
【答案】见解析。
【解析】根据＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答．
＋＝＋＝|x－1|＋|x|.
当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；
当0＜x≤1时，x－1≤0，原式＝1－x＋x＝1；
当x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.
方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子＝|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．
12.计算：
(1)9÷3×；
(2)a2··b÷.
【答案】见解析。
【解析】先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．
(1)原式＝9×××＝18；
(2)原式＝a2·b·＝.
13. 计算：．
【答案】
【解析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
原式
.
【点睛】本题考查了次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键
考点3. 二次根式的估值
1．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【解析】∵，∴．故选：B
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
2．若a＝，b＝，c＝2，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c
【答案】C
【解析】根据算术平方根、立方根的意义估算出a、b的近似值，再进行比较即可．
∵＜＜，
∴1＜＜2，
即1＜a＜3，
又∵2＜＜6，
∴2＜b＜3，
∴a＜c＜b．
3．已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先估算出的范围，即可得出答案．
∵，∴，∴在3和4之间，即．故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小．能估算出的范围是解题的关键．
4．设的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易得，所以即（），
因此可得，
，
所以
考查实数的整数部分、小数部分的转化，以及平方差公式的运算
5．比较大小：___
【答案】＜
【解析】利用分子有理化即可比较大小．
==
==
∵＞∴∴＜故答案为：＜．
【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用分子有理化比较大小是解决此题的关键．
【例题4】先观察下列等式，再回答下列问题．
①＝1＋－＝1；
②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出的结果；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)．
【答案】见解析。
【解析】(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．
解：(1)＝1＋－＝1；
(2)＝1＋－＝1(n为正整数)．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第一章 数与式
1.4 二次根式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次根式的有关概念及性质 ☆☆ 数学中考中，有关二次根式的部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。二次根式的运算的考查多是体现在其他解答题里。二次根式的估值虽然不常见，但属于能力亮点问题，估计会成为今后高频考点。
考点2 二次根式的运算 ☆☆☆
考点3 二次根式的估值 ☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
考点1. 二次根式的有关概念及性质
1.二次根式的概念
我们把形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做_______．注意：a可以是数，也可以是式.
2.二次根式有意义的条件
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数_____，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为_____。
3. 最简二次根式：_______所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
4. 同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数______的几个二次根式，叫做同类二次根式．
5．二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）(二次根式双重______)；
【解读】二次根式中,a≥0且 ≥0, 即为二次根式的双重非负性。
1）正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a2，(a≥0)．
2）若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
如：若a2+|b|+=0，则a2=0，|b|=0，=0，可得a=b=c=0．中考经常出现利用这个性质来解决问题。
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【方法总结】归纳总结二次根式问题考点类型及解题方法（十分重要）
【类型1】判断根式是否是二次根式。判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．
【类型2】 根据二次根式有意义求字母的取值范围。含二次根式的式子有意义的条件：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【类型3】 利用二次根式的非负性求解。二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
【类型4】和二次根式有关的规律探究性问题。解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．
考点2. 二次根式的运算
1.二次根式的加减
（1）二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为_____的二次根式，再将被开方数相同的根式进行合并。
（2）二次根式的混合运算
1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；
2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
2.二次根式的乘除
乘法法则：；
除法法则：．
3.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
【补充拓展】分母有理化
1.分母有理化的概念：
把分母中的______化去，叫做分母有理化。
2.常见类型：
常见类型一：．
常见类型二：．
其中，我们称是的“有理化因子”，是的“有理化因子”．分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．
3.有理化因式的概念：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。
4.熟记一些常见的有理化因式：
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是。
5.分母有理化十法
分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。
通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。
【二次根式加减乘除运算方法总结】
【类型1】被开方数相同的最简二次根式。根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．
【类型2】 二次根式的加减运算。二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．
【类型3】 二次根式的化简求值。化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．
【类型4】 二次根式加减运算在实际生活中的应用。利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．
【二次根式的乘法类型题及解题方法总结】
【类型1】 二次根式的乘法法则成立的条件。运用二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．
【类型2】 二次根式的乘法运算。在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．
【类型3】积的算术平方根的性质。利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．
主要运用公式＝·(a≥0，b≥0)和＝a(a≥0)对二次根式进行化简．
【类型4】二次根式乘法的综合应用。把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．
【二次根式的除法问题类型及解题方法总结】
【类型1】 二次根式的除法运算。利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．
【类型2】 二次根式的乘除混合运算。二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．
【类型3】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围。运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．
【类型4】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．
【类型5】最简二次根式。解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【类型6】二次根式除法的综合运用。解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．
考点3. 二次根式的估值
1．比较二次根式的大小方法
比较两个二次根式大小的方法：可_____为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
2.用有理数估算二次根式的大致范围
用有理数估算二次根式的大致范围时,一般采用“______”法,即用两个相邻数的平方与被开方数比较,若被开方数介于这两个相邻数的平方之间,则这个二次根式的值就在这两个相邻数之间,估算的精确度可由相邻数的精确度来确定.
3.二次根式估值一般步骤
（1）一般先对根式进行平方，如；
（2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<5<9；
（3）对以上两个整数开方，如，；
（4）这个根式的值在这两个相邻整数之间，如．
考点1. 二次根式的有关概念及性质
【例题1】（2024黑龙江绥化）若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【对点变式练1】（2024内蒙古赤峰市一模）下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)； (2)； (3)；(4)； (5)；
(6)(x≤3)；(7)(x≥0)；(8)；(9)；(10)(ab≥0)．
【对点变式练2】（2024哈尔滨一模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点变式练3】（2024吉林长春一模）若，则(a+b)2025= ．
考点2. 二次根式的运算
【例题2】 （2024甘肃威武）计算：．
【对点变式练1】（2024哈尔滨二模）计算﹣2的结果是 ．
【对点变式练2】（2024沈阳一模）计算·的结果是________．
【对点变式练3】（2024湖南一模）化简：
(a＞0，b＞0，c＞0)．
考点3. 二次根式的估值
【例题3】 （2024河北省）已知a，b，n均为正整数．
（1）若，则______；
（2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个．
【对点变式练1】（2024辽宁一模）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【对点变式练2】（2024广州一模）下列各数中比3大比4小的无理数是（ ）
A． B． C．3.1 D．
考点1. 二次根式的有关概念及性质
1. （2024四川德阳）化简：＝__________．
2. （2024江苏连云港）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
3. （2024上海市）已知，则___________．
考点2. 二次根式的运算
1. （2024湖南省）计算的结果是（ ）
A. B. C. 14 D.
2. （2024四川乐山）已知，化简的结果为（ ）
A. B. 1 C. D.
3. （2024山东威海）计算：________．
4. （2024贵州省）计算的结果是________．
5. （2024天津市）计算的结果为___．
6. （2024河南省）计算：；
7. （2024上海市）计算：．
考点3. 二次根式的估值
1. （2024重庆市A）已知，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川资阳）若，则整数m的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. （2024重庆市B）估计的值应在（ ）
A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间
4. （2024江苏盐城）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
5. （2024内蒙古赤峰）请写出一个比小的整数_____________
6. （2024深圳）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是________．（写出一个答案即可）
考点1. 二次根式的有关概念及性质
1. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
2.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
考点2. 二次根式的运算
1．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.把下列式子的分母有理化：
3．已知a＝，b＝，求a2－ab＋b2的值．
4. 若实数m，n满足，则_______．
5. 计算的结果是_________．
6. 若，则（ ）
A． B． C． D．
7.(1)已知a、b满足＋|b－|＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；
(2)已知x、y都是实数，且y＝＋＋4，求yx的平方根．
8. 计算：．
9．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10. 从，﹣，﹣这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
11. 已知x为实数时，化简＋.
12.计算：
(1)9÷3×；
(2)a2··b÷.
13. 计算：．
考点3. 二次根式的估值
1．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．若a＝，b＝，c＝2，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c
3．已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．设的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．比较大小：___
【例题4】先观察下列等式，再回答下列问题．
①＝1＋－＝1；
②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出的结果；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
