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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第二章 方程与不等式
2.1 一次方程（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元一次方程的解法及解的应用 ☆☆ 数学中考中，有关一次方程（组）的部分，每年考查1道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答 题的形式考察。若以解答题出现，考法基本上是两种类型：一是根据题意列出一次方程（组），解方程求解，给出结论；二是根据题意列出一次方程，结合不等式，函数来确定作答思路。考查列方程解应用题是每年全国各省市必考内容，需要学生深入系统掌握列各种应用题类型的等量关系，考查知识比较综合。
考点2 二元一次方程(组)及其解法 ☆☆
考点3 二元一次方程(组)的实际应用 ☆☆☆
考点4 列一次方程(组)解应用题的常用分析 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 一元一次方程的解法及解的应用
1.等式的基本性质
性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个____或同一个_____，所得结果仍是等式。
性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个_____（除数不能是零），所得结果仍是等式。
要点诠释：（1）分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
（2）理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况:
①a≠0时，方程有唯一解x＝b/a ；
②a=0，b=0时，方程有无数个解；
③a=0，b≠0时，方程无解。
2.解一元一次方程的一般步骤
（1）______。 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。
（2）______。 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。
（3）_____。 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
（4）_______。 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。
（5）系数化为1，得出一元一次方程的解。
3.一元一次方程解的应用
（1）使方程中等号左右两边相等的未知数的______叫做方程的解。
（2）根据一元一次方程的解可以求代数式的值；根据一元一次方程的解可以求字母的值；根据一元一次方程的解可以解决其他问题。
【易错点提示】
在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
考点2. 二元一次方程(组)及其解法
1. 二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的_______叫做二元一次。方程一般
形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2．二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。
3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的____叫做二元一次方程的
解。
4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的______叫做二元一次方程组的解。
一般形式为
【温馨提醒】二元一次方程组满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
5．二元一次方程组的解法：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（1）_____消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，
进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
（2）_____消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，
就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
考点3. 二元一次方程(组)的实际应用
1. 方程(组)的实际问题
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．
（10）和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
（11）数字问题：多位数的表示方法：例如：.
（12）其他问题：探索寻找等量关系，构造方程。
2. 解有关方程(组)的实际问题的一般步骤
第1步：_____。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：______。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：______。根据题中各个量的关系列出方程(组)。
第4步：______。根据方程(组)的类型采用相应的解法。
第5步：_______。检验所求解是否符合实际意义，并作答。
考点4. 列一次方程(组)解应用题的常用分析
1. 由实际问题列方程组：是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的____关系．
2. 所列方程必须满足条件：
①方程两边表示的是___类量；
②同类量的____要统一；
③方程的等号两边的数值要_____．
3. 找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．
②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．
③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．
④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
【易错点提示】
在列方程（组）实际问题时，设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
考点1. 一元一次方程的解法及解的应用
【例题1】（2023贵州）小明解方程﹣1＝的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【对点变式练1】（2024广州一模）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a=b，则a+c=b﹣c B．如果a2=3a，那么a=3
C．如果a=b，则= D．如果=，则a=b
【对点变式练2】（2024百色一模）方程3x＝2x+7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
【对点变式练3】（2024聊城一模）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
【例题2】（2024福建省）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【对点变式练1】（2024枣庄一模）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
【对点变式练2】（2023 陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．
考点2. 二元一次方程(组)解法及解的应用
【例题3】（2024广西）解方程组：
【对点变式练1】（2024四川乐山一模）解二元一次方程组：．
【对点变式练2】（2024河南一模）方程组的解为 ．
考点3. 二元一次方程(组)的实际应用
【例题4】 （2024深圳）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【对点变式练1】（2024甘孜州一模）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【对点变式练2】（2024张家界一模）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【对点变式练3】（2024齐齐哈尔一模）列方程（组）或不等式（组）解应用题：
学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．
（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；
（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的3倍，请问最多能购买多少支羽毛球拍？
考点4. 列一次方程(组)解应用题的常用分析
【例题5】（2024江苏连云港）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
【对点变式练1】（2024安徽一模） （数字问题）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
【对点变式练2】（2024青海一模）（速度问题）在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
考点1. 一元一次方程的解法及解的应用
1. （2024贵州省）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024贵州省）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是______．
3. （2024广州）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. （2024广西）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
考点2. 二元一次方程(组)及其解法
1. （2024江苏苏州） 解方程组：．
2. （2024眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点3. 二元一次方程(组)的实际应用
1. （2024黑龙江齐齐哈尔）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（ ）
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
2. （2024湖北省）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. （2024内蒙古赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
4. （2024四川成都市）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
5.（2024江苏盐城） 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为________尺．
考点4. 列一次方程(组)解应用题的常用分析
1. （2024安徽省）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？
2. （2024湖南省）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
考点1. 一元一次方程的解法及解的应用
1.已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1；
⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2.已知方程(m+1)x|m|+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A.±1 B.1 C.－1 D.0或1
3.关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ．
4.解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．3(x+1)=1-2x B．2(x+1)=1-3x C．2(x+1)=6-3x D．3(x+1)=6-2x
5. 解方程：+＝4．
6．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟．现乙从B地先发出1分钟后，甲才从A地出发，问多久后甲、乙相遇？设乙出发x分钟时，甲、乙相遇，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ．
8．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．
考点2. 二元一次方程(组)及其解法
1. 已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为 ．
2．解方程组．
3．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y＝﹣；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
考点3. 二元一次方程(组)的实际应用
1．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
2.某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？
考点4. 列一次方程(组)解应用题的常用分析
1.某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？
2.亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
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第二章 方程与不等式
2.1 一次方程（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元一次方程的解法及解的应用 ☆☆ 数学中考中，有关一次方程（组）的部分，每年考查1道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答 题的形式考察。若以解答题出现，考法基本上是两种类型：一是根据题意列出一次方程（组），解方程求解，给出结论；二是根据题意列出一次方程，结合不等式，函数来确定作答思路。考查列方程解应用题是每年全国各省市必考内容，需要学生深入系统掌握列各种应用题类型的等量关系，考查知识比较综合。
考点2 二元一次方程(组)及其解法 ☆☆
考点3 二元一次方程(组)的实际应用 ☆☆☆
考点4 列一次方程(组)解应用题的常用分析 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 一元一次方程的解法及解的应用
1.等式的基本性质
性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
要点诠释：（1）分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
（2）理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况:
①a≠0时，方程有唯一解x＝b/a ；
②a=0，b=0时，方程有无数个解；
③a=0，b≠0时，方程无解。
2.解一元一次方程的一般步骤
（1）去分母。 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。
（2）去括号。 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。
（3）移项。 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
（4）合并同类项。 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。
（5）系数化为1，得出一元一次方程的解。
3.一元一次方程解的应用
（1）使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
（2）根据一元一次方程的解可以求代数式的值；根据一元一次方程的解可以求字母的值；根据一元一次方程的解可以解决其他问题。
【易错点提示】
在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
考点2. 二元一次方程(组)及其解法
1. 二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程叫做二元一次。方程一般
形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2．二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。
3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的
解。
4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
一般形式为
【温馨提醒】二元一次方程组满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
5．二元一次方程组的解法：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（1）代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，
进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，
就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
考点3. 二元一次方程(组)的实际应用
1. 方程(组)的实际问题
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．
（10）和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
（11）数字问题：多位数的表示方法：例如：.
（12）其他问题：探索寻找等量关系，构造方程。
2. 解有关方程(组)的实际问题的一般步骤
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程(组)。根据题中各个量的关系列出方程(组)。
第4步：解方程(组)。根据方程(组)的类型采用相应的解法。
第5步：检验作答。检验所求解是否符合实际意义，并作答。
考点4. 列一次方程(组)解应用题的常用分析
1. 由实际问题列方程组：是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
2. 所列方程必须满足条件：
①方程两边表示的是同类量；
②同类量的单位要统一；
③方程的等号两边的数值要相符．
3. 找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．
②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．
③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．
④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
【易错点提示】
在列方程（组）实际问题时，设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
考点1. 一元一次方程的解法及解的应用
【例题1】（2023贵州）小明解方程﹣1＝的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【解析】对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤．
方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出错的步骤为：①，故选：A．
本题考查解一元一次方程，解题关键在于能准确观察出出错的步骤．
【对点变式练1】（2024广州一模）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a=b，则a+c=b﹣c B．如果a2=3a，那么a=3
C．如果a=b，则= D．如果=，则a=b
【答案】D
【解析】A．根据等式性质1，两边都加c，得到a+c=b+c，故A不正确；
B．因为根据等式性质2，a≠0，所以不正确；
C．因为c必需不为0，所以不正确；
D．根据等式性质2，两边都乘以c，得到a=b，所以D成立。
【对点变式练2】（2024百色一模）方程3x＝2x+7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
【答案】C
【解析】方程移项合并，即可求出解．
移项得：3x﹣2x＝7，
合并同类项得：x＝7．故选：C．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【对点变式练3】（2024聊城一模）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
【答案】A
【解析】x+a＝2，
x＝﹣a+2，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣3≤﹣a＜3，
∴﹣1≤﹣a+2＜5，
∴﹣1≤x＜5，故选：A．
【例题2】（2024福建省）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，列出方程即可．
将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，根据题意得：
，故选：A．
【对点变式练1】（2024枣庄一模）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
【答案】D
【解析】利用路程＝速度×时间，结合x天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
依题意得：240x﹣150x＝150×12．故选：D．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【对点变式练2】（2023 陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．
【答案】8元
【解析】设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，根据买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，得4x+6（x﹣3）＝62，即可解得答案．
设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是（x﹣3）元，
∵买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，
∴4x+6（x﹣3）＝62，
解得：x＝8；
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程解决问题．
考点2. 二元一次方程(组)解法及解的应用
【例题3】（2024广西）解方程组：
【答案】
【解析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】，
得：，
解得：，
把代入①得：
，
∴方程组的解为：.
【对点变式练1】（2024四川乐山一模）解二元一次方程组：．
【答案】．
【解答】解：，
①×2得：2x﹣2y＝2③，
②+③得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
∴原方程组的解为：．
【对点变式练2】（2024河南一模）方程组的解为 ．
【答案】．
【解析】利用加减消元法求解或代入消元法求解都比较简便．
，
①+②，得4x+4y＝12，
∴x+y＝3③．
①﹣③，得2x＝2，
∴x＝1．
②﹣①，得2y＝4，
∴y＝2．
∴原方程组的解为．
故答案为：．
本题主要考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
考点3. 二元一次方程(组)的实际应用
【例题4】 （2024深圳）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：
，故选：A．
【对点变式练1】（2024甘孜州一模）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
由题意得：，故选：A．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【对点变式练2】（2024张家界一模）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】（1）参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租用14辆45座客车更合算．
【解答】（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，得，
解得．
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），
租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14辆45座客车更合算．
【对点变式练3】（2024齐齐哈尔一模）列方程（组）或不等式（组）解应用题：
学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．
（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；
（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的3倍，请问最多能购买多少支羽毛球拍？
【答案】（1）每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元；
（2）最多能购买20支羽毛球拍．
【解答】（1）设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元．
（2）设购买m支羽毛球拍，则购买3m支乒乓球拍，
依题意得：80m+60×3m≤5300，
解得：m≤．
又∵m为整数，
∴m的最大值为20．
答：最多能购买20支羽毛球拍．
考点4. 列一次方程(组)解应用题的常用分析
【例题5】（2024江苏连云港）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
【答案】两次邮购的折扇分别是40把和160把
【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，首先判断出两次购买数量的范围，再设设一次邮购折扇把，则另一次邮 折扇把，根据“两次邮购折扇共花费1504元”列出一元一次方程，求解即可
【详解】解：若每次购买都是100把，则．
一次购买少于100把，另一次购买多于100把．
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把．
由题意得：，
解得．
．
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把．
【对点变式练1】（2024安徽一模） （数字问题）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
【答案】14
【解析】设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则
解方程组，得，
因此，所求的两位数是14．
【对点变式练2】（2024青海一模）（速度问题）在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
【答案】巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．
【解析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则
，整理，得，解得，
因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．
考点1. 一元一次方程的解法及解的应用
1. （2024贵州省）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题．
【详解】设“▲”的质量为a，
由甲图可得，即，
由乙图可得，即，
∴，故选C．
2. （2024贵州省）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是______．
【答案】20
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，设快马追上慢马需要x天，根据快马走的路程等于慢马走的总路程，列方程求解即可．
【详解】设快马追上慢马需要x天，
根据题意，得，
解得．
3. （2024广州）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可．
【详解】解：设该车企去年5月交付新车辆，
根据题意得：，故选：A．
4. （2024广西）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可．
根据题意，得，故选：B．
考点2. 二元一次方程(组)及其解法
1. （2024江苏苏州） 解方程组：．
【答案】
【解析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可．
得，，解得，．
将代入①得．
方程组的解是
2. （2024眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】把方程组的两个方程相减得到2x﹣2y＝2m+6，结合x﹣y＝4，得到m的值．
∵关于x、y的二元一次方程组为，
①﹣②，得：
2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．故选：B．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相减得到m的方程，此题难度不大．
考点3. 二元一次方程(组)的实际应用
1. （2024黑龙江齐齐哈尔）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（ ）
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
【答案】B
【解析】本题考查了二元一次方程的应用，设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个，根据题意列出方程，根据整数解的个数，即可求解．
【详解】设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个，
依题意，
∴
∵，为正整数，
∴当时，，
当时，
当时，
当时，
∴购买方案有4种，故选：B．
2. （2024湖北省）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据未知数，将今有牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，两个等量关系具体化，联立即可．
【详解】解：设每头牛值x金，每头羊值y金，
∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，
∴，故选：A．
3. （2024内蒙古赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意设用A型钢板x块，用B型钢板y块，再利用现需要58块C型钢板、40块D型钢板分别得出方程组即可．
【详解】设用A型钢板x块，用B型钢板y块，
由题意得：，故选：C．
4. （2024四川成都市）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可．
设人数为，琎价为，
根据每人出钱，会多出4钱可得出，
每人出钱，又差了3钱．可得出，
则方程组为：，故选：B．
5.（2024江苏盐城） 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为________尺．
【答案】15
【解析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】设绳索长 尺，竿长 尺，
根据题意得： ．
解得：
考点4. 列一次方程(组)解应用题的常用分析
1. （2024安徽省）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？
【答案】农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷．
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷，
由题意可得，，
解得，
答：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷．
2. （2024湖南省）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
【答案】（1）50元、30元 （2）400棵
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；
（2）购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，
根据题意，得，
解得，
答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；
【小问2详解】
解：设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗棵，
根据题意，得，
解得，
答：最多可以购买脐橙树苗400棵．
考点1. 一元一次方程的解法及解的应用
1.已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1；
⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程是一元一次方程，满足要求的有②③⑤。
2.已知方程(m+1)x|m|+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A.±1 B.1 C.－1 D.0或1
【答案】B
【解析】方程(m+1)x|m|+3=0是关于x的一元一次方程，则m+1≠0，|m|=1，所以m=1.
3.关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ．
【解答】∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴2m﹣1＝1，即m＝1或m＝0，
方程为x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，
故答案为：x＝2或x＝﹣2．
4.解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．3(x+1)=1-2x B．2(x+1)=1-3x C．2(x+1)=6-3x D．3(x+1)=6-2x
【答案】D
【解析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
方程两边都乘以6，得：3(x+1)=6-2x．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．
5. 解方程：+＝4．
【答案】x＝7．
【解答】解：+＝4，
3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，
3x﹣9+2x﹣2＝24，
3x+2x＝24+9+2，
5x＝35，
x＝7．
6．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟．现乙从B地先发出1分钟后，甲才从A地出发，问多久后甲、乙相遇？设乙出发x分钟时，甲、乙相遇，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】∵甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟，
∴甲的速度是，乙的速度是，
由题意得．故选：A．
7．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ．
【答案】5x+45＝7x+3．
【解析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程即可．
设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故答案为：5x+45＝7x+3．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．
【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm．
【解析】设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，根据题意得列方程即可得到结论．
设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，
根据题意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，
解得x＝4，
答：边的宽为4cm，天头长为24cm．
本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出方程是解题的关键．
考点2. 二元一次方程(组)及其解法
1. 已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为 ．
【答案】2
【解析】利用方程①﹣方程②，可得出x﹣y＝a+2，结合x﹣y＝4，可得出a+2＝4，解之即可得出a的值．
，
①﹣②得：x﹣y＝a+2，
又∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，
∴a+2＝4，
∴a＝2．
本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，根据二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，找出关于a的一元一次方程是解题的关键．
2．解方程组．
【答案】．
【解析】利用加减消元法解方程组即可．
，
①+②得：5x＝15，
解得：x＝3，
将x＝3代入①得：3×3+y＝8，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解为：．
考查解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本方法为代入消元法和加减消元法，必须熟练掌握．
3．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y＝﹣；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解答】关于x，y的二元一次方程组，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正确，
（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，
当a＝1时，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
因此②不正确，
（3）方程组，解得，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正确的，
（4）方程组，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
即；y＝﹣+
因此④是正确的，
故选：D．
考点3. 二元一次方程(组)的实际应用
1．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相
交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
∵甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，
∴9x＝11y；
∵两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，
∴（10y+x）﹣（8x+y）＝13．
根据题意可列方程组．
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2.某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？
【答案】甲、乙两重货物应各装150吨．
【解析】设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则
，整理，得，解得，
因此，甲、乙两重货物应各装150吨．
考点4. 列一次方程(组)解应用题的常用分析
1.某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？
【答案】3375,18.
【解析】设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得
，解得.
2.亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
【答案】见解析。
【解析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，
依题意，得：，
解得：．
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，
依题意，得：36m+22n＝218，
∴n＝．
又∵m，n均为正整数，
∴．
答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．
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