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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第二章 方程与不等式
2.3 一元二次方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元二次方程及其解法 ☆☆ 数学中考中，有关一元二次方程的部分，每年考查1道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、 解答题的形式考查。三种题型中一般只出现一种，但在考查其他综合类问题时渗透考查一元二次方程的知识。所以一元二次方程知识是中考十分重要的内容，也是高中阶段学习的重要基础。一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是属于年年考知识点，必须熟练掌握。
考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 ☆☆☆
考点3 一元二次方程的应用 ☆☆
☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 一元二次方程及其解法
1．定义：等号两边都是_____，只含有_____未知数，并且未知数的最高次数是___的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是______。
3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的____。
【温馨提醒1】与一元二次方程的定义有关问题解题要领
抓住一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
【温馨提醒2】与一元二次方程的根的定义有关问题解题要领：
紧扣一元二次方程的概念，方程的解（根）直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
4.一元二次方程的解法
有________法、______法、______法、________法等。
（1）直接开方法。
适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；
②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；
④开方，即降次；
⑤解一次方程。
（3）公式法。
当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
【温馨提醒】公式法解方程的步骤
（1）变形: 化已知方程为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);;
（2）确定系数:用a,b,c写出各项系数;
（3）计算: b2-4ac的值;
（4）判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出； 若b2-4ac<0，则方程没有实数根。
(4)因式分解法。当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【提示】因式分解的方法解一元二次方程常用公式
1）ma+mb+mc=m(a+b+c)；
2）a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
3）a2 -b2=(a +b)(a -b)；
4）其他方法。
2.因式分解法的基本步骤
1）通过移项将方程的右边=0；
2）将方程的左边因式分解；
3）方程化为两个一元一次方程；
4）解方程，写出方程两个解。
（5）换元法：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
【说明】换元法又称变量替换法,是我们解题常用的方法之一。利用换元法,可以化繁为简,化难为易,从而找到解题的捷径。关键是构造元和设元,理论依据是______,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化,复杂问题简单化,也体现了_____思想的运用.
考点2. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ ”表示，即Δ=_____.
2.判断一元二次方程根的情况的方法
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
当b2 - 4ac> 0时,方程有两个______的实数根.
当b2 - 4ac= 0时,方程有两个______的实数根.
当b2 - 4ac< 0时,方程_____实数根.
3.根与系数的关系（韦达定理）
（1）语言表达：也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
（2）数学表达：对于一元二次方程，若，则。
若一元二次方程的两个实数根是，当，则
注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。
4. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用
（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
（2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。
（4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
（5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。
5. 解决一元二次方程的根与系数的关系问题需要熟练理解牢记如下代数式的一些重要变形：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
考点3. 一元二次方程的应用
一、实际问题与一元二次方程
类型1：传播问题与一元二次方程
1.解决这类传播问题的经验和方法
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
2.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤
3.传播问题实例探索
数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
类型2：平均变化率问题与一元二次方程
增长率等量关系
（1）增长率=增长量÷基础量．
（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；
当为平均下降率时，则有．
类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
类型3：几何图形面积问题与一元二次方程
1.几何图形面积问题说明：主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程.
2．面积问题
（1）类型1：如图所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
（2）类型2：如图所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
（3）类型3：如图所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．
类型4：市场销售利润问题与一元二次方程
利润等量关系：
（1）利润=售价－成本．
（2）利润率=×100％．
类型5：比赛类问题与一元二次方程
等量关系
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，
∴1支球队需要比赛（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.
∴总共比赛场次为：m=
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，
∴1支球队需要比赛（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.
∴总共比赛场次为：m=
二、解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
【易错点提示】一元二次方程解法多，选择解法容易混乱。
一元二次方程解法选择的基本思路
（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
（2）若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
（3）若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
（4）不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
考点1. 一元二次方程及其解法
【例题1】 （2024四川凉山）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A.2 B. C. 2或 D.
【对点变式练1】（2024深圳一模）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
对点变式练2】（2024江苏连云港一模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
【例题2】（2024贵州省）一元二次方程的解是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【对点变式练1】（2024齐齐哈尔一模）用直接开平方法解方程：1﹣8x+16x2＝2﹣8x．
点变式练2】（2024甘肃威武一模）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【对点变式练3】（2024福建一模）用公式法解一元二次方程x2－＝2x,正确的解是( )
A.x1＝x2＝
B.x1＝x2＝
C.x1＝x2＝
D.x1＝x2＝
【对点变式练4】（2024湖南一模）如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
【对点变式练5】（2024湖北一模）已知 ，则m2+n2的值为（ ）
A．-4或2 B．-2或4 C．-4 D．2
考点2. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【例题3】 （2024甘肃临夏）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
【对点变式练1】（2024天津一模）已知关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程无解
B．当时，方程有一个实数解
C．当时，方程有两个相等的实数解
D．当时，方程总有两个不相等的实数解
【对点变式练2】（2024安徽一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【例题4】（2024黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A. B.
C. D.
【对点变式练1】（2024四川乐山一模）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A. B. C. 1 D.
【对点变式练2】（2024安徽一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是 ．
考点3. 一元二次方程的应用
【例题5】（2024河北省）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A. 1 B. C. D. 1或
【对点变式练1】（2024陕西一模）某农机厂四月份生产零件40万个，第二季度共生产零件162万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．40（1+x）2＝162
B．40+40（1+x）+40（1+x）2＝162
C．40（1+2x）＝162
D．40+40（1+x）+40（1+2x）＝162
【对点变式练2】（2024哈尔滨一模）某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？
考点1. 一元二次方程及其解法
1. （2024吉林省）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
2. （2024广州）定义新运算：例如：，．若，则的值为______．
3. （2024深圳）已知一元二次方程一个根为1，则______．
4. （2024四川凉山）已知，则值为______．
5. （2024黑龙江齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝0
6. （2024安徽省）解方程：
考点2. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1. （2024四川自贡）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
2. （2024四川乐山）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A. B. C. D. 6
3. （2024四川泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
4. （2024湖南省）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________．
5. （2024河南省）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________．
6. （2024广州）关于的方程有两个不等的实数根．
求的取值范围；
7. （2024山东烟台）若一元二次方程两根为m，n，则的值为________．
8. （2024四川成都市）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
9. （2024四川南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若，且，，都是整数，求的值．
考点3. 一元二次方程的应用
1. （2024云南省）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产
1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的
是（ ）
A. B.
C. D.
2. （2024四川眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. （2024重庆市A）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______．
4. （2024重庆市B）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为________．
考点1. 一元二次方程及其解法
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A. B. 0 C. 2022 D. 4044
3．若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
4.已知(m－3)x2＋m x＝1+2mx2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )
A．m≠-3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3
5. 解方程：
6. 一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
7. 用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（ ）
A．（x）2 B．（x）2
C．（x）2 D．
次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是_______．
9. 用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A．x1、2= B．x1、2=
C．x1、2= D．x1、2=
10.一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 ．
11.已知一元二次方程x2－2x－＝0的某个根也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
12. 用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．
3. 用分解因式解方程：4x2﹣（x﹣1）2＝0．
4. 解方程：x2－2x－3＝0
15．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为__________三角形．
16.用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是( )
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
17．已知（a+b）（a+b﹣4）＝﹣4，那么（a+b）＝_____．
18. 用换元法分解因式(x2－4x+1)(x2－4x+2)－12.
【解】设x2－4x＝y, 则原式＝(y+1)(y+2)－12＝y2+3y－10＝(y+5)(y－2)＝(x2－4x+5)(x2－4x－2). (1)请你用换元法对多项式(x2－3x+2)(x2－3x－5)－8进行因式分解
(2)凭你的数感,大胆尝试解方程:(x2－2x+1)(x2－2x－3)＝0
考点2. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
2. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
3．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥
4．若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为_______．
5. 已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
6.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（ ）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
7.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的
值为 ．
8.已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 ．
9.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
10. （2022四川凉山）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
考点3. 一元二次方程的应用
1. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
2. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50
3. （数字问题）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇 赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（ ）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
4．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
5. 近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
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第二章 方程与不等式
2.3 一元二次方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元二次方程及其解法 ☆☆ 数学中考中，有关一元二次方程的部分，每年考查1道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、 解答题的形式考查。三种题型中一般只出现一种，但在考查其他综合类问题时渗透考查一元二次方程的知识。所以一元二次方程知识是中考十分重要的内容，也是高中阶段学习的重要基础。一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是属于年年考知识点，必须熟练掌握。
考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 ☆☆☆
考点3 一元二次方程的应用 ☆☆
☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 一元二次方程及其解法
1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
【温馨提醒1】与一元二次方程的定义有关问题解题要领
抓住一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
【温馨提醒2】与一元二次方程的根的定义有关问题解题要领：
紧扣一元二次方程的概念，方程的解（根）直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
4.一元二次方程的解法
有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等。
（1）直接开方法。
适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；
②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；
④开方，即降次；
⑤解一次方程。
（3）公式法。
当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
【温馨提醒】公式法解方程的步骤
（1）变形: 化已知方程为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);;
（2）确定系数:用a,b,c写出各项系数;
（3）计算: b2-4ac的值;
（4）判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出； 若b2-4ac<0，则方程没有实数根。
(4)因式分解法。当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【提示】因式分解的方法解一元二次方程常用公式
1）ma+mb+mc=m(a+b+c)；
2）a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
3）a2 -b2=(a +b)(a -b)；
4）其他方法。
2.因式分解法的基本步骤
1）通过移项将方程的右边=0；
2）将方程的左边因式分解；
3）方程化为两个一元一次方程；
4）解方程，写出方程两个解。
（5）换元法：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
【说明】换元法又称变量替换法,是我们解题常用的方法之一。利用换元法,可以化繁为简,化难为易,从而找到解题的捷径。关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化,复杂问题简单化,也体现了转化思想的运用.
考点2. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ ”表示，即Δ=b2-4ac.
2.判断一元二次方程根的情况的方法
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
当b2 - 4ac> 0时,方程有两个不相等的实数根.
当b2 - 4ac= 0时,方程有两个相等的实数根.
当b2 - 4ac< 0时,方程无实数根.
3.根与系数的关系（韦达定理）
（1）语言表达：也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
（2）数学表达：对于一元二次方程，若，则。
若一元二次方程的两个实数根是，当，则
注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。
4. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用
（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
（2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。
（4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
（5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。
5. 解决一元二次方程的根与系数的关系问题需要熟练理解牢记如下代数式的一些重要变形：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
考点3. 一元二次方程的应用
一、实际问题与一元二次方程
类型1：传播问题与一元二次方程
1.解决这类传播问题的经验和方法
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
2.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤
3.传播问题实例探索
数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
类型2：平均变化率问题与一元二次方程
增长率等量关系
（1）增长率=增长量÷基础量．
（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；
当为平均下降率时，则有．
类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
类型3：几何图形面积问题与一元二次方程
1.几何图形面积问题说明：主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程.
2．面积问题
（1）类型1：如图所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
（2）类型2：如图所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
（3）类型3：如图所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．
类型4：市场销售利润问题与一元二次方程
利润等量关系：
（1）利润=售价－成本．
（2）利润率=×100％．
类型5：比赛类问题与一元二次方程
等量关系
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，
∴1支球队需要比赛（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.
∴总共比赛场次为：m=
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，
∴1支球队需要比赛（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.
∴总共比赛场次为：m=
二、解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
【易错点提示】一元二次方程解法多，选择解法容易混乱。
一元二次方程解法选择的基本思路
（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
（2）若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
（3）若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
（4）不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
考点1. 一元二次方程及其解法
【例题1】 （2024四川凉山）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A.2 B. C. 2或 D.
【答案】A
【解析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．
【详解】是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；故选A
【对点变式练1】（2024深圳一模）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A．
【解析】考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程不是一元二次方程；
②x24＝0属于分式方程；
③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定义；
④x2﹣2+x3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；
综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．
【对点变式练2】（2024江苏连云港一模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
【答案】1
【解析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴．
【点睛】考查一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
【例题2】（2024贵州省）一元二次方程的解是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】 ，
∴，
∴或，
∴，，故选∶B．
【对点变式练1】（2024齐齐哈尔一模）用直接开平方法解方程：1﹣8x+16x2＝2﹣8x．
【解析】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
解：1﹣8x+16x2＝2﹣8x，
移项、合并同类项，得16x2＝1，
两边同时除以16，得x2，解得x＝±．
【对点变式练2】（2024甘肃威武一模）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
【对点变式练3】（2024福建一模）用公式法解一元二次方程x2－＝2x,正确的解是( )
A.x1＝x2＝
B.x1＝x2＝
C.x1＝x2＝
D.x1＝x2＝
【答案】B
【解析】将方程整理,得x2－2x－＝0,
这里a＝1,b＝－2,c＝－
∴△＝(－2)2－4×1×＝4+1＝5,
x＝＝,
x1＝,x2＝.故选B
【对点变式练4】（2024湖南一模）如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
【答案】A
【解析】根据已知分解因式和方程得出x+3＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可．
∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，
∴x+3＝0，x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1
【对点变式练5】（2024湖北一模）已知 ，则m2+n2的值为（ ）
A．-4或2 B．-2或4 C．-4 D．2
【答案】D
【解析】先设y=m2+n2，则原方程变形为y2+2y-8=0，运用因式分解法解得y1=-4，y2=2，即可求得m2+n2的值.
设y=m2+n2，
原方程变形为y（y+2）-8=0，
整理得，y2+2y-8=0，
（y+4）（y-2）=0，
解得y1=-4，y2=2，
∵m2+n2≥0，
所以m2+n2的值为2。
考点2. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【例题3】 （2024甘肃临夏）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
【答案】-1
【解析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可．
由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．
故答案为-1.
【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
【对点变式练1】（2024天津一模）已知关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程无解
B．当时，方程有一个实数解
C．当时，方程有两个相等的实数解
D．当时，方程总有两个不相等的实数解
【答案】C
【解析】当时，方程为一元一次方程有唯一解．
当时，方程为一元二次方程的情况由根的判别式确定：
∵，
∴当时，方程有两个相等的实数解，当且时，方程有两个不相等的实数解．综上所述，说法C正确．故选C．
【对点变式练2】（2024安徽一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】2
【解析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，
由题意可知：
，，
，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键．
【例题4】（2024黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．
∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和；
∴，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．
∴
A. 中，，，故该选项不符合题意；
B. 中，，，故该选项符合题意；
C. 中，，，故该选项不符合题意；
D. 中，，，故该选项不符合题意；故选：B．
【对点变式练1】（2024四川乐山一模）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，
，
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【对点变式练2】（2024安徽一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是 ．
【答案】16
【解析】考查一元二次方程根与系数的关系
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，
∴（x1+4）（x2+4）
＝x1x2+4x1+4x2+16
＝x1x2+4（x1+x2）+16
＝﹣4+4×1+16
＝﹣4+4+16
＝16
考点3. 一元二次方程的应用
【例题5】（2024河北省）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A. 1 B. C. D. 1或
【答案】C
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程，利用公式法求解即可．
由题意得：，
解得：或（舍） 故选：C．
【对点变式练1】（2024陕西一模）某农机厂四月份生产零件40万个，第二季度共生产零件162万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．40（1+x）2＝162
B．40+40（1+x）+40（1+x）2＝162
C．40（1+2x）＝162
D．40+40（1+x）+40（1+2x）＝162
【答案】B
【解析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
解：依题意得五、六月份的产量为40（1+x）、40（1+x）2，
∴40+40（1+x）+40（1+x）2＝162．
【对点变式练2】（2024哈尔滨一模）某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？
【答案】每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台．
【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，
则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.
解得 x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9.
4轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台．
考点1. 一元二次方程及其解法
1. （2024吉林省）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．
分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、，解得：，故本选项符合题意；
C、，，解得，故本选项不符合题意；
D、，，解得，故本选项不符合题意．故选：B．
2. （2024广州）定义新运算：例如：，．若，则的值为______．
【答案】或
【解析】本题考查了一元二次方程应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．
∵，
而，
∴①当时，则有，
解得，；
②当时，，
解得，
综上所述，x的值是或．
3. （2024深圳）已知一元二次方程一个根为1，则______．
【答案】
【解析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】关于的一元二次方程的一个根为，
满足一元二次方程，
，
解得，．
4. （2024四川凉山）已知，则值为______．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．
【详解】∵，
∴，
将代入
得，，
即：，
，
∴或，
∵，
∴舍，
∴，
故答案为：3．
5. （2024黑龙江齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝0
【答案】x1＝2，x2＝3
【解析】利用因式分解的方法解出方程即可.
利用因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.
6. （2024安徽省）解方程：
【答案】，
【解析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．
考点2. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1. （2024四川自贡）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】A
【解析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】△，
方程有两个不相等的实数根．故选：A．
2. （2024四川乐山）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可．
【详解】解：，
，
而，
，
，故选：A．
3. （2024四川泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】
【解析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．
【详解】，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
．
故答案为：．
4. （2024湖南省）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】2
【解析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．
【详解】由题意得：，
解得：
5. （2024河南省）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________．
【答案】##
【解析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可．
【详解】∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
6. （2024广州）关于的方程有两个不等的实数根．
求的取值范围；
【答案】
【解析】根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：
7. （2024山东烟台）若一元二次方程两根为m，n，则的值为________．
【答案】6
【解析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴
．
8. （2024四川成都市）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】7
【解析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．
【详解】∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
则
∴
9. （2024四川南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若，且，，都是整数，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可；
（2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可．
【小问1详解】
解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵，由（1）得，
∴，
∴整数的值有，，，
当时，方程为，
解得：，（都是整数，此情况符合题意）；
当时，方程为，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
当时，方程，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述，的值为．
考点3. 一元二次方程的应用
1. （2024云南省）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产
1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程．
【详解】甲种药品成本的年平均下降率为，
根据题意可得，故选：B．
2. （2024四川眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．
设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可．
根据题意得：．故选：B．
3. （2024重庆市A）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______．
【答案】
【解析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．
设平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）．
4. （2024重庆市B）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为________．
【答案】
【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞行航线安全运行了架次，第三季度低空飞行航线安全运行了架次，据此列出方程即可．
【详解】设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，
由题意得，．
考点1. 一元二次方程及其解法
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数-4，常数项-5．
2. 已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A. B. 0 C. 2022 D. 4044
【答案】B
【解析】根据题意有，即有，据此即可作答．
∵m为的根据，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=
【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．
3．若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
【答案】B
【解析】∵是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0, =2,解得:m=2
4.已知(m－3)x2＋m x＝1+2mx2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )
A．m≠-3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3
【答案】A
【解析】将原来方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数不能等于0.
(m－3)x2＋m x＝1+2mx2
化为一般形式(m+3)x2-m x+1＝0
所以(m+3) ≠0
m ≠-3
5. 解方程：
【答案】，
【解析】直接开方可得或，然后计算求解即可．
∵
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
6. 一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
【答案】D
【解析】 将方程(x＋6)2＝16两边直接开平方，得x＋6＝±4，
则x＋6＝4或x＋6＝－4.
7. 用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（ ）
A．（x）2 B．（x）2
C．（x）2 D．
【答案】D
【解析】先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，然后把方程两边加上即可．
∵2x2﹣7x＝﹣3，
x2x，
x2x，
∴（x）2．
8. 将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是_______．
【答案】-4，21．
【解析】解：∵x2-8x-5=0，
∴x2-8x=5，
则x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，
∴a=-4，b=21
9. 用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A．x1、2= B．x1、2=
C．x1、2= D．x1、2=
【答案】D
【解析】∵3x2+4=12x，
∴3x2-12x+4=0，
∴a=3，b=-12，c=4，
∴
10.一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 ．
【答案】x1＝，x2＝．
【解析】直接利用公式法解方程得出答案．
3x2＝4﹣2x
3x2+2x﹣4＝0，
则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
故x＝，
解得：x1＝，x2＝．
11.已知一元二次方程x2－2x－＝0的某个根也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
【答案】k的值为或－7.
【解析】对于方程x2－2x－＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝－，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－)＝9>0，
∴x＝，∴x1＝，x2＝－.
把x1＝代入x2－(k＋2)x＋＝0， 解得k＝；
把x2＝－代入x2－(k＋2)x＋＝0，解得k＝－7.
即k的值为或－7.
12. 用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．
【解析】利用因式分解法求解即可．
∵x（5x+4）﹣（4+5x）＝0，
∴（5x+4）（x﹣1）＝0，
则5x+4＝0或x﹣1＝0，
则．
13. 用分解因式解方程：4x2﹣（x﹣1）2＝0．
【解析】根据平方差公式可以解答此方程．
4x2﹣（x﹣1）2＝0
（2x﹣x+1）（2x+x﹣1）＝0
（x+1）（3x﹣1）＝0
∴x+1＝0，或3x﹣1＝0，
解得，．
14. 解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【解析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
15．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为__________三角形．
【答案】直角
【解析】解一元二次方程x2-6x+8=0，
得，x=2或4，
∵AB=3，AC=5，
∴2＜BC＜8，
∵第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，
∴BC=4，
当BC=4时，AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形.
16.用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是( )
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
【答案】A
【解析】把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．
17．已知（a+b）（a+b﹣4）＝﹣4，那么（a+b）＝_____．
【答案】2
【解析】设a+b＝t，根据一元二次方程即可求出答案．
设a+b＝t，
原方程化为：t（t﹣4）＝﹣4，
解得：t＝2，
即a+b＝2
18. 用换元法分解因式(x2－4x+1)(x2－4x+2)－12.
【解】设x2－4x＝y, 则原式＝(y+1)(y+2)－12＝y2+3y－10＝(y+5)(y－2)＝(x2－4x+5)(x2－4x－2). (1)请你用换元法对多项式(x2－3x+2)(x2－3x－5)－8进行因式分解
(2)凭你的数感,大胆尝试解方程:(x2－2x+1)(x2－2x－3)＝0
【答案】见解析。
【解析】 (1)设x2－3x＝y.原式(y+2)(y－5)－8＝y2－3y－18＝(x2－3x－6)( x2－3x+3)
(2)设x2－2x＝t,则原方程化为(t+1)(t－3)＝0,解得t＝－1或t＝3
当t＝－1时,x2－2x＝－1,即(x－1)2＝0,解得x1＝x2＝1
当t＝3时,x2－2x＝3,即(x－3)(x+1)＝0,解得x3＝3,x4＝－1.
综上所述,原方程的解为x1＝x2＝1,x3＝3,x4＝－1
考点2. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，即可求出△＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）．
∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
2. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2 4ac＝0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值．
原方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2 4ac＝4 4×（ k）＝0，且k≠0；
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
3．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥
【答案】D
【解析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．
当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥.
4．若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为_______．
【答案】或0.25
【解析】根据方程有两个相等的实数根，可得，计算即可．
关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，；熟练掌握知识点是解题的关键．
5. 已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）题需要分类讨论，以防漏解．
（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
6.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（ ）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
【答案】C
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m＝2，进而求得m＝2或m＝﹣1，从而求得x1+x2＝﹣4或2，把原式变形，代入计算即可．
关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣4或2，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
当x1+x2＝﹣4时，原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
当x1+x2＝2时，原式＝22+2×22﹣4×2+4＝8．
7.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的
值为 ．
【答案】-2
【解析】根据“x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13”，结合根与系数的关系，列出关于k的一元一次方程，解之即可．
根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
+﹣x1x2
＝﹣3x1x2
＝4﹣3（k﹣1）＝13
8.已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 ．
【答案】1
【解析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
9.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
【答案】见解析。
【解析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；由根与系数的关系可得出x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，结合|x1﹣x2|＝4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，
解得：m≤2．
（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1.x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，
解得：m＝1．
10. （2022四川凉山）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】（1）； （2）（3）或
【解析】（1）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
考点3. 一元二次方程的应用
1. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解析】患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝144，解方程即可求解．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，
即（1+x）2＝144，
解方程得x1＝11，x2＝﹣13（舍去）．
2. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【解析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
由题意可得，
．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
3. （数字问题）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇 赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（ ）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
【答案】C
【解析】设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列出方程可得答案．
假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）2。
4．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】见解析。
【解析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
5. 近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
【答案】见解析。
【解析】设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；用2.42×（1+增长率），计算即可求解．
（1）设增长率为x，根据题意，得
2（1+x）2＝2.42，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：增长率为10%．
（2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）．
答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．
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