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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第四章 三角形及四边形
4.1 角 相交线与平行线
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 角与角平分线 ☆☆ 数学中考中，有关本专题的部分，每年考查1道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题的形式考查，也有极少数省市在解答题出现。复习需要学生熟练掌握平行线判定和性质定理及其应用，这类问题比较容易，是深入学习几何知识的基础，通常结合角平分线概念，三角形内角和定理来解决。
考点2 相交线与平行线 ☆☆☆
考点3 平行线性质求角度 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 角与角平分线
1. 角的概念
有________-的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
2.角的表示方法
(1)角通常用个字母及符号“∠”来表示，如图中角可以表示为∠AOB或∠BOA，表示顶点的字母O必须放在中间，其他两个字母A，B分别表示角的两边上的点.
(2)当顶点处只有一个角时，可用一个________表示角，这个字母应标在顶点上. 如图的角可以表示为∠O.
(3)用一个数字表示一个角，如图的角可以表示为∠1.
(4)用一个字母(希腊字母α、β、γ等)表示一个角，如图的角可以表示为∠α.
注意：（3）（4）这两种方法必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角
3. 角的单位及换算关系
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，
如：∠α的度数是48度56分37秒，记作∠α=__________.
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.此外，还有其它度量角的单位制.例如，我们以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等.
4.角的分类及余角补角的定义
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360°
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为________.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为________.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）余角和补角的性质: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角也相等.
注意：对余角、补角问题可以利用下面表格加深理解
名称 概念 性质
互为余角 如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角. （1）90°-α是α的余角； （2）同角或等角的余角相等.
互为补角 如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。 （1）180°-α是α的补角； （2）同角或等角的补角相等.
5. 角的平分线.一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个_______的角的射线，叫做这个角的平分线.
OB是∠AOC的平分线
∵OB是∠AOC的角平分线，
∴∠AOB＝∠BOC=∠AOC
∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC
6．方位角.以______、________方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
考点2. 相交线与平行线
（一）相交线的理论基础
1．邻补角
（1）定义：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
（2）邻补角的性质：邻补角______。
2．对顶角
（1）定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的________，像这样的两个角互为对顶角。
（2）对顶角的性质：对顶角_______。
3．垂线
（1）定义：两条直线相交成_______时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
（2）垂线的性质：
性质1：过一点有且只有_______直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_______最短。
4．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角定义：∠1与∠5像这样具有_________关系的一对角叫做同位角。
（2）内错角定义：∠4与∠6像这样的一对角叫做内错角。
（3）同旁内角定义：∠3与∠6像这样的一对角叫做同旁内角。
注意：对三线八角的认识
直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．
（二）平行线的理论基础
1.平行线概念：在同一平面内，两条_________的直线叫做平行线。记做a∥b
如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。
2.两条直线的位置关系：_______和_______。
3.平行线公理及其推论
（1）公理：经过已知直线外一点，有且只有条直线与这条直线平行；
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线________.
4.平行线的判定
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，_______相等，两直线平行；
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，________相等，两直线平行；
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，_________互补，两直线平行.
补充平行线的判定方法：
（1）平行于___一条直线的两直线平行。
（2）垂直于___一条直线的两直线平行。
5.平行线的性质
性质1：两直线平行，_______相等。
性质2：两直线平行，________相等。
性质3：两直线平行，_______互补。
【易错点提示】解决相交线与平行线难点问题添加辅助线要领
1.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.如图，以下三种情况.
2.除了基本模型外，还经常会遇到一些平行线加折线模型，主要是下面两类：
做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如图所示。
考点3. 平行线性质求角度
1.理解熟记平行线的性质（能灵活用数学语言表达文字语言至关重要）
2. （1）利用性质1求角度的思路
例如：如图，直线，，，则______.
思路：设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，根据平行的性质1得到∠1=∠4=100°，再根据三角形的外角和定理 即可求解．本题考查了平行线的性质1、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质1是解答本题的关键．
（2）利用性质2求角度的思路
例如：如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是 ．
思路：根据平行线的性质2得出∠B＝∠BCD＝26°，根据角平分线定义求出∠ECD＝2∠BCD＝52°，再根据平行线的性质2即可得解．
本题考查了平行线的性质2、平分线定义、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质2是解答本题的关键．
（3）利用性质3求角度的思路
例如：如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于___________．
思路：由题意得，∠2＝60°，由平角的定义可得∠5＝70°，再根据平行线的性质即可求解．
∵l1∥l2，
∴∠1+∠3＝180°（性质3）
∵∠1+∠2+∠3＝240°，
∴∠2＝240°﹣（∠1+∠3）＝60°，
∵∠3+∠2+∠5＝180°，∠3＝50°，
∴∠5＝180°﹣∠2﹣∠3＝70°，
∵l1∥l2，
∴∠4＝∠5＝70°．
【易错点提示】用下图理清平行线的判定与性质之间关系的模糊认识
考点1. 角与角平分线
【例题1】（2024甘肃威武）若，则的补角为（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024云南一模）下列关于角的说法正确的是( )
A.由两条射线组成的图形叫做角
B.角的边画得越长，角越大
C.在角一边延长线上取一点
D.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
【变式练2】（2024江西一模）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于( )
A.45° B.60° C.90° D.180°
【变式练3】（2024陕西一模）如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东72°方向，则∠ACB的度数是 ．
【变式练4】（2024福州一模）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（ ）
A．35° B．70° C．110° D．145°
考点2. 相交线与平行线
【例题2】 （2024广西）已知与为对顶角，，则______°．
【变式练1】（2024上海一模）如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B． 内错角 C． 同旁内角 D． 邻补角
【变式练2】（2024北京一模）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【变式练3】（2024 金华一模）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【变式练4】（2024哈尔滨一模）如图，下列条件中能判定直线的是( )
A. B.
C. D.
考点3. 平行线性质求角度
【例题3】（2024福建省）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024山东东营一模）如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式练2】（2024广西贵港一模）如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是 ．
考点1. 角与角平分线
1. （2024广西）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024山东烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. （2024江苏常州）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A. 与一定相等 B. 与一定不相等
C. 与一定相等 D. 与一定不相等
4. （2024河南省） 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ）
A. B. C. D.
考点2. 相交线与平行线
1. （2024内蒙古包头）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. （2024黑龙江大庆）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ）
A. 纸带①、②的边线都平行
B. 纸带①、②的边线都不平行
C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
考点3. 平行线性质求角度
1. （2024深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024湖北省）如图，直线，已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. （2024江苏苏州）如图，，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. （2024四川资阳）如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. （2024黑龙江绥化）如图，，，．则______．
6.（2024内蒙古赤峰） 将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
7. （2024广州）如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为______．
考点1. 角与角平分线
1. 如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．
2.如图，已知射线OC在∠AOB的内部，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.
(1)若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度数;
(2)探究∠MON与∠AOB的数量关系.
3. （2022湖北宜昌）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．
考点2. 相交线与平行线
1.下列语句错误的有（ ）个.
（1）两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角；
（2）有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；
（3）如果两个角相等，那么这两个角互补；
（4）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列图形中，∠1和∠2是同位角的有（ ）
A.(1)，(2) B.(3)，(4)
C.(1)，(2)，(3) D.(2)，(3) ，(4)
3. 如图，下列说法错误的是( )
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠2是同位角
4．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是( )
A．线段CA的长度 B．线段CM的长度 C．线段CD的长度 D．线段CB的长度
5．如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 度．
6. 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，若，则______°.
7. 如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
8.如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数。
考点3. 平行线性质求角度
1．如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
2．如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝（ ）
A．70° B．60° C．75° D．80°
3．如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180° B．360° C．270° D．540°
4．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（ ）
A．132° B．128° C．122° D．112°
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第四章 三角形及四边形
4.1 角 相交线与平行线
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 角与角平分线 ☆☆ 数学中考中，有关本专题的部分，每年考查1道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题的形式考查，也有极少数省市在解答题出现。复习需要学生熟练掌握平行线判定和性质定理及其应用，这类问题比较容易，是深入学习几何知识的基础，通常结合角平分线概念，三角形内角和定理来解决。
考点2 相交线与平行线 ☆☆☆
考点3 平行线性质求角度 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 角与角平分线
1. 角的概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
2.角的表示方法
(1)角通常用三个字母及符号“∠”来表示，如图中角可以表示为∠AOB或∠BOA，表示顶点的字母O必须放在中间，其他两个字母A，B分别表示角的两边上的点.
(2)当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示角，这个字母应标在顶点上. 如图的角可以表示为∠O.
(3)用一个数字表示一个角，如图的角可以表示为∠1.
(4)用一个字母(希腊字母α、β、γ等)表示一个角，如图的角可以表示为∠α.
注意：（3）（4）这两种方法必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角
3. 角的单位及换算关系
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，
如：∠α的度数是48度56分37秒，记作∠α=48°56′37″.
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.此外，还有其它度量角的单位制.例如，我们以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等.
4.角的分类及余角补角的定义
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360°
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）余角和补角的性质: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角也相等.
注意：对余角、补角问题可以利用下面表格加深理解
名称 概念 性质
互为余角 如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角. （1）90°-α是α的余角； （2）同角或等角的余角相等.
互为补角 如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。 （1）180°-α是α的补角； （2）同角或等角的补角相等.
5. 角的平分线.一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
OB是∠AOC的平分线
∵OB是∠AOC的角平分线，
∴∠AOB＝∠BOC=∠AOC
∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC
6．方位角.以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
考点2. 相交线与平行线
（一）相交线的理论基础
1．邻补角
（1）定义：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
（2）邻补角的性质：邻补角互补。
2．对顶角
（1）定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
（2）对顶角的性质：对顶角相等。
3．垂线
（1）定义：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
（2）垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
4．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角定义：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
（2）内错角定义：∠4与∠6像这样的一对角叫做内错角。
（3）同旁内角定义：∠3与∠6像这样的一对角叫做同旁内角。
注意：对三线八角的认识
直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．
（二）平行线的理论基础
1.平行线概念：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线。记做a∥b
如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。
2.两条直线的位置关系：平行和相交。
3.平行线公理及其推论
（1）公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行.
4.平行线的判定
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行；
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行；
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行.
补充平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行。
（2）垂直于同一条直线的两直线平行。
5.平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
【易错点提示】解决相交线与平行线难点问题添加辅助线要领
1.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.如图，以下三种情况.
2.除了基本模型外，还经常会遇到一些平行线加折线模型，主要是下面两类：
做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如图所示。
考点3. 平行线性质求角度
1.理解熟记平行线的性质（能灵活用数学语言表达文字语言至关重要）
2. （1）利用性质1求角度的思路
例如：如图，直线，，，则______.
思路：设∠1的同位角为为∠4，∠2的对顶角为∠5，根据平行的性质1得到∠1=∠4=100°，再根据三角形的外角和定理 即可求解．本题考查了平行线的性质1、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质1是解答本题的关键．
（2）利用性质2求角度的思路
例如：如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是 ．
思路：根据平行线的性质2得出∠B＝∠BCD＝26°，根据角平分线定义求出∠ECD＝2∠BCD＝52°，再根据平行线的性质2即可得解．
本题考查了平行线的性质2、平分线定义、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质2是解答本题的关键．
（3）利用性质3求角度的思路
例如：如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于___________．
思路：由题意得，∠2＝60°，由平角的定义可得∠5＝70°，再根据平行线的性质即可求解．
∵l1∥l2，
∴∠1+∠3＝180°（性质3）
∵∠1+∠2+∠3＝240°，
∴∠2＝240°﹣（∠1+∠3）＝60°，
∵∠3+∠2+∠5＝180°，∠3＝50°，
∴∠5＝180°﹣∠2﹣∠3＝70°，
∵l1∥l2，
∴∠4＝∠5＝70°．
【易错点提示】用下图理清平行线的判定与性质之间关系的模糊认识
考点1. 角与角平分线
【例题1】（2024甘肃威武）若，则的补角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据和为的两个角互为补角，计算即可．
本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】。
则的补角为．故选：D．
【变式练1】（2024云南一模）下列关于角的说法正确的是( )
A.由两条射线组成的图形叫做角
B.角的边画得越长，角越大
C.在角一边延长线上取一点
D.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
【答案】D
【解析】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
【变式练2】（2024江西一模）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于( )
A.45° B.60° C.90° D.180°
【答案】C
【解析】已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，则∠α+∠β=180°
∠β=180°-∠α
∠α与∠γ互余，则∠α+∠γ=90°
∠γ=90°-∠α
则∠β-∠γ=（180°-∠α）-（90°-∠α）=90°
【变式练3】（2024陕西一模）如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东72°方向，则∠ACB的度数是 ．
【答案】78°
【解析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．
∵AE，DB是正南和正北方向，
∴BD∥AE，
∵B处在A处的南偏西42°方向，
∴∠BAE＝∠DBA＝42°，
∵C处在A处的南偏东30°方向，
∴∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝42°+30°＝72°，
又∵C处在B处的北偏东72°方向，
∴∠DBC＝72°，
∴∠ABC＝72°﹣42°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣72°＝78°．故答案为：78°．
【点睛】本题考查的是方向角的概念，用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
【变式练4】（2024福州一模）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（ ）
A．35° B．70° C．110° D．145°
【答案】C
【解析】∵射线OC平分∠DOB．∴∠BOD=2∠BOC，
∵∠COB=35°， ∴∠DOB=70°， ∴∠AOD=180°﹣70°=110°
【点拨】本题考查角的平分线性质和平角的特点。
考点2. 相交线与平行线
【例题2】 （2024广西）已知与为对顶角，，则______°．
【答案】35
【解析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可．
【详解】∵与为对顶角，，
∴．
【变式练1】（2024上海一模）如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B． 内错角 C． 同旁内角 D． 邻补角
【答案】A．
【解析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．
如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．
【变式练2】（2024北京一模）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．
【解析】A．∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，故A正确；
B．∵∠2＝∠A+∠3，
∴∠2＞∠3，故B错误；
C．∵∠1＝∠4+∠5，故③错误；
D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D错误.
【变式练3】（2024 金华一模）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【解析】由题意a⊥AB，b⊥AB，
∴a∥b（垂直于同一条直线的两条直线平行）
【变式练4】（2024哈尔滨一模）如图，下列条件中能判定直线的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】同旁内角互补，二直线平行。
∠1与∠3是同旁内角，当∠1+∠3=180°时，有
考点3. 平行线性质求角度
【例题3】（2024福建省）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解．
∵，
∴，
∵，则，
∴，故选：A．
【变式练1】（2024山东东营一模）如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】过点E作GE∥AB．利用平行线的性质得到∠GEF+∠EFD＝180°，由垂直的定义∠EFD＝90°，进而得出∠GEF＝90°，根据角的和差得到∠BEG＝60°，再根据平行线的性质求解即可．
如图，过点E作GE∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠GEF+∠EFD＝180°，
∵EF⊥CD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠GEF＝180°﹣∠EFD＝90°，
∵∠BEF＝∠BEG+∠GEF＝150°，
∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝60°，
∵GE∥AB，
∴∠ABE＝∠BEG＝60°。
【变式练2】（2024广西贵港一模）如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是 ．
【答案】52°．
【解析】根据平行线的性质得出∠B＝∠BCD＝26°，根据角平分线定义求出∠∠ECD＝2∠BCD＝52°，再根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝26°，
∴∠BCD＝∠B＝26°，
∵CB平分∠ECD，
∴∠ECD＝2∠BCD＝52°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ECD＝52°．
考点1. 角与角平分线
1. （2024广西）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了钟面角，用乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是，根据时针与分针相距的份数，可得答案．
2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是，故选：C．
2. （2024山东烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．
【详解】第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线；
第二个图，由作图可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线；
第三个图，由作图可知，
∴，，
∴
∴，
∴为的平分线；
第四个图，由作图可知：，，
∴为的平分线；故选D．
3. （2024江苏常州）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A. 与一定相等 B. 与一定不相等
C. 与一定相等 D. 与一定不相等
【答案】A
【解析】如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在的平分线上，
∴，
由平行线间间距相等可知，
∴，
由于和的长度未知，故二者不一定相等，故选：A，
4. （2024河南省） 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．
如图，
由题意得，，，
∴，故选：B．
考点2. 相交线与平行线
1. （2024内蒙古包头）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出，得出结合对顶角的性质，根据邻补角的定义得出，即可求出中与互补的角，即可求解．
详解】∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴图中与互补的角有，，，共3个．故选∶C．
2. （2024黑龙江大庆）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ）
A. 纸带①、②的边线都平行
B. 纸带①、②的边线都不平行
C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
【答案】D
【解析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断．
【详解】对于纸带①，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
∴与不平行，
对于纸带②，由折叠的性质得，，，
又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行，故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键．
考点3. 平行线性质求角度
1. （2024深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了平行线的性质，根据，，则，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答．
【详解】如图：
∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，
∴，，
∴，
则，
∵光线是平行的，
即，
∴，故选：B．
2. （2024湖北省）如图，直线，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据同旁内角互补，，求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故选：B．
3. （2024江苏苏州）如图，，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故选：B
4. （2024四川资阳）如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数．
【详解】∵过点作于点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
将代入上式，
可得，故选．
5. （2024黑龙江绥化）如图，，，．则______．
【答案】66
【解析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
6.（2024内蒙古赤峰） 将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得，根据即可求解．
如图所示：
由题意得：
∴ 故选：B．
7. （2024广州）如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为______．
【答案】
【解析】考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明，再利用邻补角的含义可得答案．
如图，
∵，，
∴，
∴
考点1. 角与角平分线
1. 如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．
【答案】55．
【解析】若两角互余，则两角和为90°，从而可知∠α的余角为90°减去∠α，从而可解．
∵∠α＝35°，
∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°
【点拨】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．
2.如图，已知射线OC在∠AOB的内部，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.
(1)若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度数;
(2)探究∠MON与∠AOB的数量关系.
【答案】见解析
【解析】(1)因为OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC,
所以∠COM=1/2∠AOC，∠CON=1/2∠BOC.
因为∠AOC=50°，∠BOC= 30°，
所以∠COM=25°，∠CON=15°
所以∠MON=∠COM+∠CON=40°.
(2)因为OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC,
所以∠COM=1/2∠AOC，∠CON=1/2∠BOC.
所以∠MON=∠COM+∠CON=1/2∠AOC+1/2∠BOC
=1/2 (∠AOC+∠BOC)=1/2∠AOB.
3. （2022湖北宜昌）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．
【答案】或者85度
【解析】过作交于，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．
岛在A岛的北偏东方向，
，
岛在岛的北偏西方向，
，
过作交于，如图所示：
，
，
【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
考点2. 相交线与平行线
1.下列语句错误的有（ ）个.
（1）两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角；
（2）有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；
（3）如果两个角相等，那么这两个角互补；
（4）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】（1）两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角；错误。
（2）有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；错误。
（3）如果两个角相等，那么这两个角互补；错误。
（4）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角，正确。
2.下列图形中，∠1和∠2是同位角的有（ ）
A.(1)，(2) B.(3)，(4)
C.(1)，(2)，(3) D.(2)，(3) ，(4)
【答案】A
【解析】图（1）和图（2）中的∠1与∠2在两条直线的同一侧，在另外一条直线的同旁。
根据同位角特征可以知道图A、图B中的两个角∠1和∠2是同位角。
3. 如图，下列说法错误的是( )
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠2是同位角
【答案】D
【解析】解析：根据同位角、内错角、同旁内角的基本模型判断．A中∠A与∠B形成“U”型，是同旁内角；B中∠3与∠1形成“U”型，是同旁内角；C中∠2与∠3形成“Z”型，是内错角；D中∠1与∠2是邻补角，该选项说法错误．故选D.
方法总结：在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”型，内错角的边构成“Z”型，同旁内角的边构成“U”型．
4．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是( )
A．线段CA的长度 B．线段CM的长度 C．线段CD的长度 D．线段CB的长度
【答案】C
【解析】根据点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度进行求解即可.
点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度，而CD是点C到直线AB的垂线段，故选C.
5．如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 度．
【答案】38．
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【解析】∵两直线交于点O，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝76°，
∴∠1＝38°．
6. 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，若，则______°.
【答案】30
【解析】，，
，
，
.
7. 如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
【答案】190
【解析】根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：．
2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；
5条直线相交最多有个交点；
20条直线相交最多有．
【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有．
8.如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数。
【答案】70°
【解析】注意：隐含条件“对顶角相等”
因为∠1＝40°，
∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1
＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，
所以∠2＝70°(等量代换)．
考点3. 平行线性质求角度
1．如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．
【解析】∵直线AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝70°，
∴∠1＝∠2＝180°﹣70°＝110°．
2．如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝（ ）
A．70° B．60° C．75° D．80°
【答案】A
【解析】根据角的和差得到∠ABF＝70°,再根据两直线平行，同位角相等即可得解．
∵∠ABC＝90°,∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝70°,
∵DE∥BF，
∴∠ADE＝∠ABF＝70°,
3．如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180° B．360° C．270° D．540°
【答案】B
【解析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
4．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（ ）
A．132° B．128° C．122° D．112°
【答案】C
【解析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．
∵AB∥CD，∠EFG＝64°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，
∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∴∠BEG∠BEF＝58°，
∵AB∥CD，
∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．
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