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【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第四章 三角形及四边形
4.3 全等三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 全等三角形的判定与性质 ☆☆☆ 数学中考中，有关全等三角形的部分，每年考查1~2道题,分值为3~10分，通常以选择题、 解答题的形式考查。特别是在考查综合知识探索类实践类试题里渗透考查三角形全等。也有的省市在解答题专门命制证明三角形全等和求值的试题。
考点2 全等三角形的实际应用 ☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 全等三角形的判定与性质
1．全等三角形的性质：全等三角形的对应角、对应边相等．
结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
【温馨提醒】找两个全等三角形的对应元素常用方法有：
1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。
2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．
3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
2. 理解并牢记三角形全等的五种判定方法
判定方法1：“边边边”或“SSS”判定方法
三边对应相等的两个三角形全等。
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△ A′B′C′(SSS)
注意：作一个角等于已知角的方法
已知：∠AOB 求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.
作法：
1.以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
2.画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
3.以C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；
4.过点D′画射线O′B′，则∠A′0′B′=∠AOB.
思考：为什么这样作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？
在△OCD和△O′C′D′中，
∴△OCD ≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′.
判定方法2：“边角边”或“SAS”判定方法
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(SAS)
判定方法3：“角边角”或“ASA”判定方法
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等.
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(ASA)
判定方法4：“角角边”或“AAS”判定方法
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(AAS)
判定方法5：直角三角形“HL”判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何符号语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
则Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′（HL）
注意：证明两个三角形全等的书写步骤
1.准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
2.指明范围：写出在哪两个三角形中；
3.摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
4.写出结论：写出全等结论.
考点2. 全等三角形的实际应用
1. 可以利用三角形全等知识求物体的长度、高度、距离、面积等。
2. 利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：
（1）先明确实际问题；
（2）根据实际抽象出几何图形；
（3）经过分析，找出证明途径；
（4）书写证明过程.
【易错点提示】证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤
（1）确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），
（2）回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，
（3）正确地书写证明格式.
考点3.角的平分线（重要补充）
1. 角平分线的概念
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分线
2.用尺规作角的平分线方法.
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：
1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
2.分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.
3.画射线OC.
则：射线OC即为所求.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线.
证明：在△OMC与△ONC中，
∴△OMC≌△ONC (SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即OC是∠AOB的角平分线.
3. 角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言：
∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
4. 角的平分线判定定理
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：(1)点在角的内部；(2)该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.(证明两角相等).
几何符号语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC=BOC)
【方法技巧指导】三角形中作辅助线的常用方法
（1）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明.
（2）在用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再用外角定理.
（3）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.
（4）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
（5）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
（6）截长补短法作辅助线。
（7）延长已知边构造三角形.
（8）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
（9）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
（10）连接已知点，构造全等三角形。
（11）取线段中点构造全等三有形。
考点1. 全等三角形的判定与性质
【例题1】（2024江苏连云港）如图，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到，结合，利用即可证明；
（2）作的垂直平分线，分别交于点，连接即可．
【小问1详解】
证明：，
，．
在和中，，
；
【小问2详解】
解：是的垂直平分线，
，
由（1）的结论可知，,
又∵,
则,
∴
，
是的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形，
如图所示，菱形为所求．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键．
【变式练1】（2024成都一模）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
【答案】C
【解析】由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，
A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；
D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意．
【变式练2】（2024哈尔滨一模）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．30° B．25° C．35° D．65°
【答案】B
【解析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．
∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°．
【变式练3】（2024山东济宁一模）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 ，使△ABC≌△ADC．
【答案】AD＝AB（答案不唯一）．
【解析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
添加的条件是AD＝AB，
理由是：在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
考点2. 全等三角形的实际应用
【例题2】（2024云南）如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？
【答案】见解析
【解析】将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，AD⊥BC.
相等，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
AD=AD
AB=AC
∴ Rt△ADB ≌ Rt△ADC(HL).
∴BD=CD.
【变式练1】（2024四川攀枝花一模）为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案．
方案Ⅰ：如图，先在平地
上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，并使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，最后测出DC的长即可；
方案Ⅱ：如图，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行
C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
【答案】B
【解析】根据全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质求解即可．
方案Ⅰ：∵CO＝AO，DO＝BO，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD，
∴Ⅰ可行；
方案Ⅱ：∵DC＝DA，
∴△ACD是等腰三角形，
∵BE⊥AB，
∴AB＝BC，
∴Ⅱ可行，
综上所述，Ⅰ，Ⅱ都可行．
故选：B．
此题考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
考点1 全等三角形的判定与性质
1. （2024安徽省）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键．
利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．
【详解】解：A、连接，
∵，，，
∴，
∴
又∵点F为的中点
∴，故不符合题意；
B、连接，
∵，，，
∴，
∴，
又∵点F为的中点，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
∴，故不符合题意；
C、连接，
∵点F为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴， ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故不符合题意；
D、，无法得出题干结论，符合题意；故选：D．
2. （2024四川成都市）如图，，若，，则的度数为______．
【答案】##100度
【解析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可．
【详解】由，，
∴，
∵，
∴
3. （2024江苏盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．
若________，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析
【解析】【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【详解】解：选择①；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
选择②；
无法证明，
无法得出；
选择③；
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，即
4. （2024云南省）如图，在和中，，，．
求证：．
【答案】见解析
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
．
5. （2024四川乐山）知：如图，平分，．求证：．
【答案】见解析
【解析】利用证明，即可证明．
平分，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握、、、等全等三角形的判定方法是解题的关键．
6. （2024四川南充）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到，由，得到，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证．
【小问1详解】
证明：为的中点，
．
；
在和中，
；
【小问2详解】
证明：
垂直平分，
．
7. （2024四川内江）如图，点、、、在同一条直线上，，，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.
（1）先证明，再结合已知条件可得结论；
（2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论.
【小问1详解】
证明：∵
∴，即
∵，
∴
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴
8.（2024湖南长沙） 如图，点C在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键．
（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：在与中，
，
所以；
【小问2详解】
解：因为，，
所以，，
所以是等边三角形．
所以．
9. （2024江苏苏州） 如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是：
（1）直接利用证明即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：由作图知：．
在和中，
．
【小问2详解】
解：，，
．
又，
，．
，
，
．
考点2 全等三角形的实际应用
1．（2024 宁夏）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面积．
【答案】见解析
【解析】利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案；直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而得出答案．
（1）证明：在△ABC和△CDA中，
∵，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝2米，∠B＝30°，
∴AE＝1米，
∴S△ABC＝×3×1＝（平方米），
则S△CDA＝（平方米），
∴草坪造型的面积为：2×＝3（平方米）．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
考点1 全等三角形的判定与性质
1．（2023 凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
【答案】D
【解析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；
故选：D．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
2．（2023 重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 ．
【答案】3
【解析】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，进一步可得EF的长．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF＝BE，AE＝CF，
∵BE＝4，CF＝1，
∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，
∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案为：3．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．（2020 齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
【答案】AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．
【解析】利用全等三角形的判定方法添加条件．
∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
4．（2022 鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
【答案】C
【解析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．
过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
5．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析
【解析】（1）由题知，
选择的三个条件是：①②③；
或者选择的三个条件是：①③④．
证明：（2）当选择①②③时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
当选择①③④时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2022 长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B＝90°＝∠D，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC＝AB BC＝×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
7．（2020无锡）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
【答案】见解析。
【分析】（1）先由平行线的性质得∠B＝∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得∠AFB＝∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
∵，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
8．（2020 温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
【答案】见解析。
【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DCE；
（2）由全等三角形的性质可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴CE＝BC＝5，
∵∠ACE＝90°，
∴AE13．
9.（2021无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．
【答案】见解析。
【解析】（1）由已知条件，结合对顶角相的可以利用AAS判定△ABO≌△DCO；
（2）由等边对等角得结论．
证明：（1）∵∠AOB＝∠COD，
∠ABO＝∠DCO，
AB＝DC，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；
（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB．
10. 如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
11．（2022 北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS），
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由题意补全图形如下：
CD＝CH．
证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，
又∵CD＝CE，
∴CH＝CD＝CE．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．
考点2 全等三角形的实际应用
1. 如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？
【答案】见解析
【解析】要测量A、B间的距离，可用如下方法：
过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，
再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，
∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，∠ABC=∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
∴DE=BA．
答：测出DE的长就是A、B之间的距离．
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第四章 三角形及四边形
4.3 全等三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 全等三角形的判定与性质 ☆☆☆ 数学中考中，有关全等三角形的部分，每年考查1~2道题,分值为3~10分，通常以选择题、 解答题的形式考查。特别是在考查综合知识探索类实践类试题里渗透考查三角形全等。也有的省市在解答题专门命制证明三角形全等和求值的试题。
考点2 全等三角形的实际应用 ☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
考点1. 全等三角形的判定与性质
1．全等三角形的性质：全等三角形的对应___、对应_____相等．
结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
【温馨提醒】找两个全等三角形的对应元素常用方法有：
1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。
2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．
3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
2. 理解并牢记三角形全等的五种判定方法
判定方法1：“边边边”或“SSS”判定方法
___边对应相等的两个三角形全等。
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△ A′B′C′(SSS)
注意：作一个角等于已知角的方法
已知：∠AOB 求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.
作法：
1.以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
2.画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
3.以C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；
4.过点D′画射线O′B′，则∠A′0′B′=∠AOB.
思考：为什么这样作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？
在△OCD和△O′C′D′中，
∴△OCD ≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′.
判定方法2：“边角边”或“SAS”判定方法
___边和它们的___分别相等的两个三角形全等.
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(SAS)
判定方法3：“角边角”或“ASA”判定方法
有____角和它们_____对应相等的两个三角形全等.
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(ASA)
判定方法4：“角角边”或“AAS”判定方法
____角分别相等且其中一组等角的____相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
几何符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC≌△A′B′C′(AAS)
判定方法5：直角三角形“HL”判定方法
____边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何符号语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
则Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′（HL）
注意：证明两个三角形全等的书写步骤
1.准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
2.指明范围：写出在哪两个三角形中；
3.摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
4.写出结论：写出全等结论.
考点2. 全等三角形的实际应用
1. 可以利用三角形全等知识求物体的长度、高度、距离、面积等。
2. 利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：
（1）先明确实际问题；
（2）根据实际抽象出几何图形；
（3）经过分析，找出证明途径；
（4）书写证明过程.
【易错点提示】证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤
（1）确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），
（2）回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，
（3）正确地书写证明格式.
考点3.角的平分线（重要补充）
1. 角平分线的概念
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分线
2.用尺规作角的平分线方法.
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：
1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
2.分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.
3.画射线OC.
则：射线OC即为所求.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线.
证明：在△OMC与△ONC中，
∴△OMC≌△ONC (SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即OC是∠AOB的角平分线.
3. 角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言：
∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
4. 角的平分线判定定理
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：(1)点在角的内部；(2)该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.(证明两角相等).
几何符号语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC=BOC)
【方法技巧指导】三角形中作辅助线的常用方法
（1）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明.
（2）在用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再用外角定理.
（3）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.
（4）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
（5）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
（6）截长补短法作辅助线。
（7）延长已知边构造三角形.
（8）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
（9）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
（10）连接已知点，构造全等三角形。
（11）取线段中点构造全等三有形。
考点1. 全等三角形的判定与性质
【例题1】（2024江苏连云港）如图，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【变式练1】（2024成都一模）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
【变式练2】（2024哈尔滨一模）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．30° B．25° C．35° D．65°
【变式练3】（2024山东济宁一模）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件 ，使△ABC≌△ADC．
考点2. 全等三角形的实际应用
【例题2】（2024云南）如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？
【变式练1】（2024四川攀枝花一模）为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案．
方案Ⅰ：如图，先在平地
上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，并使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，最后测出DC的长即可；
方案Ⅱ：如图，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行
C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
考点1 全等三角形的判定与性质
1. （2024安徽省）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
2. （2024四川成都市）如图，，若，，则的度数为______．
3. （2024江苏盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．
若________，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
4. （2024云南省）如图，在和中，，，．
求证：．
5. （2024四川乐山）知：如图，平分，．求证：．
6. （2024四川南充）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
7. （2024四川内江）如图，点、、、在同一条直线上，，，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
8.（2024湖南长沙） 如图，点C在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
9. （2024江苏苏州） 如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
考点2 全等三角形的实际应用
1．（2024 宁夏）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面积．
考点1 全等三角形的判定与性质
1．（2023 凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
2．（2023 重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 ．
3．（2020 齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
4．（2022 鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
5．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
6．（2022 长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
7．（2020无锡）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
8．（2020 温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
9.（2021无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．
10. 如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
11．（2022 北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
考点2 全等三角形的实际应用
1. 如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？
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