安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高一上学期期中考试 数学（含答案）

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合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考
高一年级数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 已知，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
5. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）
A B. C. D.
6. 已知且，且，若函数为偶函数，则（）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，设，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A1 B. C. D. -
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 图中阴影部分用集合表示正确的是（）
A. B.
C. D.
10. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（）
A. B.
C. D.
11已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（）
A. 的值为2 B.
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”的否定是__________.
13. 若函数是R上的奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是__________.
14. 已知，是正实数，且关于，方程有解，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
16. 如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且．
（1）设米（），求出四边形的面积关于的表达式；
（2）为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值．
17. 幂函数为偶函数，.
（1）求的解析式；
（2）若对于恒成立，求取值范围.
18. 已知函数，其中是奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断的单调性并用定义证明；
（3）当时，恒成立，求实数t的取值范围.
19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”．
（1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；
（2）若集合是“等差集”，求m的值；
（3）已知正整数，证明：不是“等差集”．
合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考
高一年级数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.
【答案】C
2.
【答案】B
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】B
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】AB
10
【答案】AD
11.
【答案】ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】，
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据并集和补集的概念计算；
（2）根据，可以知道两个集合数轴上表示，要有公共部分，比较端点即可.
【小问1详解】
因为
所以，所以或
【小问2详解】
因为，且，即集合数轴表示要有公共部分，
所以，即的取值范围是.
16.
【解析】
【分析】（1）根据矩形与三角形的面积公式计算，即可;
（2）解一元二次不等式即可.
【小问1详解】
设米，则，
，，
即；
【小问2详解】
若绿地面积不小于空地面积的一半，则，即
解得，故AE的长的最大值为100米.
17.
【解析】
【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可；
（2）由题意得对于恒成立，再分类讨论，结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
因为幂函数为偶函数，
∴，解得或，
当时，，定义域为，
，所以为偶函数，符合题意；
当时，，定义域为，
，所以为奇函数，不合题意，
综上，
【小问2详解】
因为，
所以对于恒成立，即对于恒成立，
当时，得恒成立，则；
当时，得，
，当且仅当时等号成立，故，
当时，得，
，
当且仅当时等号成立，故，
综上，.
18.
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇函数，满足，列式求解；
（2）设和上的任意，，且，分析的正负证明即可；
（3）根据函数是奇函数，结合单调性化简不等式得，再讨论得到取值，求解的取值范围.
小问1详解】
函数的定义域为，因为函数是奇函数，所以，
，则，则，
故.
小问2详解】
在和上为减函数，证明见解析
设上的任意，，且，
由；
，
，，则.
故，在上为减函数.
当时，，，
则，在上也为减函数.
综上有在和上为减函数.
【小问3详解】
，由（2）可得在和上是严格减函数，
且当时，；当时，；
由可得：，，
当时，，
当时，，所以，即，又，所以；
当时，，则，而，，则满足题意；
函数的定义域，则时不符，舍去.
综上.
19.
【解析】
【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；
（2）根据等差集定义应用，即逐个计算判断即可；
（3）应用反证法证明集合不是等差集.
【小问1详解】
因为集合，，存在3个不同的元素a，b，，使得，
则或或.
【小问2详解】
因为集合是“等差集”，
所以或或,
计算可得或或或，
又因为正整数,所以.
【小问3详解】
假设是“等差集”，
则存在,成立，
化简可得,
因为,所以,
所以与集合的互异性矛盾，
所以不是“等差集”．
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