2024-2025学年人教版数学七年级数学期末培优专题——数轴上动点问题（含答案）

2024-2025学年人教版数学七年级数学期末培优专题——数轴上动点问题
1．已知：数轴上点A，B，C表示的数分别为a，b，c，点O为原点，且a，b，c满足
(1)直接写出a，b，c的值；
(2)如图1，若点M从点A出发以每秒1个单位的速度向右运动，点N从点B出发以每秒3个单位的速度向右运动，点R从点C出发以每秒2个单位的速度向右运动，点M．N．R同时出发，设运动的时间为t秒．
①t为何值时，M，N重合，此时表示的数为多少？
②t为何值时，点N到点M，R的距离相等．
2．已知，直线上线段、线段（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）．
(1)若线段，则线段 ；
(2)如图2，点P、Q分别为、的中点，求线段的长度；
(3)若线段从点B开始以个单位秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以个单位秒的速度向右运动，点N是线段的中点，若，求线段运动的时间．
3．数轴上A，B，C三点所代表的数分别为，10，26，点P从点A开始以每秒3个单位长度的速度前往目的地点C，到达点C后立即返回．点Q从点B开始，以每秒1个单位长度的速度前往目的地点C，当点Q到达点C后，点P随之停止运动，P、Q两点同时出发．
(1)当运动时间秒时，线段的长度为______，此时点P在数轴上所对应的数为______；线段的长度为______，此时点Q在数轴上所对应的数为______；
(2)当运动时间t为多少秒时，点P与点Q相距6个单位长度？
4．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是16．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶．
(1)若点到的距离相等，则距离______，所表示的数为______；
(2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？
(3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上的两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值，若不正确，请说明理由．
5．数轴上点A与点B之间的距离记为：AB．如图，在数轴上A，B，C三点对应的数分别为，，，已知，，且点A，点B到点C的距离相等，即．
(1)填空：点B对应的数为_______；
(2)若点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点N从点B出发，以2个单位/秒的速度向右移动，在点M，N移动的同时点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右移动，设移动时间为t秒．
①若点P到A的距离是点P到B的距离的两倍，我们就称点P是的“幸福点”．当点P是的“幸福点”时，求此时点P对应的数；
②在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值，请分析并说明理由．
6．阅读理解：若为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们称点是的好点．例如，如图1，点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点不是的好点，但点是的好点．
知识运用：
(1)如图2，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为5．
①在数和5之间，数______所表示点是的好点；
②在数轴上，数______所表示的点是好点．
(2)如图3，为数轴上两点，点表示数为，点表示数为50，现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位每秒的速度向右运动，到点停止，运动时间为秒，当为何值时，和中恰有一个点为其余两个点的好点．
7．如图1，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，O为原点，且a，b满足．
(1)a=_____，b=______；
(2)点P是数轴上一个动点，其表示的数是x，当时，求x；
(3)如图2，E，F为线段上两点，且满足，，动点M从点A，动点N从点F同时出发，分别以2个单位/秒，1个单位/秒的速度沿直线向右运动，是否存在某个时刻，点M和点N相距一个单位？若存在，求此时点M表示的数；若不存在，请说明理由．
8．【知识回顾】我们知道：数轴上某点表示的数是5，此点向右平移2个单位长度，表示的数是7；此点向左平移2个单位长度，表示的数是3．
(1)若数轴上点A表示的数是，则在数轴上距离A点5个单位长度的点表示的数是__________．
(2)若数轴上对应点A表示数a，点A向右平移5个单位后的对应点表示的数就是__________，A点向左平移2个单位后的对应点表示的数是___________．（用字母表示）
(3)假如在数轴上有两个点M，N，两点表示的数是，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移，平移后，经过t秒后，M和N两点表示的数是____________和____________．（用字母t表示）
(4)在（3）条件下，当t为何值时，N点追上M点．
9．问题情景：“综合与实践”课上，老师提出如下问题，如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

(1)发现问题：直接写出数轴上点B表示数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）；
(2)拓展延伸：动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为4个单位长度？
10．如图1，已知点在以为原点的数轴上表示的数分别为，且满足，动点从点出发沿射线运动．
(1)点表示的数是______，点表示的数是______；
(2)若分别是的中点，在点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长度；
(3)如图2，当点运动到点时，线段绕点以的速度顺时针旋转一周．在此过程中，当线段开始旋转时，动点也同时从点出发，以2个单位长度的速度沿射线运动．请直接判断：在线段旋转过程中，点与点能相遇吗？若不能，试改变点的运动速度，使点与点能够相遇，并求出点的速度．
11．如图所示，在数轴上原点表示数0，点原点的左侧，所表示的数是；点在原点的右侧，所表示的数是，并且满足．
(1)点表示的数为_______，点表示的数为______；
(2)若点从点出发沿数轴向右运动，速度为每秒个单位长度；点从点出发沿数轴向左运动，速度为每秒个单位长度．、两点同时运动，设两点的运动时间为秒，当为何值时，、两点到原点的距离相等．
(3)在（2）的条件下，若点运动到点后按原路原速立即返回，到达点停止运动，点运动到点后，立即以原路原速返回，到达点停止运动，在点、运动过程中，当、两点的距离为个单位长度时，请直接写出的值．
12．对数轴上的点和线段，给出如下定义：若点是线段的中点，点是线段的中点，则称线段的长度为线段与的“中距离”． 已知数轴上，线段（点A在点的左侧），（点在点的左侧）．

(1)若点的位置如图1所示，则线段的中点表示的数是 ，线段的中点表示的数是 ，线段与的“中距离”为 ；
(2)在图2中，线段在数轴上同时向数轴正方向运动，点A从表示的点出发，点从表示的点出发，线段的速度为每秒1个单位长度，线段的速度为每秒2个单位长度． 设运动时间为．
①当时，线段与的“中距离”为 ；
②当线段与的“中距离”恰好等于线段的长度的2倍时，求的值．
13．已知代数式是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b．如图，在数轴上有点A，B，C三个点，且点A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c．已知．
(1)求a，b，c的值；
(2)若动点P，Q分别从C，O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段的中点，点为线段的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，求的值．
(3)若动点P，Q分别自A，B出发的同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段上一点（点T不与点M，N重合），在运动的过程中，若满足（点T不与点P重合），求出此时线段的长度．
14．如图1，已知数轴上有三点、、，，点对应的数是40．

(1)若，求点C到原点的距离；
(2)如图2，在（1）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒，经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；
(3)如图3，在（1）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段的中点，点N为线段的中点，证明的值不变．若其它条件不变，将R的速度改为3个单位长度/秒，10秒后的值为 ．
15．已知，点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为10，，点C是数轴上原点左侧一点．
(1)若．
①则点B表示的数是______，点C表示的数是______；
②点P，Q同时分别从点A、C出发向右运动，若点Q的速度比点P的速度的2倍少3个单位长度，运动3秒时，点O是线段的中点，求点P的速度．
(2)点P、Q、R同时分别从点A、B、C出发向右运动，点P的速度为1个单位长度/秒，点Q的速度为3个单位长度/秒，点R的速度为3个单位长度/秒．若从线段QR的右端点到达原点O起，直至线段的左端点与点P重叠止，共用时秒，请直接写出C点表示的数．
16．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点表示10，点表示20，我们称点A和点在数轴上相距32个长度单位．动点从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到终点时停止运动：点出发同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点A时停止运动．设运动的时间为秒，问：
(1)秒时，点在“折线数轴”上所对应的数是______；点到点的距离是______个单位长度；
(2)动点从点运动至A点需要______秒；
(3)当为______时，两点在数轴上相距的长度为3个单位？
17．已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且满足．
(1)求点A、B两点对应的有理数是______、______；
(2)若点C到点A的距离正好是6，求点C所表示的数应该是______；
(3)若点P所表示的数为8，
①现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过多少秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍？
②现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向右运动，若运动的时间为t秒，的值不随时间t的变化而改变，求m的值．
18．如图，点A表示的数是a，点B表示的数是b，满足，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为（）秒，
(1)直接写____，____，
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，
①问点P运动多少秒时追上点Q？
②问点P运动多少秒时使得？
(3)点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得的值为定值，若存在请求出m值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．（1）∵．
∴，
∴；
（2）①根据题意得，，
解得，，
此时，点表示的数是；
②由题意得，，或，
解得，，或，
∴t为或时，点N到点M、R的距离相等．
2．（1）解：①当点C在点B的左侧时，
∵，
∴，
∴；
②当点C在点B的右侧时，
∵，
∴，
∴线段或9；
（2）解：设，
则，
∵点P、Q分别为、的中点，
∴，，
∴；
（3）解：线段运动的时间为t，
则，
∴或，，
∵点N是线段的中点，
∴，
∵，
∴或，
解得：或．
线段运动的时间为或．
3．（1），
点P在数轴上所对应的数为：，
，
点Q在数轴上所对应的数为：，
故答案为：9，，3，13；
（2）点P从A到C所用的时间：（秒），
点Q从B到C所用的时间：（秒），
当时，点P对应的数：，
点Q对应的数：，
∴，
即：，
解得：，（舍去）；
当时，点P对应的数：，
点Q对应的数：，
∴，
即：，
解得：，（舍去），
∴当运动时间t为7秒或14.5秒时，点P与点Q相距6个单位长度．
4．（1）解：由题意可知：，，
此时刻快车头与慢车头之间相距单位长度，
则距离，
所表示的数为4，
（2）
（秒．
或（秒
答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度
（3）结论正确．
理由：，
当在之间时，是定值4，
（秒，
此时（单位长度）．
5．（1）解：∵，
∴是的中点，
∴，
解得：，
（2）解：移动时间为秒时，点表示的数：，点表示的数为：，点表示的数为：，
①由题意得：，
∵，，
∴，
解得：，
此时：对应的数为；
②当时，为定值，当时，为定值；
理由如下：
当、相遇时，，解得：．
当时：，它是定值；
，它不是定值；
当时：，它不是定值；
，它是定值．
综上所述，当时，为定值，当时，为定值．
6．（1）解：①设所求数为x，
由题意得：，
解得：，
即数3所表示的点是的好点；
②设所求的数为y，
当y在和5之间时，由题意得：，
解得：；
当y在左侧时，由题意得：，
解得：，
即数1或所表示的点是好点，
（2）解：∵从点出发，以3个单位每秒的速度向右运动，
∴点P表示的数为，
分四种情况：
①P是的好点，
由题意得：，
解得：；
②P是的好点，
由题意得：，
解得：，
③E是的好点．
由题意得：，
解得：，
④A为的好点，
由题意得：，
解得：，
综上可知，当或或时，P、A和E中恰有一个点为其余两个点的好点．
7．（1）解：∵，
∴，，
∴，，
（2）解：当点P在A、B两点之间时，
∵，，，
∴，
解得，
当P点在B点右边时，
∵，，，
∴，
解得，
∴当时，或；
（3）解：存在，
∵，，，
∴，，
∴，
设秒时，点和点相距一个单位，
如图，当点在点的左侧时，
由得
解得，
∴点表示的数为，
如图，当点在点的右侧时，
由得
解得，
∴点表示的数为，
综上所述∶当秒或秒时，点和点相距一个单位，秒时，点表示的数为，秒时，点表示的数为．
8．（1）解：当点在点左侧时，距离点A5个单位长度的点表示的数是；当点在点右侧时，距离点A5个单位长度的点表示的数是；
（2）解：数轴上对应点A表示数a，点A向右平移5个单位后的对应点表示的数就是，A点向左平移2个单位后的对应点表示的数是．
（3）解：∵点M，N表示的数是分别为，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移， 秒过后，点M运动的路程为，点N运动的路程为，结合M起始数为，N起始数为6，
故运动秒后点M表示的数，点N表示的数为，
（4）解：根据秒过后，点M运动的路程为，点N运动的路程为，结合题意，得到方程，
解得，
9．（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，
∴，
则，
∵点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为；
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P运动t秒的长度为，
∴P所表示的数为：；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得，解得，
答：当点P运动秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为4个单位长度，
当P不超过Q，则，
解得；
当P超过Q，则，
解得；
答：当点P运动2或秒时，点P与点Q间的距离为4个单位长度．
10．（1）∵，
∴，
∴．
（2）线段的长度不发生变化．
①当点P在线段上时，
∵，
∴；
②当点P在点A的左边时，
∵，
∴．
综上所述：线段的长度不发生变化，且的长度为7．
（3）不会相遇．
当旋转时，此时点P运动到C点，点P的运动时间为（秒）．
∵，
∴6，
∴点Q的运动速度为（单位长度/秒）；
当旋转时，此时点P运动到A点，点P的运动时间为（秒）．
∵，
∴点Q的运动速度为（单位长度/秒）．
∴当点Q的运动速度为或单位长度/秒时，P、Q能够相遇．
11．（1）∵，
∴，，
∴，，
∴点表示的数为，点表示的数为，
（2）∵点从点出发沿数轴向右运动，速度为每秒个单位长度；；点从点出发沿数轴向左运动，速度为每秒个单位长度，
∴，
∵，
∴点从点到时，需要秒；点从点到时，需要秒
∴当时，，
∴
∴；
当时，
∴；
当时，，
∴（不符合题意）；
综上所述，当或时、两点到原点的距离相等．
（3）由（2）得，，
当、还没有相遇，如下图：
∴
∴
∴
秒；
当、第一次相遇，如下图：
∴
∴
∴秒；
当点返回时，如下图：
∴，
∵
∴
∴秒；
当点回到点，且点在上，如下图：
∴点运动秒
∴当时，点运动秒
∴秒
综上所述，当秒或秒或秒或秒时，、两点的距离为个单位长度．
12．（1）解：（点A在点B的左侧），点A表示2，
∴点B表示的数为4，
∴线段的中点表示的数为，
由题意，线段的中点表示的数为，
∴线段与的“中距离”为，
（2）解： ①由题意得，点A表示的数为,点B表示的数为,
点E表示的数为,点F表示的数为，
当，线段同时都向数轴正方向运动，线段的速度为每秒1个单位长度，线段的速度为每秒2个单位长度，
点A表示的数为，点B表示的数为1，点E表示的数为3，点F表示的数为7，
∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，
∴线段与的“中距离”为；
② 因为线段（点在点的左侧），（点在点的左侧），
所以当点与表示的点重合，点与表示的点重合时，的中点表示的数是，的中点表示的数是．
根据题意得，点的运动速度为每秒1个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度，
所以运动过程中，点始终在点的右边，
当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为．
当线段与的“中距离”时，
即．
解得．
13．（1）解： 是关于的二次多项式，二次项的系数为，
，；
，，；
（2）解：设点的出发时间为秒，由题意得：
，
；
（3）解：设点的出发时间为秒，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，，，
，
，
或，
或．
14．（1）解：，，
，
点对应40，
点对应的数为：，即点到原点的距离为80；
（2）解：设点速度为单位长度秒，依题意有
，
解得，
．
当点运动到点右侧时，
，
解得（舍去）．
答：动点的速度为7个单位长度秒；
（3）证明：①，
，
对应的数是，
对应的数是，
，
．
故的值不变．
②将的速度改为3个单位长度秒，
，
，
对应的数是，
对应的数是，
，
．
15．（1）解：①点A表示的数为10，，
点B表示的数是，
，点C是数轴上原点左侧一点，
点C表示的数是，
故答案为：，；
②设点P的速度是每秒v个单位长度，则点Q的速度是每秒个单位长度，
运动3秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
点O是线段的中点，
，
解得：，
所以点P的速度是个单位长度/秒；
（2）解：设点C表示的数是，由题意得：若从线段QR的右端点到达原点O起，即运动秒起，线段的左端点与点P重叠即点R追上点P止，
从开始运动到追上总运动时间为秒，
，
解得：，
点C表示的数是．
16．（1）解： 秒时，，
则P点对应的数为，Q点对应的数为，两相距为；
（2）解：动点从点运动至A点 时，所需时间：（秒 ) ，
（3）解：由题可知，设P、Q 两点相遇在线段上于M 处，设，
则，
解得，
此时M 所对应的数为，当两点相距3个单位时，两点均在上，
①相遇前两点相距3个单位时，
，
解得：；
②相遇后两点相距3个单位时，
解得：；
17．（1）解：∵，
∴且，
解得：，
点A、B两点对应的有理数分别是；
（2）设点C所表示的数是c，
根据题意的：，
即或，
解得：或，
∴点C所表示的数应该是或5．
（3）①设运动时间为秒，则运动后P对应的数为，
∴，
当，
∴，
∴或，
解得：或．
②当运动时间为t秒时，点P所表示的数为，
∴，，
∴．
又∵的值不随时间t的变化而改变，
∴，
解得：，
∴m的值为2．
18．（1）解：∵，
∴，
解得：，
（2）解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为，
点P表示的数为，
①由题意可得，
解得：，
∴点P运动9秒时追上点Q；
②由题可得：，
即，
解得：，
∴点P运动7秒或者11秒时使得；
（3）解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为，
点P表示的数为，
点R表示的数为，
∴，，
∴，
∵的值为定值，
∴，
解得：，
∴存在常数使得的值为定值．