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专题9数列不等式（有解问题)---自检定时练--详解版
单选题
1.已知数列的通项公式，设的前项的和为，则使成立的自然数（ ）
A．有最大值63 B．有最小值63 C．有最大值31 D．有最小值31
【答案】B
【分析】数列求和后解不等式
【详解】由得
由得
则，解得
故有最小值63
故选：B
2．设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（ ）
A．11 B．12 C．20 D．21
【答案】D
【分析】依题意得，再由列不等式求解即可．
【详解】设等差数列的公差为d，
由，得，得，由于，得，
由，得，
得，
得，
得，
得，且，
则n的最大值为21，
故选：D
3.已知为数列的前n项和，，，若关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先有与的关系推得，再用累乘法求出，代入，结合题意即可求解
【详解】因为，，
， ，
，
因此，
由得，解得
因为关于正整数的解集中的整数解有两个，可知，
因此， 所以，
故选：A
4.已知等差数列的前项和为，且，数列满足，若，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知及等差中项的性质求，即可求通项公式，讨论求通项公式，结合已知不等关系求n的最小值.
【详解】由题设，，且，
所以，则，可得，
所以，
由，当时，
两式相减得：，则，显然也满足，
综上，，由，则，可得的最小值为.
故选：C.
5.已知数列前项和满足：，数列前项和满足：，记，则使得值不超过2022的项的个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】根据数列前项和与的关系，可得；同理前项和与的关系可得，则可得，判断其单调性，即可求得使得值不超过2022的项的个数.
【详解】解：因为，当时，，
当时，，则符合上式，所以；
又，当时，，所以，
当时，，则，所以是以为首项，公比的等比数列，
所以，
则
所以，即，又递增，递增，所以递增
又，所以
故使得值不超过2022的项的个数为10.
故选：C.
6.设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】D
【分析】由已知可得是常数列可得的通项公式及的通项公式，运用分离参数求最值可得求（），结合换元法转化为求（）的最小值即可.
【详解】由已知，所以，
所以数列是常数列.
又，所以，即，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，故，
由存在，使得成立可知，
存在，使得成立，即，
设，则，从而.
记（），
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，，
所以的最小值是8.
故选：D.
多选题
7.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．任意的，
C．存在，使得
D．数列有最大值，无最小值
【答案】ABD
【分析】根据题设数列递推关系求数列的前两项判断A；由且判断C；根据A、C分析判断B；作差法研究数列单调性，即可判断D.
【详解】令，则，所以，
令，得，又，可得，A正确；
由，，所以，C错误，
由，且，B正确，
由，得，所以
，即，
所以随的增大而减小，故为正项单调递减的无穷数列，且，
故数列有最大值2，无最小值，D正确；
故选：ABD
8.设分别是等差数列和等比数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则使的最大正整数的值为15
B．若（为常数），则必有
C．必为等差数列
D．必为等比数列
【答案】BCD
【分析】A由已知可得，且，再应用等差数列前n项和公式及得，即可判断；B由等比数列前n项和公式有，即可判断；C、D根据等差、等比数列片段和的性质直接判断.
【详解】令的公差为，则，
所以，故，且，
使，则，
而，即，故，
所以使的最大正整数的值为30，A错；
令的公比为且，则（公比不能为1），
所以，即，B对；
根据等差、等比数列片段和的性质知：必为等差数列，必为等比数列，C、D对.
故选：BCD
填空题
9.已知等差数列的首项为，公差为-4，其前项和为，若存在，使得，则实数的最小值为 ．
【答案】15
【分析】利用等差数列的前项和公式可得的解析式，结合基本不等式求解实数的最小值即可.
【详解】解：由题意得，
即，当且仅当时取等号，
因为，又 ，
所以实数的最小值为.
故答案为：15.
10．已知等差数列的前项和为，且，若，数列的前项积为，则使的最大整数为 ．
【答案】21
【分析】
先判断出，从而得到，，，故可判断与1的大小关系.
【详解】设等差数列的公差为，则，
故为各项为正数的等比数列，
因为，故，，故，
故，，，
故，，
所以，
，
，
所以，即使的最大整数为.
故答案为：.
解答题
11.已知等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．
【答案】(1)
(2)11
【分析】（1）由等差数列基本量的关系列方程组即可求解.
（2）首先得，由等差数列求和公式求，列不等式组即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，，
故．
（2）由（1）可得，则，
所以，则数列是等差数列，
故．
因为，所以，所以，
所以或．
因为，所以的最小值是11．
12.已知数列满足，，．
(1)证明：是等差数列；
(2)记数列的前项和为，求最小的正整数，使得．
【答案】(1)证明见解析
(2)7
【分析】（1）由题意得，利用等差数列的定义，即可证明结论；
（2）由（1）得，利用累加法可得，利用裂项相消法求和可得，求解，即可得出答案．
【详解】（1）证明：，，
又，，则，
数列是首项为5，公差为2的等差数列；
（2）由（1）得数列是首项为5，公差为2的等差数列，则，
当时，，，，，，
由累加法得，则，
又当时，符合题意，
，则，
数列的前项和为，
，即，即，解得（不合题意，舍去）或，
最小的正整数为7．
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专题9数列不等式（有解问题)---自检定时练--学生版
【1】知识清单
①有解问题的等价转化 ②数列求和的多种方法
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.已知数列的通项公式，设的前项的和为，则使成立的自然数（ ）
A．有最大值63 B．有最小值63 C．有最大值31 D．有最小值31
2．设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（ ）
A．11 B．12 C．20 D．21
3.已知为数列的前n项和，，，若关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.已知等差数列的前项和为，且，数列满足，若，则的最小值为
A． B． C． D．
5.已知数列前项和满足：，数列前项和满足：，记，则使得值不超过2022的项的个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6.设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
多选题
7.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．任意的，
C．存在，使得
D．数列有最大值，无最小值
8.设分别是等差数列和等比数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则使的最大正整数的值为15
B．若（为常数），则必有
C．必为等差数列
D．必为等比数列
填空题
9.已知等差数列的首项为，公差为-4，其前项和为，若存在，使得，则实数的最小值为 ．
10．已知等差数列的前项和为，且，若，数列的前项积为，则使的最大整数为 ．
解答题
11.已知等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．
12.已知数列满足，，．
(1)证明：是等差数列；
(2)记数列的前项和为，求最小的正整数，使得．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C C D ABD BCD
9.【答案】15
10.【答案】21
11.【答案】(1) (2)11
12.【答案】(1)证明见解析 (2)7
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