上海市桃浦中学2025届高三上学期阶段性评估（9月）数学试卷
1．（2024高三上·上海市月考）设集合，，则 ．
2．（2024高三上·上海市月考）不等式的解集是 ．
3．（2024高三上·上海市月考）数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是 ．
4．（2024高三上·上海市月考）函数的最大值等于 .
5．（2024高三上·上海市月考）函数的最小正周期为 ．
6．（2024高三上·上海市月考）若复数满足（为虚数单位），则 .
7．（2024高三上·上海市月考）直线，，则直线与的夹角为 ．
8．（2024高三上·上海市月考）的二项展开式中的常数项是 (用数值作答)．
9．（2024高三上·上海市月考）圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于 ．
10．（2024高三上·上海市月考）从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有 种.（结果用数值表示）
11．（2024高三上·上海市月考）在中，，且在方向上的数量投影是-2，则的最小值为 .
12．（2024高三上·上海市月考）设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为 .
13．（2024高三上·上海市月考）已知 ： ， ： 若 是 的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024高三上·上海市月考）某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人.
A．16 B．18 C．20 D．24
15．（2024高三上·上海市月考）已知，且，则的值为
A． B． C． D．
16．（2024高三上·上海市月考）已知集合，若对于任意实数对 ，存在 ，使得 成立，则称集合 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．①③④
17．（2024高三上·上海市月考）设集合 ， .
（1）若 ，试判断集合 与 的关系；
（2）若 ，求实数 的取值集合.
18．（2024高三上·上海市月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，
AD=2，PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.
19．（2024高三上·上海市月考）在中，角，，所对的边长分别为，，，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
20．（2024高三上·上海市月考）已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；
（3）过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．（2024高三上·上海市月考）已知函数．
（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；
（2）如果当时，的值域是，求与的值；
（3）对任意的，，是否存在，使得，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由，解得，所以.
由，解得，所以.
所以.
故填：
【分析】解一元一次不等式和绝对值不等式求得集合，再结合补集和交集的运算法则，从而求得.
2．【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：，解得或，
所以，不等式的解集为.
故填：.
【分析】根据分式不等式的求解方法，再结合转化的方法得出不等式的解集.
3．【答案】
【知识点】归纳推理；数列的通项公式
【解析】【解答】解：观察数列的前四项，后一项比前一项多4，所以，公差为4，
又因为首项为1，代入等差数列的通项公式可得，
所以，数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是.
故填：.
【分析】观察数列前几项，进而得到公差，再由等差基本量结合等差数列的通项公式，从而得出数列1，5，9，13，…的一个通项公式.
4．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：∵函数，
∴函数在上是增函数，故当时，函数取得最大值为.
故填：．
【分析】利用二次函数在闭区间上的单调性，从而求出二次函数在闭区间上的最大值.
5．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：因为，
因此，该函数的最小正周期为.
故填：.
【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的最小正周期公式可求得原函数的最小正周期.
6．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
故.
故填：.
【分析】利用复数的混合运算法则得出复数z，再结合复数求模公式，从而计算出复数的模.
7．【答案】
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】因为中 ，而平行y轴，
所以，直线与的夹角为.
【分析】利用直线方程变形得出直线的斜率，从而得出直线的倾斜角，再结合两直线平行斜率相等的性质和两直线夹角求解方法，从而作差得出直线与的夹角.
8．【答案】3003
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为展开式的通项公式为，
令，解得，
则展开式中的常数项为.
故填：.
【分析】根据题意，由二项式定理得出展开式的通项公式，再结合常数项的定义得出r的值，从而由组合数公式得出的二项展开式中的常数项.
9．【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，则，
所以，圆锥的高为，
所以，圆锥的体积为.
故填：.
【分析】利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理得出圆锥的高，再结合圆锥体积公式得出圆锥的体积.
10．【答案】96
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），
其中甲不参加测温的分配方案有种.
故填：96.
【分析】若甲不参与测温，可先在其他4人中先选取一人进行测温工作，再从4人中选取3人参与其他工作，再结合分步乘法计数原理和组合数公式、排列数公式，进而得出甲不参加测温的分配方案种数.
11．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题知在方向上的数量投影是-2，
，
，，即，
记，则，
若求的最小值即求的最小值，
过点作的垂线交于点，此时最小，如图所示：
.
故填：.
【分析】根据在方向上的数量投影，先求出，取，则，再结合三角形法则，得出求的最小值，即求的最小值，再结合正弦函数的定义，从而过点作的垂线，即可求得的最小值.
12．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，令，解得或，
不妨设，作图如下：
又因为直线的斜率为，数形结合可知，要满足题意，；
且为方程，即的两根，
当时，，则，
故；
为方程，即的两根，
当时，，则，
故；
则，
令，由对勾函数单调性可知在上单调递减，
又因为，故，
即的取值范围为.
故填：.
【分析】根据题意，利用韦达定理，求得，和的关系，再由数形结合得出实数的取值范围，再结合分类讨论的方法和判别式法以及韦达定理，从而得出，将目标式转化为关于的函数，令，再借助对勾函数的单调性求值域的方法，从而得出的取值范围.
13．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 得 ，由 不能退出 ，由 能推出 ，故
故答案为：B
【分析】根据 是 的必要非充分条件，转化为不等式相应集合的包含关系，即可求出实数a的取值范围.
14．【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为，
所以，该高中共有学生数为，解得，
用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，
所以，高三年级应该抽取人.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可求得抽样比，再由抽样比求出高三年级应该抽取的学生人数.
15．【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 根据题意，由于，且有，
则，所以，由二倍角公式可知 .
故选：C.
【分析】根据题意结合同角三角函数基本关系式和二倍角的正切公式，进而得出的值.
16．【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于①，若，，易知，，
且同号或异号，显然不成立，即①不符合题意；
不妨设，，则，
对于②，如图所示，
显然对于上任意一点A，在上总存在点B，满足，即②符合题意；
对于③，如图所示，
显然对于上任意一点A，在上总存在点B，满足，即③符合题意；
对于④，注意到对于上点，此时与垂直的过原点的直线为轴，
轴与无交点，即上不存在点B，满足，即④不符合题意.
故选：B.
【分析】根据“垂直对点集”的定义，再结合数量积的坐标表示判断出序号①；利用函数的图象和两线段垂直，从而判断出序号②；利用函数的图象和两线段垂直，从而判断出序号③；利用上点，从而得出此时与垂直的过原点的直线为轴，因为轴与无交点，即上不存在点B，满足，从而判断出序号④，进而找出满足“垂直对点集”的序号.
17．【答案】（1）当 时， ，
因为 ，
所以B A.
（2）因为集合 至多有一个元素，由 ，所以
当 时， ；
当 时，所以 ；
当 时，所以 .
所以 .
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用a的值结合一元一次方程求解集的方法，从而求出集合B，再利用一元二次方程求解集的方法，从而求出集合A，再利用集合间的关系判断，从而判断出集合A和集合B的关系。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值集合。
18．【答案】解：（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.
因为PD=，CD=2，
所以，三角形PCD的面积为.
（2）如图所示：
取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，
从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角 ，
在中，由EF=、AF=、AE=2，
则是等腰直角三角形，所以∠AEF=，
因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.
【知识点】异面直线所成的角；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合线面垂直的定义得出线线垂直，再结合勾股定理得出CD的长，从而由三角形的面积公式得出三角形的面积.
(2)利用已知条件结合中点作中位线的方法，再结合中位线的性质得出线线平行，再利用异面直线所成角的方法得出∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角，再由等腰三角形的定义判断出三角形是等腰直角三角形，从而得出异面直线BC与AE所成的角的大小.
19．【答案】解：（1）∵，∴，∴，，
又0＜B＜π，∴，
∴，
∴．
（2）∵b＝2，b2＝a2+c2﹣2ac cosB，
∴，即4＝a2+c2﹣ac，
∴4＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，即ac≤4，当且仅当a＝c＝2时等号成立．
∴，
当a＝b＝c＝2时，．
【知识点】基本不等式；平面向量数量积的坐标表示；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示和辅助角公式得出，再结合三角形中角B的取值范围和不等式的基本性质，从而得出角B的值.
（2）利用余弦定理和基本不等式求最值 方法，从而得出ac的最小值，再利用三角形的面积计算公式即可得出三角形面积的最大值.
20．【答案】（1）解：因为，关于轴对称，
根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有成立.
若在椭圆上，则有，
联立可得，，不合题意，舍去.
所以，在椭圆上，即有，所以，
代入，可得，
所以，椭圆C的方程为.
（2）解：要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.
由，，可得直线方程为，
过点作直线，使得，
则到直线的距离即等于直线到直线的距离，
显然，当直线与椭圆相切时，距离为最大或最小，
则设直线方程为，
联立直线与椭圆的方程可得，.
因为直线与椭圆相切，
则，
解得，，则当时，
此时直线方程为与直线距离最大，
此时，
又因为，
所以，三角形面积的最大值为.
（3）解：设，，假设在x轴上存在一点，
使得、为邻边的平行四边形为菱形，
因为直线过点，则直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆的方程可得，，
恒成立，
且，，，，
所以，
则的中点坐标为，
所以，线段的垂直平分线方程为，
显然该直线过点，
令，则，即.
因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，，所以，则，
所以，即实数m的取值范围为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）观察结合两点关于y轴对称的方法得出两点都在椭圆上，即满足椭圆方程，若在椭圆上，代入椭圆标准方程，联立方程组解得的值，从而得出椭圆的标准方程.
（2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.当过点的直线与平行，且与椭圆相切时，从而取得最大或最小值，再联立直线和椭圆的方程，进而结合直线与椭圆相切的判断方法和判别式法得出直线方程为与直线距离的最大值，再结合两点距离公式和三角形的面积公式，进而得出m的值，进而得出三角形面积的最大值.
（3）设，，假设在x轴上存在一点，使得、为邻边的平行四边形为菱形，再利用直线过点，从而设出直线的方程为，再与椭圆方程联立，根据判别式法和韦达定理以及中点的公式，从而求出的中点坐标，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出线段的垂直平分线的方程，再令，即可求得的值，再根据基本不等式求最值的方法得出实数m的取值范围.
（1）因为，关于轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有成立.
若在椭圆上，则有.
联立可得，，不合题意，舍去.
所以，在椭圆上，即有，所以，代入，可得.
所以，椭圆C的方程为.
（2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.
由，，可得直线方程为.
过点作直线，使得，则到直线的距离即等于直线到直线的距离.
显然，当直线与椭圆相切时，距离为最大或最小.
则设直线方程为，联立直线与椭圆的方程
可得，.
因为，直线与椭圆相切，则，
解得，.
则当时，此时直线方程为，与直线距离最大，此时.
又，
所以面积的最大值为.
（3）设，，假设在x轴上存在一点，使得、为邻边的平行四边形为菱形.
因为直线过点，则直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆的方程可得，，
恒成立，
且，，，，
所以，
则的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，
显然该直线过点.
令，则，即.
因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立.
所以，，所以，则，
所以.即实数m的取值范围为.
21．【答案】解：（1）要使原函数有意义，则，解得，
所以，函数的定义域
是定义域内的奇函数．
证明：对任意，有
所以函数是奇函数．
（2）由知，函数在上单调递减，
因为，所以在上是增函数
又因为时，的值域是，所以，，
且在的值域是，
故且
由得：，解得或（舍去）．
所以，
（3）假设存在使得
即
则，
解得，
下面证明．
证明：由．
，，，，
，即，．
所以
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用真数大于0，从而解分式不等式可得函数的定义域，再利用奇函数的定义判断出函数的奇偶性.
（2）对于对数型的复合函数，再结合函数的单调性定义分析可知，内层分式函数为减函数，外层对数函数也为减函数，从而得出对数型复合函数的单调性，要保证当时，的值域是，首先应有，，，且当时，，再结合内层函数图象及函数的单调性可得的值，又因为，从而求出的值.
（3）假设存在，使得，代入对数式后把用，表示，再证明在定义域内结合分析法和作差法，从而得出存在，使得．
1 / 1上海市桃浦中学2025届高三上学期阶段性评估（9月）数学试卷
1．（2024高三上·上海市月考）设集合，，则 ．
【答案】
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由，解得，所以.
由，解得，所以.
所以.
故填：
【分析】解一元一次不等式和绝对值不等式求得集合，再结合补集和交集的运算法则，从而求得.
2．（2024高三上·上海市月考）不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：，解得或，
所以，不等式的解集为.
故填：.
【分析】根据分式不等式的求解方法，再结合转化的方法得出不等式的解集.
3．（2024高三上·上海市月考）数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是 ．
【答案】
【知识点】归纳推理；数列的通项公式
【解析】【解答】解：观察数列的前四项，后一项比前一项多4，所以，公差为4，
又因为首项为1，代入等差数列的通项公式可得，
所以，数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是.
故填：.
【分析】观察数列前几项，进而得到公差，再由等差基本量结合等差数列的通项公式，从而得出数列1，5，9，13，…的一个通项公式.
4．（2024高三上·上海市月考）函数的最大值等于 .
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：∵函数，
∴函数在上是增函数，故当时，函数取得最大值为.
故填：．
【分析】利用二次函数在闭区间上的单调性，从而求出二次函数在闭区间上的最大值.
5．（2024高三上·上海市月考）函数的最小正周期为 ．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：因为，
因此，该函数的最小正周期为.
故填：.
【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的最小正周期公式可求得原函数的最小正周期.
6．（2024高三上·上海市月考）若复数满足（为虚数单位），则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
故.
故填：.
【分析】利用复数的混合运算法则得出复数z，再结合复数求模公式，从而计算出复数的模.
7．（2024高三上·上海市月考）直线，，则直线与的夹角为 ．
【答案】
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】因为中 ，而平行y轴，
所以，直线与的夹角为.
【分析】利用直线方程变形得出直线的斜率，从而得出直线的倾斜角，再结合两直线平行斜率相等的性质和两直线夹角求解方法，从而作差得出直线与的夹角.
8．（2024高三上·上海市月考）的二项展开式中的常数项是 (用数值作答)．
【答案】3003
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为展开式的通项公式为，
令，解得，
则展开式中的常数项为.
故填：.
【分析】根据题意，由二项式定理得出展开式的通项公式，再结合常数项的定义得出r的值，从而由组合数公式得出的二项展开式中的常数项.
9．（2024高三上·上海市月考）圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于 ．
【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，则，
所以，圆锥的高为，
所以，圆锥的体积为.
故填：.
【分析】利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理得出圆锥的高，再结合圆锥体积公式得出圆锥的体积.
10．（2024高三上·上海市月考）从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有 种.（结果用数值表示）
【答案】96
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），
其中甲不参加测温的分配方案有种.
故填：96.
【分析】若甲不参与测温，可先在其他4人中先选取一人进行测温工作，再从4人中选取3人参与其他工作，再结合分步乘法计数原理和组合数公式、排列数公式，进而得出甲不参加测温的分配方案种数.
11．（2024高三上·上海市月考）在中，，且在方向上的数量投影是-2，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题知在方向上的数量投影是-2，
，
，，即，
记，则，
若求的最小值即求的最小值，
过点作的垂线交于点，此时最小，如图所示：
.
故填：.
【分析】根据在方向上的数量投影，先求出，取，则，再结合三角形法则，得出求的最小值，即求的最小值，再结合正弦函数的定义，从而过点作的垂线，即可求得的最小值.
12．（2024高三上·上海市月考）设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，令，解得或，
不妨设，作图如下：
又因为直线的斜率为，数形结合可知，要满足题意，；
且为方程，即的两根，
当时，，则，
故；
为方程，即的两根，
当时，，则，
故；
则，
令，由对勾函数单调性可知在上单调递减，
又因为，故，
即的取值范围为.
故填：.
【分析】根据题意，利用韦达定理，求得，和的关系，再由数形结合得出实数的取值范围，再结合分类讨论的方法和判别式法以及韦达定理，从而得出，将目标式转化为关于的函数，令，再借助对勾函数的单调性求值域的方法，从而得出的取值范围.
13．（2024高三上·上海市月考）已知 ： ， ： 若 是 的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 得 ，由 不能退出 ，由 能推出 ，故
故答案为：B
【分析】根据 是 的必要非充分条件，转化为不等式相应集合的包含关系，即可求出实数a的取值范围.
14．（2024高三上·上海市月考）某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人.
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为，
所以，该高中共有学生数为，解得，
用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，
所以，高三年级应该抽取人.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可求得抽样比，再由抽样比求出高三年级应该抽取的学生人数.
15．（2024高三上·上海市月考）已知，且，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 根据题意，由于，且有，
则，所以，由二倍角公式可知 .
故选：C.
【分析】根据题意结合同角三角函数基本关系式和二倍角的正切公式，进而得出的值.
16．（2024高三上·上海市月考）已知集合，若对于任意实数对 ，存在 ，使得 成立，则称集合 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于①，若，，易知，，
且同号或异号，显然不成立，即①不符合题意；
不妨设，，则，
对于②，如图所示，
显然对于上任意一点A，在上总存在点B，满足，即②符合题意；
对于③，如图所示，
显然对于上任意一点A，在上总存在点B，满足，即③符合题意；
对于④，注意到对于上点，此时与垂直的过原点的直线为轴，
轴与无交点，即上不存在点B，满足，即④不符合题意.
故选：B.
【分析】根据“垂直对点集”的定义，再结合数量积的坐标表示判断出序号①；利用函数的图象和两线段垂直，从而判断出序号②；利用函数的图象和两线段垂直，从而判断出序号③；利用上点，从而得出此时与垂直的过原点的直线为轴，因为轴与无交点，即上不存在点B，满足，从而判断出序号④，进而找出满足“垂直对点集”的序号.
17．（2024高三上·上海市月考）设集合 ， .
（1）若 ，试判断集合 与 的关系；
（2）若 ，求实数 的取值集合.
【答案】（1）当 时， ，
因为 ，
所以B A.
（2）因为集合 至多有一个元素，由 ，所以
当 时， ；
当 时，所以 ；
当 时，所以 .
所以 .
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）利用a的值结合一元一次方程求解集的方法，从而求出集合B，再利用一元二次方程求解集的方法，从而求出集合A，再利用集合间的关系判断，从而判断出集合A和集合B的关系。
（2）利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而求出实数a的取值集合。
18．（2024高三上·上海市月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，
AD=2，PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.
【答案】解：（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.
因为PD=，CD=2，
所以，三角形PCD的面积为.
（2）如图所示：
取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，
从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角 ，
在中，由EF=、AF=、AE=2，
则是等腰直角三角形，所以∠AEF=，
因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.
【知识点】异面直线所成的角；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合线面垂直的定义得出线线垂直，再结合勾股定理得出CD的长，从而由三角形的面积公式得出三角形的面积.
(2)利用已知条件结合中点作中位线的方法，再结合中位线的性质得出线线平行，再利用异面直线所成角的方法得出∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角，再由等腰三角形的定义判断出三角形是等腰直角三角形，从而得出异面直线BC与AE所成的角的大小.
19．（2024高三上·上海市月考）在中，角，，所对的边长分别为，，，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】解：（1）∵，∴，∴，，
又0＜B＜π，∴，
∴，
∴．
（2）∵b＝2，b2＝a2+c2﹣2ac cosB，
∴，即4＝a2+c2﹣ac，
∴4＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，即ac≤4，当且仅当a＝c＝2时等号成立．
∴，
当a＝b＝c＝2时，．
【知识点】基本不等式；平面向量数量积的坐标表示；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示和辅助角公式得出，再结合三角形中角B的取值范围和不等式的基本性质，从而得出角B的值.
（2）利用余弦定理和基本不等式求最值 方法，从而得出ac的最小值，再利用三角形的面积计算公式即可得出三角形面积的最大值.
20．（2024高三上·上海市月考）已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；
（3）过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为，关于轴对称，
根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有成立.
若在椭圆上，则有，
联立可得，，不合题意，舍去.
所以，在椭圆上，即有，所以，
代入，可得，
所以，椭圆C的方程为.
（2）解：要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.
由，，可得直线方程为，
过点作直线，使得，
则到直线的距离即等于直线到直线的距离，
显然，当直线与椭圆相切时，距离为最大或最小，
则设直线方程为，
联立直线与椭圆的方程可得，.
因为直线与椭圆相切，
则，
解得，，则当时，
此时直线方程为与直线距离最大，
此时，
又因为，
所以，三角形面积的最大值为.
（3）解：设，，假设在x轴上存在一点，
使得、为邻边的平行四边形为菱形，
因为直线过点，则直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆的方程可得，，
恒成立，
且，，，，
所以，
则的中点坐标为，
所以，线段的垂直平分线方程为，
显然该直线过点，
令，则，即.
因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，，所以，则，
所以，即实数m的取值范围为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）观察结合两点关于y轴对称的方法得出两点都在椭圆上，即满足椭圆方程，若在椭圆上，代入椭圆标准方程，联立方程组解得的值，从而得出椭圆的标准方程.
（2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.当过点的直线与平行，且与椭圆相切时，从而取得最大或最小值，再联立直线和椭圆的方程，进而结合直线与椭圆相切的判断方法和判别式法得出直线方程为与直线距离的最大值，再结合两点距离公式和三角形的面积公式，进而得出m的值，进而得出三角形面积的最大值.
（3）设，，假设在x轴上存在一点，使得、为邻边的平行四边形为菱形，再利用直线过点，从而设出直线的方程为，再与椭圆方程联立，根据判别式法和韦达定理以及中点的公式，从而求出的中点坐标，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出线段的垂直平分线的方程，再令，即可求得的值，再根据基本不等式求最值的方法得出实数m的取值范围.
（1）因为，关于轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有成立.
若在椭圆上，则有.
联立可得，，不合题意，舍去.
所以，在椭圆上，即有，所以，代入，可得.
所以，椭圆C的方程为.
（2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.
由，，可得直线方程为.
过点作直线，使得，则到直线的距离即等于直线到直线的距离.
显然，当直线与椭圆相切时，距离为最大或最小.
则设直线方程为，联立直线与椭圆的方程
可得，.
因为，直线与椭圆相切，则，
解得，.
则当时，此时直线方程为，与直线距离最大，此时.
又，
所以面积的最大值为.
（3）设，，假设在x轴上存在一点，使得、为邻边的平行四边形为菱形.
因为直线过点，则直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆的方程可得，，
恒成立，
且，，，，
所以，
则的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，
显然该直线过点.
令，则，即.
因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立.
所以，，所以，则，
所以.即实数m的取值范围为.
21．（2024高三上·上海市月考）已知函数．
（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；
（2）如果当时，的值域是，求与的值；
（3）对任意的，，是否存在，使得，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）要使原函数有意义，则，解得，
所以，函数的定义域
是定义域内的奇函数．
证明：对任意，有
所以函数是奇函数．
（2）由知，函数在上单调递减，
因为，所以在上是增函数
又因为时，的值域是，所以，，
且在的值域是，
故且
由得：，解得或（舍去）．
所以，
（3）假设存在使得
即
则，
解得，
下面证明．
证明：由．
，，，，
，即，．
所以
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用真数大于0，从而解分式不等式可得函数的定义域，再利用奇函数的定义判断出函数的奇偶性.
（2）对于对数型的复合函数，再结合函数的单调性定义分析可知，内层分式函数为减函数，外层对数函数也为减函数，从而得出对数型复合函数的单调性，要保证当时，的值域是，首先应有，，，且当时，，再结合内层函数图象及函数的单调性可得的值，又因为，从而求出的值.
（3）假设存在，使得，代入对数式后把用，表示，再证明在定义域内结合分析法和作差法，从而得出存在，使得．
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