重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题
1．（2024高三上·重庆市月考）已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．31 D．32
2．（2024高三上·重庆市月考）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·重庆市月考）已知且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
4．（2024高三上·重庆市月考）已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·重庆市月考）已知α，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·重庆市月考）命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．（2024高三上·重庆市月考）某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示：
年龄
人数 1 2 6 5 4 2
下列说法正确的是（ ）
A．这20人年龄的分位数的估计值是46.5
B．这20人年龄的中位数的估计值是41
C．这20人年龄的极差的估计值是55
D．这20人年龄的众数的估计值是35
8．（2024高三上·重庆市月考）已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·重庆市月考）某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ）
A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人
B．随机变量
C．随机变量的数学期望为
D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则
10．（2024高三上·重庆市月考）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
11．（2024高三上·重庆市月考）已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为1，2，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C，，则（ ）
A．面积的最小值为
B．点到直线的距离为定值
C．当时，的外接圆半径为
D．的最大值为
12．（2024高三上·重庆市月考）一个词典里包含个不同的单词，其中有个以字母“”开头，其余以其他字母开头.从中选择个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“”开头，一共有 个这样的子集.（要求用数字作答）
13．（2024高三上·重庆市月考）在的展开式中，若的系数为，则 .
14．（2024高三上·重庆市月考）已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为 .
15．（2024高三上·重庆市月考）如图，在三棱锥中，，，点是的中点.
（1）求绕旋转一周形成的几何体的体积；
（2）点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小.
16．（2024高三上·重庆市月考）已知的内角所对的边分别是.
（1）求角；
（2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.
17．（2024高三上·重庆市月考）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤）
（1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
（2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
（3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.
18．（2024高三上·重庆市月考）已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足，其中.
（i）求数列的前2024项和；
（ii）求.
19．（2024高三上·重庆市月考）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为.
（1）求的方程；
（2）若互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设.
①求；
②记，，求.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：由题得，
所以，该集合有三个元素，
所以真子集个数为.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次不等式求出集合B，再结合交集的运算法则得出集合，再根据真子集的定义得出真子集个数.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以.
故选：C.
【分析】根据复数乘除法运算法则，从而得出复数z.
3．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为且，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，当时，的最小值为8.
故选：D.
【分析】根据给定条件和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
4．【答案】B
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】因为向量的夹角为，且所以，
故在方向上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】根据投影向量的计算公式，代入已知条件，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，且，则，则.
则，由，则，，
.
故选：A
【分析】根据角的变换，再根据角的取值范围和不等式的基本性质，从而得出角的取值范围，再由两角差的余弦公式和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为p：函数要在上单调递减，
则，解得，
因为在为增函数，则，
解得，因为是的真子集，
故命题是命题的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】根据分段函数的单调性得到不等式组，从而解不等式组得到p中实数a的取值范围，分离常数后，从而由函数的单调性得到q中实数a的取值范围，再结合集合的包含关系和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为，故80%分位数落在区间，
设其估计值为m，则，解得，故A错误；
又因为，所以中位数（50%分位数）落在区间，
设其估计值为n，则，解得，故B正确；
由表格中数据可知，极差不超过，故C错误；
因为本题无法确定年龄的具体数值，故无法判断众数的值，故D错误.
故选：B.
【分析】根据已知条件提供的数据，再结合分位数求解方法，从而判断出选项A；利用中位数求解方法，从而判断出选项B；利用极差求解公式判断出选项C；利用众数的定义，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：令，
则，
若，则在上恒成立，则在上单调递减，
则，不符合题意；
若，则当时，，单调递减，
则，不符合题意；
若，则在上恒成立，则在上单调递增，
即，符合题意.
故的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】令，利用导数对参数进行讨论判断出函数的单调性，进而得出函数的值域，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
9．【答案】A,C,D
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；二项分布
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三个社团分别需抽取人，
则，所以，，，
所以，从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人，所以，选项A正确；
随机变量的取值可能为，，，
，，，
所以，随机变量的分布列为
所以，选项B错误；
由期望公式可得随机变量的数学期望为，所以，选项C正确；
因为，所以，选项D正确.
故选：ACD.
【分析】结合分层抽样的方法，从而求出各社团所需抽取人数，进而判断出选项A；由题意得出随机变量X是取值，再由组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量的分布列，从而判断出选项B和选项D；再由随机变量的分布列求数学期望公式判断出选项C，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为，
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，
则其方程为，即，故A正确；
对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，
由图象对称性，可得，故，即B正确；
对于C，如图所示：
设直线与第一象限花瓣分别交于点，
由解得，
由解得，，
即得，
则弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得，（），
由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值，如图所示：
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
由可得切点坐标为，因为，
则点到直线的距离为，于是，
由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.
故选：ABD.
【分析】利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线标准方程，从而判断出选项A；联立两抛物线方程，求出交点的坐标，再由两点距离公式判断出选项B；将直线与抛物线方程联立求出交点的坐标，再由两点间距离公式求得弦长，再利用换元法和函数的图象，即可求得弦长最大值，从而判断出选项C；利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，则可判断出阴影部分面积的取值范围，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用
【解析】【解答】对于A，过作的垂线，分别交于点，则，设，
则在中，，
因为，所以在中，，所以，
所以，
因为，所以当且仅当时，取到最大值，
所以面积的最小值为，所以A正确，
对于B，如图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，所以，，
所以，
所以，
所以，
所以点到直线的距离为，是定值，所以B正确，
对于C，因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以，解得或（舍去），
所以，
所以，，
所以，
所以，，
因为，所以，
所以由正弦定理得，
所以，即的外接圆半径为，所以C错误，
对于D，因为，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，所以D正确，
故答案为：A、B、D.
【分析】
对于A，过作的垂线，分别交于点，设，然后表示出，从而可表示出面积，利用三角函数的性质可求得其最小值，判断A正确
对于B，如图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，表示出坐标，再由可求出点的坐标，从而可分析判断B正确，
对于C，由求出三点的坐标，然后求出，再利用正弦定理可求出的外接圆半径，判断C错误.
对于D，由题意可得，化简后利用基本不等式可求得结果，判断D正确.
12．【答案】186
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从含有个以字母“”开头的个不同的单词选择个单词，
其中至少包含两个“”开头的选法可分为类：
第一类：所选个单词中，有且只有两个“”开头的单词，符合要求选法有；
第二类：所选个单词中，有且只有三个“”开头的单词，符合要求选法有；
第三类：所选个单词中，有且只有四个“”开头的单词，符合要求选法有；
由分类加法计数原理可得，符合要求的子集共有个.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和分类加法计数原理，从而得出至少包含两个“”开头，一共的子集个数.
13．【答案】
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：由二项式的展开式的通项公式可得，
令，可得的系数为，所以，
则，
则.
故填：.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，再结合赋值法得出的系数与n的关系式，进而得出与n的关系式，再结合裂项相消的求和方法，从而求出与n的关系式.
14．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：如图，作出函数的图象，
令，即，
由图可知，或，
则或，
当，函数无解；
当或，函数只有一个解；
当或，函数有两个解；
当，函数有三个解；
当恰有3个零点时，
或或
或或或
或或或或，
解得.
故填：.
【分析】利用分段函数的解析式作出分段函数的图象，由题意和分段函数的图象，得出或，即或，从而转化为与以及的交点个数问题，再结合分类讨论的方法，从而得出实数m的取值范围.
15．【答案】（1）解：因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥，
由，，
所以，所以，所以，
又因为，点是的中点，
所以，且，
所以， 所以，且，
所以平面，
所以绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，
以为高的圆锥，所以.
（2）解：如下图：
由图可知：平面，
又因为，，
所以，所以，为等腰直角三角形，
又由点是的中点，所以，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角
坐标系， 由，
得出，，，，
所以，又有，
设平面的一个法向量为，
则即 令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，所以.
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意可知三角形绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，以为高的圆锥，再结合勾股定理和中点的性质，从而由线面垂直的判定定理，则得出底面圆的半径长和圆锥的高，再根据圆锥的体积公式求出绕旋转一周形成的几何体的体积.
（2）利用已知条件结合线面垂直的定义和勾股定理，从而证出线线垂直，进而建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而求出直线与平面所成角的正弦值，再把直线与平面所成角用反三角的形式表示出来即可.
（1）如图：因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥，
由，，
所以，所以，所以，
又因为，点是的中点，
所以，且，
所以， 所以，且，
所以平面，所以绕旋转一周形成的几何体
为以为底面圆半径，以为高的圆锥，
所以.
（2）
如图：由上可知：平面，又，
，
所以，所以，为等腰直角三角形，
又由点是的中点，所以，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角
坐标系， 由，
，，，，
所以，又有，
设平面的一个法向量为，
则即 令，则，
所以，设直线与平面所成角为，
所以，
所以.
16．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以，
因为为三角形内角，，所以.
（2）因为的外接圆面积为，所以其外接圆半径R=，
因为，所以由正弦定理可得
所以，
所以
，
因为为锐角三角形，则，
，
即的周长的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，得，再结合余弦定理，即可求得角B；
（2）由圆面积公式求出的外接圆半径，由正弦定理结合三角恒等变换可表示出，根据角A的范围，即可求解.
（1）因为，所以由正弦定理得，
化简可得，由余弦定理得，
因为为三角形内角，，所以.
（2）因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为，
因为，所以由正弦定理可得
故，
所以
，
因为为锐角三角形，则，
，
即的周长的取值范围为.
17．【答案】（1）解：该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为 .
（2）解：设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，
则表示第1天选择银耳羹，根据题意得：，
所以．
（3）解：设表示第天选择绿豆汤，
则，
根据题意得：，
由全概率公式得：
，即，
整理得：，又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用独立事件乘法求概率公式，从而得出该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率.
（2）利用已知条件和古典概型求概率公式、对立事件求概率公式以及条件概率公式，从而得出该同学第2天选择绿豆汤的概率.
（3）利用对立事件求概率公式、条件概率公式和全概率公式，从而得出，再利用和等比数列的定义，则判断出数列是以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（1）该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为；
（2）设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹，
根据题意得，，
所以．
（3）设表示第天选择绿豆汤，则，
根据题意得，，
由全概率公式得，，
即，整理得，，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，所以..
18．【答案】（1）解：当时，，
当时，，
所以，
显然符合上式，所以，
由题意，
所以.
（2）解：（i）易知，
即数列的前2024项中有项分别为，其余项均为1，
故数列的前2024项和为：.
（ii）由（1）知，而，
所以，
易知，，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用的关系式作差，再结合等比数列的定义，从而可求出数列和的通项公式.
（2）（i）根据题意，利用等比数列求和公式结合分组求和法，从而计算出数列的前2024项和.（ii）由（1）知，而，进而得出，再利用等比数列求和公式和分组求和法，从而求出.
（1）当时，，
当时，，
所以，
显然符合上式，所以，
由题意，
所以.
（2）（i）易知，
即数列的前2024项中有项分别为，其余项均为1，
故数列的前2024项和；
（ii）由（1）知，而，
所以，
易知，，
所以
19．【答案】（1）解：依题意，设双曲线方程为，
则渐近线方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：如图所示：
①当直线中又一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在是，
直线与轴重合，不符合题意，所以直线的斜率均存在且不为，
设直线的方程为，
，，，，
由，得，
则，所以，，
所以，
则，
所以，同理可得，
因为、、三点共线，所以，
又因为，所以，
因为，所以.
②，
所以
，
设，则，
所以，
所以
，
所以，
所以.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）依题意，设双曲线方程为，从而得出双曲线的渐近线方程，再由焦点坐标得出c的值，再根据双曲线的渐近线的斜率得出的值，从而由双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得到关于a，b的方程组，解方程组求出、的值，即可求出双曲线的标准方程.
（2）①首先判断直线的斜率均存在且不为，设的方程为，，，，，再联立直线与双曲线方程，利用消元法和韦达定理，即可求出点的坐标，同理可得点的坐标，再根据、、三点共线，从而表示出.
②利用结合两点距离公式，得到，再利用并项求和法和错位相减法得出.
（1）依题意设双曲线方程为，
则渐近线方程为，
则，解得，所以的方程为；
（2）①当直线中又一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在是，直线与轴重合，不符合题意；
所以直线的斜率均存在且不为，
设的方程为，，，，，
由，得，
则，所以，，
所以，则，
所以，同理可得，
因为、、三点共线，所以，
又，所以，
因为，所以；
②，
所以
，
设，
则，
所以，
所以，
所以，
所以.
1 / 1重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题
1．（2024高三上·重庆市月考）已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．31 D．32
【答案】A
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：由题得，
所以，该集合有三个元素，
所以真子集个数为.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次不等式求出集合B，再结合交集的运算法则得出集合，再根据真子集的定义得出真子集个数.
2．（2024高三上·重庆市月考）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以.
故选：C.
【分析】根据复数乘除法运算法则，从而得出复数z.
3．（2024高三上·重庆市月考）已知且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为且，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，当时，的最小值为8.
故选：D.
【分析】根据给定条件和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
4．（2024高三上·重庆市月考）已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】因为向量的夹角为，且所以，
故在方向上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】根据投影向量的计算公式，代入已知条件，即可求解.
5．（2024高三上·重庆市月考）已知α，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，且，则，则.
则，由，则，，
.
故选：A
【分析】根据角的变换，再根据角的取值范围和不等式的基本性质，从而得出角的取值范围，再由两角差的余弦公式和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
6．（2024高三上·重庆市月考）命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为p：函数要在上单调递减，
则，解得，
因为在为增函数，则，
解得，因为是的真子集，
故命题是命题的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】根据分段函数的单调性得到不等式组，从而解不等式组得到p中实数a的取值范围，分离常数后，从而由函数的单调性得到q中实数a的取值范围，再结合集合的包含关系和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．（2024高三上·重庆市月考）某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示：
年龄
人数 1 2 6 5 4 2
下列说法正确的是（ ）
A．这20人年龄的分位数的估计值是46.5
B．这20人年龄的中位数的估计值是41
C．这20人年龄的极差的估计值是55
D．这20人年龄的众数的估计值是35
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为，故80%分位数落在区间，
设其估计值为m，则，解得，故A错误；
又因为，所以中位数（50%分位数）落在区间，
设其估计值为n，则，解得，故B正确；
由表格中数据可知，极差不超过，故C错误；
因为本题无法确定年龄的具体数值，故无法判断众数的值，故D错误.
故选：B.
【分析】根据已知条件提供的数据，再结合分位数求解方法，从而判断出选项A；利用中位数求解方法，从而判断出选项B；利用极差求解公式判断出选项C；利用众数的定义，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
8．（2024高三上·重庆市月考）已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：令，
则，
若，则在上恒成立，则在上单调递减，
则，不符合题意；
若，则当时，，单调递减，
则，不符合题意；
若，则在上恒成立，则在上单调递增，
即，符合题意.
故的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】令，利用导数对参数进行讨论判断出函数的单调性，进而得出函数的值域，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
9．（2024高三上·重庆市月考）某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ）
A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人
B．随机变量
C．随机变量的数学期望为
D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则
【答案】A,C,D
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；二项分布
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三个社团分别需抽取人，
则，所以，，，
所以，从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人，所以，选项A正确；
随机变量的取值可能为，，，
，，，
所以，随机变量的分布列为
所以，选项B错误；
由期望公式可得随机变量的数学期望为，所以，选项C正确；
因为，所以，选项D正确.
故选：ACD.
【分析】结合分层抽样的方法，从而求出各社团所需抽取人数，进而判断出选项A；由题意得出随机变量X是取值，再由组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量的分布列，从而判断出选项B和选项D；再由随机变量的分布列求数学期望公式判断出选项C，从而找出正确的选项.
10．（2024高三上·重庆市月考）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为，
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，
则其方程为，即，故A正确；
对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，
由图象对称性，可得，故，即B正确；
对于C，如图所示：
设直线与第一象限花瓣分别交于点，
由解得，
由解得，，
即得，
则弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得，（），
由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值，如图所示：
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
由可得切点坐标为，因为，
则点到直线的距离为，于是，
由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.
故选：ABD.
【分析】利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线标准方程，从而判断出选项A；联立两抛物线方程，求出交点的坐标，再由两点距离公式判断出选项B；将直线与抛物线方程联立求出交点的坐标，再由两点间距离公式求得弦长，再利用换元法和函数的图象，即可求得弦长最大值，从而判断出选项C；利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，则可判断出阴影部分面积的取值范围，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2024高三上·重庆市月考）已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为1，2，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C，，则（ ）
A．面积的最小值为
B．点到直线的距离为定值
C．当时，的外接圆半径为
D．的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用
【解析】【解答】对于A，过作的垂线，分别交于点，则，设，
则在中，，
因为，所以在中，，所以，
所以，
因为，所以当且仅当时，取到最大值，
所以面积的最小值为，所以A正确，
对于B，如图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，所以，，
所以，
所以，
所以，
所以点到直线的距离为，是定值，所以B正确，
对于C，因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以，解得或（舍去），
所以，
所以，，
所以，
所以，，
因为，所以，
所以由正弦定理得，
所以，即的外接圆半径为，所以C错误，
对于D，因为，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，所以D正确，
故答案为：A、B、D.
【分析】
对于A，过作的垂线，分别交于点，设，然后表示出，从而可表示出面积，利用三角函数的性质可求得其最小值，判断A正确
对于B，如图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，表示出坐标，再由可求出点的坐标，从而可分析判断B正确，
对于C，由求出三点的坐标，然后求出，再利用正弦定理可求出的外接圆半径，判断C错误.
对于D，由题意可得，化简后利用基本不等式可求得结果，判断D正确.
12．（2024高三上·重庆市月考）一个词典里包含个不同的单词，其中有个以字母“”开头，其余以其他字母开头.从中选择个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“”开头，一共有 个这样的子集.（要求用数字作答）
【答案】186
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从含有个以字母“”开头的个不同的单词选择个单词，
其中至少包含两个“”开头的选法可分为类：
第一类：所选个单词中，有且只有两个“”开头的单词，符合要求选法有；
第二类：所选个单词中，有且只有三个“”开头的单词，符合要求选法有；
第三类：所选个单词中，有且只有四个“”开头的单词，符合要求选法有；
由分类加法计数原理可得，符合要求的子集共有个.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和分类加法计数原理，从而得出至少包含两个“”开头，一共的子集个数.
13．（2024高三上·重庆市月考）在的展开式中，若的系数为，则 .
【答案】
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：由二项式的展开式的通项公式可得，
令，可得的系数为，所以，
则，
则.
故填：.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，再结合赋值法得出的系数与n的关系式，进而得出与n的关系式，再结合裂项相消的求和方法，从而求出与n的关系式.
14．（2024高三上·重庆市月考）已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：如图，作出函数的图象，
令，即，
由图可知，或，
则或，
当，函数无解；
当或，函数只有一个解；
当或，函数有两个解；
当，函数有三个解；
当恰有3个零点时，
或或
或或或
或或或或，
解得.
故填：.
【分析】利用分段函数的解析式作出分段函数的图象，由题意和分段函数的图象，得出或，即或，从而转化为与以及的交点个数问题，再结合分类讨论的方法，从而得出实数m的取值范围.
15．（2024高三上·重庆市月考）如图，在三棱锥中，，，点是的中点.
（1）求绕旋转一周形成的几何体的体积；
（2）点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）解：因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥，
由，，
所以，所以，所以，
又因为，点是的中点，
所以，且，
所以， 所以，且，
所以平面，
所以绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，
以为高的圆锥，所以.
（2）解：如下图：
由图可知：平面，
又因为，，
所以，所以，为等腰直角三角形，
又由点是的中点，所以，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角
坐标系， 由，
得出，，，，
所以，又有，
设平面的一个法向量为，
则即 令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，所以.
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意可知三角形绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，以为高的圆锥，再结合勾股定理和中点的性质，从而由线面垂直的判定定理，则得出底面圆的半径长和圆锥的高，再根据圆锥的体积公式求出绕旋转一周形成的几何体的体积.
（2）利用已知条件结合线面垂直的定义和勾股定理，从而证出线线垂直，进而建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而求出直线与平面所成角的正弦值，再把直线与平面所成角用反三角的形式表示出来即可.
（1）如图：因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥，
由，，
所以，所以，所以，
又因为，点是的中点，
所以，且，
所以， 所以，且，
所以平面，所以绕旋转一周形成的几何体
为以为底面圆半径，以为高的圆锥，
所以.
（2）
如图：由上可知：平面，又，
，
所以，所以，为等腰直角三角形，
又由点是的中点，所以，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角
坐标系， 由，
，，，，
所以，又有，
设平面的一个法向量为，
则即 令，则，
所以，设直线与平面所成角为，
所以，
所以.
16．（2024高三上·重庆市月考）已知的内角所对的边分别是.
（1）求角；
（2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以，
因为为三角形内角，，所以.
（2）因为的外接圆面积为，所以其外接圆半径R=，
因为，所以由正弦定理可得
所以，
所以
，
因为为锐角三角形，则，
，
即的周长的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，得，再结合余弦定理，即可求得角B；
（2）由圆面积公式求出的外接圆半径，由正弦定理结合三角恒等变换可表示出，根据角A的范围，即可求解.
（1）因为，所以由正弦定理得，
化简可得，由余弦定理得，
因为为三角形内角，，所以.
（2）因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为，
因为，所以由正弦定理可得
故，
所以
，
因为为锐角三角形，则，
，
即的周长的取值范围为.
17．（2024高三上·重庆市月考）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤）
（1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
（2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
（3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.
【答案】（1）解：该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为 .
（2）解：设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，
则表示第1天选择银耳羹，根据题意得：，
所以．
（3）解：设表示第天选择绿豆汤，
则，
根据题意得：，
由全概率公式得：
，即，
整理得：，又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用独立事件乘法求概率公式，从而得出该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率.
（2）利用已知条件和古典概型求概率公式、对立事件求概率公式以及条件概率公式，从而得出该同学第2天选择绿豆汤的概率.
（3）利用对立事件求概率公式、条件概率公式和全概率公式，从而得出，再利用和等比数列的定义，则判断出数列是以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（1）该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为；
（2）设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹，
根据题意得，，
所以．
（3）设表示第天选择绿豆汤，则，
根据题意得，，
由全概率公式得，，
即，整理得，，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，所以..
18．（2024高三上·重庆市月考）已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足，其中.
（i）求数列的前2024项和；
（ii）求.
【答案】（1）解：当时，，
当时，，
所以，
显然符合上式，所以，
由题意，
所以.
（2）解：（i）易知，
即数列的前2024项中有项分别为，其余项均为1，
故数列的前2024项和为：.
（ii）由（1）知，而，
所以，
易知，，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用的关系式作差，再结合等比数列的定义，从而可求出数列和的通项公式.
（2）（i）根据题意，利用等比数列求和公式结合分组求和法，从而计算出数列的前2024项和.（ii）由（1）知，而，进而得出，再利用等比数列求和公式和分组求和法，从而求出.
（1）当时，，
当时，，
所以，
显然符合上式，所以，
由题意，
所以.
（2）（i）易知，
即数列的前2024项中有项分别为，其余项均为1，
故数列的前2024项和；
（ii）由（1）知，而，
所以，
易知，，
所以
19．（2024高三上·重庆市月考）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为.
（1）求的方程；
（2）若互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设.
①求；
②记，，求.
【答案】（1）解：依题意，设双曲线方程为，
则渐近线方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：如图所示：
①当直线中又一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在是，
直线与轴重合，不符合题意，所以直线的斜率均存在且不为，
设直线的方程为，
，，，，
由，得，
则，所以，，
所以，
则，
所以，同理可得，
因为、、三点共线，所以，
又因为，所以，
因为，所以.
②，
所以
，
设，则，
所以，
所以
，
所以，
所以.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）依题意，设双曲线方程为，从而得出双曲线的渐近线方程，再由焦点坐标得出c的值，再根据双曲线的渐近线的斜率得出的值，从而由双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得到关于a，b的方程组，解方程组求出、的值，即可求出双曲线的标准方程.
（2）①首先判断直线的斜率均存在且不为，设的方程为，，，，，再联立直线与双曲线方程，利用消元法和韦达定理，即可求出点的坐标，同理可得点的坐标，再根据、、三点共线，从而表示出.
②利用结合两点距离公式，得到，再利用并项求和法和错位相减法得出.
（1）依题意设双曲线方程为，
则渐近线方程为，
则，解得，所以的方程为；
（2）①当直线中又一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在是，直线与轴重合，不符合题意；
所以直线的斜率均存在且不为，
设的方程为，，，，，
由，得，
则，所以，，
所以，则，
所以，同理可得，
因为、、三点共线，所以，
又，所以，
因为，所以；
②，
所以
，
设，
则，
所以，
所以，
所以，
所以.
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