四川省新高考联盟校级2025届高三九月适应考数学试题
1．（2024高三上·四川月考）已知命题，，命题，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
2．（2024高三上·四川月考）已知向量与向量共线，，，且向量与向量的夹角为锐角，则向量（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·四川月考）在空间四边形中，分别为边上的点，且，又分别为的中点，则（ ）
A．平面，且四边形是矩形
B．平面，且四边形是梯形
C．平面，且四边形是菱形
D．平面，且四边形是平行四边形
4．（2024高三上·四川月考）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高三上·四川月考）已知复数，复数满足，则（ ）
A．
B．复数在复平面内所对应的点的坐标是
C．
D．复数在复平面内所对应的点为，则
6．（2024高三上·四川月考）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·四川月考）设，为正整数，，，，，…，，…，已知，则的值为（ ）
A．1806 B．2005 C．3612 D．4100
8．（2024高三上·四川月考）已知角是锐角，角是第四象限角，且，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高三上·四川月考）已知随机变量满足：，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高三上·四川月考）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高三上·四川月考）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
12．（2024高三上·四川月考）表示不小于x的最小整数，例如，．已知等差数列的前n项和为，且，．记，则数列的前10项的和 ．
13．（2024高三上·四川月考）在中，点在边上，，则的外接圆的半径为 .
14．（2024高三上·四川月考）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍（chú méng）者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体．刍甍字面意思为茅屋屋顶．如图所示，现有刍甍，所有顶点都在球O的球面上，球心O在矩形所在的平面内，，，该刍甍的体积最大时， ，体积的最大值为 ．
15．（2024高三上·四川月考）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”.
（1）求事件A，B的概率.
（2）求事件、的概率.
16．（2024高三上·四川月考）如图，在三棱锥中，，，点是的中点.
（1）求绕旋转一周形成的几何体的体积；
（2）点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小.
17．（2024高三上·四川月考）已知函数.
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
18．（2024高三上·四川月考）如图，已知点列与满足，且，其中，．
（1）求；
（2）求与的关系式；
（3）证明：．
19．（2024高三上·四川月考）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P，
（1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标：
（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：对于命题，当时，，
当时，，所以命题是真命题；
对于命题，当时，，所以命题是真命题.
故答案为：A.
【分析】利用全称命题和特称命题的真假性判断方法，从而判断出复合命题的真假性，进而找出正确的选项.
2．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意可知：向量与向量共线，，
可设，因为，
解得，又因为向量与向量的夹角为锐角，
则，解得，
综上所述：，.
故选：C．
【分析】根据题意和向量共线的坐标表示，设，再根据数量积求模长公式以及数量积的坐标运算，从而求解得出向量的坐标.
3．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
在平面内，
，又因为平面，平面
平面．
分别是的中点，
．
又因为 ，
．在四边形中，且
四边形为梯形．
故选：B．
【分析】根据两直线平行对应边成比例判断出线线平行，再利用线面平行判定定理证明平面，再结合中位线的性质判断出线线平行，从而由比例关系和梯形的结构特征，进而判断出四边形的形状.
4．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设，，则，
所以过点切线斜率，
所以，
所以得出.
故选：D.
【分析】先设切点坐标，再结合导数的几何意义得出过点切线斜率，再由直线的斜率与直线的倾斜角的关系式和正切函数的图象求值域的发，进而得出角的取值范围.
5．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，
所以，又因为，所以A错误；
对于B，因为对应的点的坐标为，所以B错误；
对于C，由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，
又因为，因此，所以C正确；
对于D，因为对应的点的坐标为，因此，所以D错误.
故选：C．
【分析】根据共轭复数的概念求出，再结合复数的乘法运算法则求出的值，再根据复数求模公式求出的值，从而判断出选项A；根据复数的几何意义求出复数在复平面内所对应的点的坐标，从而判断出选项B；根据复数的模的几何意义确定复数所对应的点的轨迹，由此判断选项C；结合复数的模的公式和复数的几何意义，由条件求出点的轨迹方程，从而判断选项D，进而找出正确的选项.
6．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择，
由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论：
①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况：
与百位数一样，只有一种选择；
与个位数一样，也只有一种选择；
②当个位数为2时，
如果百位数为2，则十位数有6种选择；
如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择：
当个位数为4时，
如果百位数为4，则十位数有6种选择；
如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择，
综上所述，.
故选：B.
【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数，按个位是和不是进行分类； 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解，再结合计数原理得出用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数.
7．【答案】A
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：，
，
，
依此类推得出，
所以，
所以.
故选：A.
【分析】根据已知条件结合完全平方和公式化简，再结合归纳推理的方法求出数列的通项公式，从而由已知条件得出参数n的值.
8．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为角是锐角，角是第四象限角，
所以，因为，
解得，，
因为，
所以，解得，
因为，所以，解得，
由两角和的余弦公式得，故A正确；
由两角和的正弦公式得，故B正确，
因为，，所以，故D正确，
由二倍角公式得，
由两角和的正切公式得，故C错误.
故选：C
【分析】利用同角三角函数的基本关系和角在各象限的符号，从而求出所有三角函数值，再利用两角和的余弦公式判断出选项A；利用两角和的正弦公式判断出选项B；利用二倍角公式结合两角和的正切公式判断出选项C；利用同角三角函数的基本关系结合给定条件判断出选项D，进而找出结论不正确的选项.
9．【答案】B,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，解得，故选项A错误；
对于B，由选项A可知，故选项B正确；
对于C，因为，故选项C正确；
对于D，因为，故选项D正确．
故选：BCD．
【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式，从而列方程求出的值，进而判断出选项A；再由选项A结合期望公式判断出选项B；由期望的性质判断出选项C；由方差的性质判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对于A：当时，，故A错误；
对于B：，当且仅当，即时取等号，故B正确；
对于C：令，则，，
当且仅当时取等号，而，故C正确；
对于D：由，故，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：BCD.
【分析】利用基本不等式成立的条件“一正、二定、三相等”，逐一验证判断出各选项，进而找出满足题意的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为，
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，
则其方程为，即，故A正确；
对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，
由图象对称性，可得，故，即B正确；
对于C，如图所示：
设直线与第一象限花瓣分别交于点，
由解得，
由解得，，
即得，
则弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得，（），
由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值，如图所示：
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
由可得切点坐标为，因为，
则点到直线的距离为，于是，
由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.
故选：ABD.
【分析】利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线标准方程，从而判断出选项A；联立两抛物线方程，求出交点的坐标，再由两点距离公式判断出选项B；将直线与抛物线方程联立求出交点的坐标，再由两点间距离公式求得弦长，再利用换元法和函数的图象，即可求得弦长最大值，从而判断出选项C；利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，则可判断出阴影部分面积的取值范围，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由，可得，解得，
又因为，得出，解得，
所以，数列的公差为，，
又因为，，
同理，，，，，
所以，数列的前10项的和为：.
故填：.
【分析】由等差数列前n项和公式和等差数列的性质，从而得出等差数列的公差，进而求出数列的通项公式，再利用的定义，从而由求和的方法得出数列的前10项的和.
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设，则，
由，得，
即，
又因为，所以，即，
又因为，所以，所以，则，
所以，所以，
则外接圆的半径为.
故填：.
【分析】设，则由题意和正弦定理形以及三角形的面积公式，从而结合可得，再结合二倍角的正弦公式，进而可求出角的值，再由正弦定理的性质，从而得出三角形的外接圆的半径.
14．【答案】2；
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】本题考查球内接几何体问题，利用导函数研究最值.连接交于点，取中点，连接，补几何体为直三棱柱，设，利用球的性质和勾股定理可得，把几何体补形为直三棱柱，利用三棱柱与三棱锥体积的差表示出刍甍的体积据此可得：，代入数据进行计算可得：，令，求出导函数，令，求出导函数，令和，解不等式可求出的单调区间，据此可求出的最值，据此可得的单调区间，再求出的最大值，据此求出V的最大值，并且求出对应x的值，求出答案；
15．【答案】（1）解：只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是，
要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，
而这些数中个位数是5的数的个数为，
所以，事件发生的概率，
由题意，要使得组成的三位数能被3整除，
则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数，
即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个，
所以，事件发生的概率，
故，.
（2）解：因为表示，组成的三位数既能被3整除，又能被5整除，
因为555既能被3整除，又能被5整除，
所以.
因为表示，组成的三位数能被3整除或能被5整除，
所以.
故，.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【分析】（1）所有组成的三位数的个数是，由个位数是5的数的个数和古典概型求概率的方法，可求出的值；由被3整除三位数的个数和古典概型求概率的方法，可求出的值.
（2）根据已知条件结合和事件的概率公式和积事件的概率公式，从而得出事件和事件的概率.
（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是，
要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，
而这些数中个位数是5的数的个数为，
所以事件发生的概率.
由题意要使得组成的三位数能被3整除，
则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数，
即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个，
所以事件发生的概率.
故，.
（2）因为表示，组成的三位数既能被3整除，又能被5整除，
555既能被3整除，又能被5整除，
所以.
因为表示，组成的三位数能被3整除或能被5整除，
所以.
故，.
16．【答案】（1）解：因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥，
由，，
所以，所以，所以，
又因为，点是的中点，
所以，且，
所以， 所以，且，
所以平面，
所以绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，
以为高的圆锥，所以.
（2）解：如下图：
由图可知：平面，
又因为，，
所以，所以，为等腰直角三角形，
又由点是的中点，所以，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角
坐标系， 由，
得出，，，，
所以，又有，
设平面的一个法向量为，
则即 令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，所以.
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意可知三角形绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，以为高的圆锥，再结合勾股定理和中点的性质，从而由线面垂直的判定定理，则得出底面圆的半径长和圆锥的高，再根据圆锥的体积公式求出绕旋转一周形成的几何体的体积.
（2）利用已知条件结合线面垂直的定义和勾股定理，从而证出线线垂直，进而建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而求出直线与平面所成角的正弦值，再把直线与平面所成角用反三角的形式表示出来即可.
（1）如图：因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥，
由，，
所以，所以，所以，
又因为，点是的中点，
所以，且，
所以， 所以，且，
所以平面，所以绕旋转一周形成的几何体
为以为底面圆半径，以为高的圆锥，
所以.
（2）
如图：由上可知：平面，又，
，
所以，所以，为等腰直角三角形，
又由点是的中点，所以，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角
坐标系， 由，
，，，，
所以，又有，
设平面的一个法向量为，
则即 令，则，
所以，设直线与平面所成角为，
所以，
所以.
17．【答案】（1）解：当时，由，得到，所以，不合题意；
当时，由，得到，
解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）解：当时，，即，
可得，因为，
①当时，即，不等式的解集为；
②当时，，因为，
所以，不等式的解集为；
③当时，，又因为，
所以，不等式的解集为，
综上所述：，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（3）解：由题意可知，
对任意，不等式恒成立，
即，因为时，恒成立，
可得，设，则，所以，
可得，
因为，当且仅当是取等号，
所以，当且仅当是取等号，
故实数m的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）对参数进行分类讨论，再结合一元二次函数的图象特征和一元一次不等式求解方法，进而得出实数m的取值范围.
（2）当时，，即，再因式分解得出，由，对进行讨论，再利用不等式求解方法可得不等式的解集.
（3）由题意，将任意，不等式恒成立转化为在时恒成立，分离参数，可得，设，再利用基本不等式求最值的方法，从额求解出实数的取值范围．
（1）当时，由，得到，所以，不合题意，
当时，由，得到，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）当时，，即，
可得，因为，
①当时，即，不等式的解集为
②当时，，因为，
所以不等式的解集为
③当时，．又，
所以不等式的解集为，
综上：，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（3）由题对任意，不等式恒成立．
即，因为时，恒成立．
可得，设，则，所以，
可得
因为，当且仅当是取等号．
所以，当且仅当是取等号．
故得m的取值范围．
18．【答案】（1）解：因为，，
，，
所以，
得出，所以.
（2）解：由，，
①，
又因为，
则②，
将①代入②得：
即.
（3）证明：要证
等价于证明，
当时，
，
因为，
所以，
，
，
，
，
．
【知识点】数列的递推公式；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及数量积求向量的模的公式，从而列出方程组，解方程即可得出的值.
（2）根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及数量积求向量的模的公式，列出方程组， 从而解方程即可得出与的关系式.
（3）要证等价于证明，先证明，再由累加法即可证明不等式成立.
（1）因为，，
，，
所以，
得，所以.
（2）由，，
①，
又，则②，
将①代入②得：
即.
（3）要证等价于证明，
当时，
，
因为，
所以
，
，
．
19．【答案】（1）解：由已知可得，则，
设，则，
所以，，即点P的坐标为.
（2）解：（i）由与交点为和，则，由与交点为和，
则，所以，.
（ⅱ）法一：设直线：，、，如图所示：
直线：与斜椭圆联立，得：，
则，
∵，，
∴
，
设直线：，代入斜椭圆，
则，
∴，∴，
故.
法二：将椭圆顺时针旋转，如图所示：
由①可得椭圆方程为，点Q旋转后的坐标为，
当直线旋转后斜率不存在时，
，，，
当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，
旋转后、，
直线与椭圆方程联立，即，
可得，
所以，，，
，
设直线旋转后为，代入椭圆方程中，
则，，
，
综上所述，.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）借助所给定义和向量坐标求解方法，进而得出点P的坐标.
（2）（i）联立直线与曲线方程求交点的方法，从而计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，再结合斜椭圆的离心率公式计算即可得斜椭圆C的离心率.
（ⅱ）法一：设出直线、，联立直线和斜椭圆方程可得与交点横坐标有关的韦达定理，再结合弦长公式，即可表示出，计算从而判断出为定值；
法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O顺时针旋转后，再设出直线、旋转后方程，联立直线和椭圆方程可得与交点纵坐标有关的韦达定理，再结合弦长公式即可表示出，计算从而判断出为定值.
（1）由已知可得，则，
设，则，
所以，，即点P的坐标为；
（2）（i）由与交点为和，则，
由与交点为和，
则，所以，；
（ⅱ）法一：设直线：，、，
与斜椭圆联立：，
有，
∵，，
∴
，
设直线：，代入斜椭圆，
有，
∴，∴，
故.
法二：将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为，
点Q旋转后的坐标为，
当直线旋转后斜率不存在时，，，，
当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，
旋转后、，
与椭圆方程联立，即，
可得，
，，
，
设直线旋转后为，代入椭圆方程中，
有，，
.
综上所述，.
1 / 1四川省新高考联盟校级2025届高三九月适应考数学试题
1．（2024高三上·四川月考）已知命题，，命题，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：对于命题，当时，，
当时，，所以命题是真命题；
对于命题，当时，，所以命题是真命题.
故答案为：A.
【分析】利用全称命题和特称命题的真假性判断方法，从而判断出复合命题的真假性，进而找出正确的选项.
2．（2024高三上·四川月考）已知向量与向量共线，，，且向量与向量的夹角为锐角，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意可知：向量与向量共线，，
可设，因为，
解得，又因为向量与向量的夹角为锐角，
则，解得，
综上所述：，.
故选：C．
【分析】根据题意和向量共线的坐标表示，设，再根据数量积求模长公式以及数量积的坐标运算，从而求解得出向量的坐标.
3．（2024高三上·四川月考）在空间四边形中，分别为边上的点，且，又分别为的中点，则（ ）
A．平面，且四边形是矩形
B．平面，且四边形是梯形
C．平面，且四边形是菱形
D．平面，且四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
在平面内，
，又因为平面，平面
平面．
分别是的中点，
．
又因为 ，
．在四边形中，且
四边形为梯形．
故选：B．
【分析】根据两直线平行对应边成比例判断出线线平行，再利用线面平行判定定理证明平面，再结合中位线的性质判断出线线平行，从而由比例关系和梯形的结构特征，进而判断出四边形的形状.
4．（2024高三上·四川月考）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设，，则，
所以过点切线斜率，
所以，
所以得出.
故选：D.
【分析】先设切点坐标，再结合导数的几何意义得出过点切线斜率，再由直线的斜率与直线的倾斜角的关系式和正切函数的图象求值域的发，进而得出角的取值范围.
5．（2024高三上·四川月考）已知复数，复数满足，则（ ）
A．
B．复数在复平面内所对应的点的坐标是
C．
D．复数在复平面内所对应的点为，则
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，
所以，又因为，所以A错误；
对于B，因为对应的点的坐标为，所以B错误；
对于C，由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，
又因为，因此，所以C正确；
对于D，因为对应的点的坐标为，因此，所以D错误.
故选：C．
【分析】根据共轭复数的概念求出，再结合复数的乘法运算法则求出的值，再根据复数求模公式求出的值，从而判断出选项A；根据复数的几何意义求出复数在复平面内所对应的点的坐标，从而判断出选项B；根据复数的模的几何意义确定复数所对应的点的轨迹，由此判断选项C；结合复数的模的公式和复数的几何意义，由条件求出点的轨迹方程，从而判断选项D，进而找出正确的选项.
6．（2024高三上·四川月考）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择，
由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论：
①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况：
与百位数一样，只有一种选择；
与个位数一样，也只有一种选择；
②当个位数为2时，
如果百位数为2，则十位数有6种选择；
如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择：
当个位数为4时，
如果百位数为4，则十位数有6种选择；
如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择，
综上所述，.
故选：B.
【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数，按个位是和不是进行分类； 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解，再结合计数原理得出用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数.
7．（2024高三上·四川月考）设，为正整数，，，，，…，，…，已知，则的值为（ ）
A．1806 B．2005 C．3612 D．4100
【答案】A
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：，
，
，
依此类推得出，
所以，
所以.
故选：A.
【分析】根据已知条件结合完全平方和公式化简，再结合归纳推理的方法求出数列的通项公式，从而由已知条件得出参数n的值.
8．（2024高三上·四川月考）已知角是锐角，角是第四象限角，且，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为角是锐角，角是第四象限角，
所以，因为，
解得，，
因为，
所以，解得，
因为，所以，解得，
由两角和的余弦公式得，故A正确；
由两角和的正弦公式得，故B正确，
因为，，所以，故D正确，
由二倍角公式得，
由两角和的正切公式得，故C错误.
故选：C
【分析】利用同角三角函数的基本关系和角在各象限的符号，从而求出所有三角函数值，再利用两角和的余弦公式判断出选项A；利用两角和的正弦公式判断出选项B；利用二倍角公式结合两角和的正切公式判断出选项C；利用同角三角函数的基本关系结合给定条件判断出选项D，进而找出结论不正确的选项.
9．（2024高三上·四川月考）已知随机变量满足：，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，解得，故选项A错误；
对于B，由选项A可知，故选项B正确；
对于C，因为，故选项C正确；
对于D，因为，故选项D正确．
故选：BCD．
【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式，从而列方程求出的值，进而判断出选项A；再由选项A结合期望公式判断出选项B；由期望的性质判断出选项C；由方差的性质判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2024高三上·四川月考）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对于A：当时，，故A错误；
对于B：，当且仅当，即时取等号，故B正确；
对于C：令，则，，
当且仅当时取等号，而，故C正确；
对于D：由，故，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：BCD.
【分析】利用基本不等式成立的条件“一正、二定、三相等”，逐一验证判断出各选项，进而找出满足题意的选项.
11．（2024高三上·四川月考）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为，
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，
则其方程为，即，故A正确；
对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，
由图象对称性，可得，故，即B正确；
对于C，如图所示：
设直线与第一象限花瓣分别交于点，
由解得，
由解得，，
即得，
则弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得，（），
由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值，如图所示：
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
由可得切点坐标为，因为，
则点到直线的距离为，于是，
由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.
故选：ABD.
【分析】利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线标准方程，从而判断出选项A；联立两抛物线方程，求出交点的坐标，再由两点距离公式判断出选项B；将直线与抛物线方程联立求出交点的坐标，再由两点间距离公式求得弦长，再利用换元法和函数的图象，即可求得弦长最大值，从而判断出选项C；利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，则可判断出阴影部分面积的取值范围，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高三上·四川月考）表示不小于x的最小整数，例如，．已知等差数列的前n项和为，且，．记，则数列的前10项的和 ．
【答案】
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由，可得，解得，
又因为，得出，解得，
所以，数列的公差为，，
又因为，，
同理，，，，，
所以，数列的前10项的和为：.
故填：.
【分析】由等差数列前n项和公式和等差数列的性质，从而得出等差数列的公差，进而求出数列的通项公式，再利用的定义，从而由求和的方法得出数列的前10项的和.
13．（2024高三上·四川月考）在中，点在边上，，则的外接圆的半径为 .
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设，则，
由，得，
即，
又因为，所以，即，
又因为，所以，所以，则，
所以，所以，
则外接圆的半径为.
故填：.
【分析】设，则由题意和正弦定理形以及三角形的面积公式，从而结合可得，再结合二倍角的正弦公式，进而可求出角的值，再由正弦定理的性质，从而得出三角形的外接圆的半径.
14．（2024高三上·四川月考）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍（chú méng）者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体．刍甍字面意思为茅屋屋顶．如图所示，现有刍甍，所有顶点都在球O的球面上，球心O在矩形所在的平面内，，，该刍甍的体积最大时， ，体积的最大值为 ．
【答案】2；
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】本题考查球内接几何体问题，利用导函数研究最值.连接交于点，取中点，连接，补几何体为直三棱柱，设，利用球的性质和勾股定理可得，把几何体补形为直三棱柱，利用三棱柱与三棱锥体积的差表示出刍甍的体积据此可得：，代入数据进行计算可得：，令，求出导函数，令，求出导函数，令和，解不等式可求出的单调区间，据此可求出的最值，据此可得的单调区间，再求出的最大值，据此求出V的最大值，并且求出对应x的值，求出答案；
15．（2024高三上·四川月考）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”.
（1）求事件A，B的概率.
（2）求事件、的概率.
【答案】（1）解：只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是，
要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，
而这些数中个位数是5的数的个数为，
所以，事件发生的概率，
由题意，要使得组成的三位数能被3整除，
则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数，
即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个，
所以，事件发生的概率，
故，.
（2）解：因为表示，组成的三位数既能被3整除，又能被5整除，
因为555既能被3整除，又能被5整除，
所以.
因为表示，组成的三位数能被3整除或能被5整除，
所以.
故，.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【分析】（1）所有组成的三位数的个数是，由个位数是5的数的个数和古典概型求概率的方法，可求出的值；由被3整除三位数的个数和古典概型求概率的方法，可求出的值.
（2）根据已知条件结合和事件的概率公式和积事件的概率公式，从而得出事件和事件的概率.
（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是，
要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，
而这些数中个位数是5的数的个数为，
所以事件发生的概率.
由题意要使得组成的三位数能被3整除，
则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数，
即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个，
所以事件发生的概率.
故，.
（2）因为表示，组成的三位数既能被3整除，又能被5整除，
555既能被3整除，又能被5整除，
所以.
因为表示，组成的三位数能被3整除或能被5整除，
所以.
故，.
16．（2024高三上·四川月考）如图，在三棱锥中，，，点是的中点.
（1）求绕旋转一周形成的几何体的体积；
（2）点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）解：因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥，
由，，
所以，所以，所以，
又因为，点是的中点，
所以，且，
所以， 所以，且，
所以平面，
所以绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，
以为高的圆锥，所以.
（2）解：如下图：
由图可知：平面，
又因为，，
所以，所以，为等腰直角三角形，
又由点是的中点，所以，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角
坐标系， 由，
得出，，，，
所以，又有，
设平面的一个法向量为，
则即 令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，所以.
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意可知三角形绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，以为高的圆锥，再结合勾股定理和中点的性质，从而由线面垂直的判定定理，则得出底面圆的半径长和圆锥的高，再根据圆锥的体积公式求出绕旋转一周形成的几何体的体积.
（2）利用已知条件结合线面垂直的定义和勾股定理，从而证出线线垂直，进而建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而求出直线与平面所成角的正弦值，再把直线与平面所成角用反三角的形式表示出来即可.
（1）如图：因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥，
由，，
所以，所以，所以，
又因为，点是的中点，
所以，且，
所以， 所以，且，
所以平面，所以绕旋转一周形成的几何体
为以为底面圆半径，以为高的圆锥，
所以.
（2）
如图：由上可知：平面，又，
，
所以，所以，为等腰直角三角形，
又由点是的中点，所以，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角
坐标系， 由，
，，，，
所以，又有，
设平面的一个法向量为，
则即 令，则，
所以，设直线与平面所成角为，
所以，
所以.
17．（2024高三上·四川月考）已知函数.
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，由，得到，所以，不合题意；
当时，由，得到，
解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）解：当时，，即，
可得，因为，
①当时，即，不等式的解集为；
②当时，，因为，
所以，不等式的解集为；
③当时，，又因为，
所以，不等式的解集为，
综上所述：，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（3）解：由题意可知，
对任意，不等式恒成立，
即，因为时，恒成立，
可得，设，则，所以，
可得，
因为，当且仅当是取等号，
所以，当且仅当是取等号，
故实数m的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）对参数进行分类讨论，再结合一元二次函数的图象特征和一元一次不等式求解方法，进而得出实数m的取值范围.
（2）当时，，即，再因式分解得出，由，对进行讨论，再利用不等式求解方法可得不等式的解集.
（3）由题意，将任意，不等式恒成立转化为在时恒成立，分离参数，可得，设，再利用基本不等式求最值的方法，从额求解出实数的取值范围．
（1）当时，由，得到，所以，不合题意，
当时，由，得到，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）当时，，即，
可得，因为，
①当时，即，不等式的解集为
②当时，，因为，
所以不等式的解集为
③当时，．又，
所以不等式的解集为，
综上：，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（3）由题对任意，不等式恒成立．
即，因为时，恒成立．
可得，设，则，所以，
可得
因为，当且仅当是取等号．
所以，当且仅当是取等号．
故得m的取值范围．
18．（2024高三上·四川月考）如图，已知点列与满足，且，其中，．
（1）求；
（2）求与的关系式；
（3）证明：．
【答案】（1）解：因为，，
，，
所以，
得出，所以.
（2）解：由，，
①，
又因为，
则②，
将①代入②得：
即.
（3）证明：要证
等价于证明，
当时，
，
因为，
所以，
，
，
，
，
．
【知识点】数列的递推公式；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及数量积求向量的模的公式，从而列出方程组，解方程即可得出的值.
（2）根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及数量积求向量的模的公式，列出方程组， 从而解方程即可得出与的关系式.
（3）要证等价于证明，先证明，再由累加法即可证明不等式成立.
（1）因为，，
，，
所以，
得，所以.
（2）由，，
①，
又，则②，
将①代入②得：
即.
（3）要证等价于证明，
当时，
，
因为，
所以
，
，
．
19．（2024高三上·四川月考）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P，
（1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标：
（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：由已知可得，则，
设，则，
所以，，即点P的坐标为.
（2）解：（i）由与交点为和，则，由与交点为和，
则，所以，.
（ⅱ）法一：设直线：，、，如图所示：
直线：与斜椭圆联立，得：，
则，
∵，，
∴
，
设直线：，代入斜椭圆，
则，
∴，∴，
故.
法二：将椭圆顺时针旋转，如图所示：
由①可得椭圆方程为，点Q旋转后的坐标为，
当直线旋转后斜率不存在时，
，，，
当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，
旋转后、，
直线与椭圆方程联立，即，
可得，
所以，，，
，
设直线旋转后为，代入椭圆方程中，
则，，
，
综上所述，.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）借助所给定义和向量坐标求解方法，进而得出点P的坐标.
（2）（i）联立直线与曲线方程求交点的方法，从而计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，再结合斜椭圆的离心率公式计算即可得斜椭圆C的离心率.
（ⅱ）法一：设出直线、，联立直线和斜椭圆方程可得与交点横坐标有关的韦达定理，再结合弦长公式，即可表示出，计算从而判断出为定值；
法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O顺时针旋转后，再设出直线、旋转后方程，联立直线和椭圆方程可得与交点纵坐标有关的韦达定理，再结合弦长公式即可表示出，计算从而判断出为定值.
（1）由已知可得，则，
设，则，
所以，，即点P的坐标为；
（2）（i）由与交点为和，则，
由与交点为和，
则，所以，；
（ⅱ）法一：设直线：，、，
与斜椭圆联立：，
有，
∵，，
∴
，
设直线：，代入斜椭圆，
有，
∴，∴，
故.
法二：将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为，
点Q旋转后的坐标为，
当直线旋转后斜率不存在时，，，，
当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，
旋转后、，
与椭圆方程联立，即，
可得，
，，
，
设直线旋转后为，代入椭圆方程中，
有，，
.
综上所述，.
1 / 1
