【精品解析】湖北省八校2025届高三上学期迎国庆联合教学质量检测数学试题

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名称 【精品解析】湖北省八校2025届高三上学期迎国庆联合教学质量检测数学试题
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资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-01-03 08:47:08

文档简介

湖北省八校2025届高三上学期迎国庆联合教学质量检测数学试题
1.(2024高三上·湖北月考)设集合,,,则(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】集合间关系的判断;交集及其运算
【解析】【解答】因为,所以且,
所以.
故答案为:C.
【分析】本题考查集合的基本关系.先通过变形可得:,再结合,可得.且,据此可判断A选项和B选项;进而可得,据此可判断C选项和D选项.
2.(2024高三上·湖北月考)如图,平行四边形中,,,若,,则(  )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为四边形为平行四边形,且,,
所以,即①,
又,即②,
由①②得到,又,,所以.
故答案为:D
【分析】本题考查平面向量基本定理.先利用平行四边形的性质和平面向量的加法运算可推出:和,两个式子相加可得:,再将,进行替换,可求出答案.
3.(2024高三上·湖北月考)已知数列的前项和为,且,若,其前项和为,则(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】数列的求和;通项与前n项和的关系
【解析】【解答】当时,由可得,
两式相减可得,
当,满足上式,
所以恒成立,
所以,
所以;时,.
所以,故选择支ABD错误,
当时,.
故答案为:C.
【分析】本题考查数列通项与前n项和的关系,数列的求和.先求出,利用通项与前n项和的关系:,可求出,进而可求出,利用的值可排除部分选择A,B,D选项,再利用放缩法可得:,利用裂项相消法进行求和可求出答案.
4.(2024高三上·湖北月考)某学校组织学生开展研学旅行,准备从4个甲省景区,3个乙省景区,2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行,则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式;排列、组合的实际应用
【解析】【解答】设样本空间为,则,
设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A,
则,
所以.
故答案为:B
【分析】本题考查古典型概率.先求出,设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A,利用组合数可求出,再利用古典概型的计算公式可求出概率.
5.(2024高三上·湖北月考)已知函数在上有且仅有两个零点,则的取值范围是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【解答】因为,
令,则,令,得到,
所以或,令,得到或,令,得到或,
又在上有且仅有两个零点,所以在上有且仅有两个零点,
所以,得到,
故答案为:B
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先利用降幂升角公式和辅助角公式化简函数解析式可得:
,采用换元法令可得:,令,得到或,令,可求出函数的零点,再根据函数在上有且仅有两个零点,可求出的取值范围.
6.(2024高三上·湖北月考)已知点,,点是圆上任意一点,则面积的最小值为(  )
A.6 B. C. D.
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式;点与圆的位置关系
【解析】【解答】两点,,则,直线方程为,
圆的圆心,半径,
点到直线的距离,
因此点到直线距离的最小值为,
所以面积的最小值是.
故答案为:D
【分析】本题考查点与圆的位置关系.先利用两点间的距离公式求出,再求出直线的方程,利用点到直线的距离可求出圆心到直线的距离,利用点与圆的位置关系可求出:点到直线距离的最小值,即三角形的高的最小值,利用三角形的面积公式可求出面积的最小值
7.(2024高三上·湖北月考)椭圆,若椭圆上存在不同的两点关于直线对称,则实数的取值范围(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】椭圆,即:,
设椭圆上两点关于直线对称,中点为,
则,,
所以,
所以,所以,
代入直线方程得,即,
因为在椭圆内部,所以,
解得 ,
即的取值范围是.
故答案为:B
【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系.设,中点为,j将A,B两点代入椭圆的方程,两式相减,再利用点差法,再结合两点关于直线对称可求出点的坐标,再根据在椭圆内部,可列出不等式,解不等式可求出实数的取值范围 .
8.(2024高三上·湖北月考)已知定义在上的函数满足:对任意的,,都有,且.满足不等式的x的取值范围是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质;对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解:将不等式
化简可得,
令,可得,
即对任意的,,都有,
所以函数在上单调递减,
则等价于,
即,可得,
又因为,所以,
所以等价于,
因此可得,解得,
可得x的取值范围是.
故答案为:B.
【分析】根据对数运算法则将不等式变形进行构造函数,由函数单调性定义判断出函数在上的单调性,将原不等式等价于,再利用函数的单调性得出满足不等式的x的取值范围.
9.(2024高三上·湖北月考)已知复数,下列结论正确的有(  )
A.若,则
B.若,则
C.若复数满足,则在复平面对应的点是
D.若是关于的方程的一个根,则
【答案】C,D
【知识点】复数的模;复数运算的几何意义
【解析】【解答】A.若,则不一定成立,比如,
满足,但,不满足,A错误;
B.比如,满足,
由复数定义可知,两个复数不能比大小,故大小无法判断,B错误;
C.,
所以在复平面对应的点是,C正确;
D.若是关于的方程的一个根,
则为方程另一个根,
故,即,D正确.
故答案为:CD
【分析】本题考查复数的模长公式,复数的几何意义.举出反例,利用复数的模长公式进行计算,再利用完全平方公式进行计算,可判断A选项;举出反例,再根据两个复数不能比大小,据此可判断B选项;先利用复数的除法运算可求出复数,据此可找出复数的对应点,据此可判断C选项;根据复数方程的根可推出为方程另一个根,利用一元二次方程根与系数的关系可求出p的值,可判断D选项.
10.(2024高三上·湖北月考)设正项等比数列的公比为q,前n项和为,前n项积为,则下列选项正确的是(  )
A.
B.若,则
C.若,则当取得最小值时,
D.若,则
【答案】A,B
【知识点】等比数列的前n项和;等比数列的性质
【解析】【解答】因为数列为正项等比数列,则,
A:因为

所以,A正确;
B:若,则,
所以,B正确;
C:因为,则,
当且仅当时,等号成立,
若取得最小值,则,
即,解得,C错误;
D:例如,
则,,
可得,
因为,则,可得,即,
符合题意,但,D错误;
故答案为:AB
【分析】本题考查等比数列的前n项和,等比数列的性质.根据等比数列的前n项和可得:
,据此可推出,进而可判断A选项;根据,利用等比数列的性质可得:,再进行计算可判断B选项;先利用等比数列的性质可得,再利用基本不等式进行化简可得:,进而推出,利用等比数列的通项公式可求出,判断C选项;举出例子,再根据 ,利用通项公式和前n项积公式进行化简可推出与矛盾,据此可判断D选项.
11.(2024高三上·湖北月考)在正三棱柱中,,点满足,则下列说法正确的是(  )
A.当时,点在棱上
B.当时,点到平面的距离为定值
C.当时,点在以的中点为端点的线段上
D.当时,平面
【答案】B,C,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解:对于A,当时,,
又,所以即,又,
所以三点共线,故点在上,故选项A错误;
对于B,当时,,
又,所以即,又,
所以三点共线,故点在棱上,
由三棱柱性质和线面平行的性质可得平面,
所以点到平面的距离为定值,故选项B正确;
对于C,当时,取的中点的中点,
所以且,,即,
所以即,又,
所以三点共线,故在线段上,故选项C正确;
对于D,当时,点为的中点,连接,
由题为正三角形,所以,又由正三棱柱性质可知,
因为,平面,所以平面,
又平面,所以,
因为,所以,又,
所以,所以,
所以,
设与相交于点O,则,即,
又,平面,
所以平面,因为平面,
所以,由正方形性质可知,
又,平面,
所以平面,故选项D正确.
故选:BCD.
【分析】对于A,由即可判断;对于B,由和平面即可判断;对于C,分别取和的中点和,由即即可判断;对于D,先根据线面垂直的判定(如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面)可求证平面,接着即可求证平面,进而即可求证平面.
12.(2024高三上·湖北月考)已知的内角所对的边分别为a、b、c,,为边上一点,满足,且.则的最小值为   .
【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用;正弦定理
【解析】【解答】由得平分.因为,
故由,可得,
化简得,即,
则.
因为,故,
当且仅当,即时,等号成立,
此时取得最小值9.
故答案为:9
【分析】本题考查利用正弦定理解三角形,利用基本不等式求最值.根据BD平分,利用三角形等面积法可得:,利用三角形的面积公式进行化简可得:,变形可得:代入所求式化简可得:,利用基本不等式进行计算可求出的最小值.
13.(2024高三上·湖北月考)如图,半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中,,.“果圆”与x轴的交点分别为、,若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得,则的取值范围为   .
【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】设,,

∵,
∴,



或(舍去),
令,则,
∵,
∴,
解得,
故答案为:
【分析】本题考查平面向量的数量积.设,,进而可求出,,再结合,利用平面向量的数量积公式进行计算可推出,采用换元法令,则,利用余弦函数的有界性,可求出 的取值范围.
14.(2024高三上·湖北月考)函数满足恒成立,则的取值范围是   .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题;利用导数研究函数最大(小)值
【解析】【解答】,设,在上单调递增,

令,,当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以,又,
则的取值范围为:
故答案为:
【分析】本题考查函数的恒成立问题.根据,变形可得:,设,利用对数函数的单调性和一次函数的单调性可得:在上单调递增,据此可将转化为,令,求出导函数,利用导函数可求出的最值,进而可求出实数a的取值范围.
15.(2024高三上·湖北月考)某学校食堂有两家餐厅,张同学第1天选择餐厅用餐的概率为.从第2天起,如果前一天选择餐厅用餐,那么次日选择餐厅用餐的概率为;如果前一天选择餐厅用餐,那么次日选择餐厅用餐的概率为.设他第天选择餐厅用餐的概率为.
(1)求的值及关于的表达式;
(2)证明数列是等比数列,并求出的通项公式.
【答案】(1)设“第天去餐厅用餐”,“第天去餐厅用餐”,则,且与互斥.根据题意得




即.
(2)又因为,所以是以为首项,为公比的等比数列,
所以,
从而.
【知识点】等比数列概念与表示;全概率公式
【解析】【分析】 本题考查全概率公式,等比数列的定义.(1)表示出事件,再根据题意可得:,利用互斥事件的概率公式可求出,再根据第天选择餐厅用餐的概率可得:,再进行化简可求出关于的表达式;
(2)由(1),通过变形可得:,利用等比数列的定义可推出是等比数列,利用等比数列的通项公式可求出.
(1)设“第天去餐厅用餐”,“第天去餐厅用餐”,
则,且与互斥.根据题意得




即.
(2)又因为,所以是以为首项,为公比的等比数列,
所以,
从而.
16.(2024高三上·湖北月考)已知,,函数.
(1)求函数的解析式及对称中心;
(2)若,求的值;
(3)在锐角中,角A,B,C分别为a,b,c三边所对的角,若,,求周长的取值范围.
【答案】(1),
令,则,,
函数的对称中心为.
(2)由可知,,
化简有,



(3)由可得,即,
又,所以,
由正弦定理有,
所以

因为为锐角三角形,所以,解得,
所以,则,
所以,则,
所以周长的取值范围为.
【知识点】正弦定理;函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质,利用正弦定理解三角形.(1)利用平面向量数量积公式,降幂升角公式,辅助角公式化简函数解析式可得:,根据正弦函数的图象和性质可得:对称中心为,解方程可求出函数的对称中心.
(2)根据,代入函数解析式化简可得,再将式子 ,利用两角差的余弦公式进行展开,利用辅助角公式化简后,再利用整体代入的思想可求出答案;
(3)根据,代入函数解析式进行化简可求出,再利用正弦定理进行边化角,利用两角和的正弦公式及辅助角公式化简可得:,再根据为锐角三角形可求出的取值范围,利用正弦函数的图象和性质可求出的取值范围.
(1),
令,则,,
函数的对称中心为.
(2)由可知,,
化简有,


(3)由可得,即,
又,所以,
由正弦定理有,
所以

因为为锐角三角形,所以,解得,
所以,则,
所以,则,
所以周长的取值范围为.
17.(2024高三上·湖北月考)如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,.
(1)求证:平面.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)在棱上是否存在点,使得平面 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)∵平面平面,且平面平面,且,平面,
∴平面,
∵平面,∴,
又,且,平面,
∴平面;
(2)取中点为,连接,又∵,∴.则,
∵,∴,则,
以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
则,,,,
设为平面的一个法向量,
则由,得,令,则.
设与平面的夹角为,
则;
(3)假设在棱上存在点点,使得平面.
设,,
由(2)知,,,,则,,

由(2)知平面的一个法向量.
若平面,则,
解得,又平面,
故在棱上存在点点,使得平面,此时.

【知识点】直线与平面垂直的判定;用空间向量研究直线与平面的位置关系;用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定,利用空间向量求直线与平面所成的角,利用空间向量研究直线与平面的位置关系.(1)根据条件,利用平面与平面垂直的性质可推出平面,利用直线与平面垂直的性质可得:,再根据,利用直线与平面垂直的判定定理可证明结论.
(2)先利用等腰三角形的性质可证明,以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,写出对应点的坐标,求出,,,,进而可求出平面的一个法向量,再利用空间向量夹角计算公式可求出直线与平面所成角的正弦值.
(3)设,,要使平面,则,利用空间向量的数量积公式可求出,进而可求出 求出的值 .

(1)∵平面平面,且平面平面,
且,平面,
∴平面,
∵平面,∴,
又,且,平面,
∴平面;
(2)取中点为,连接,
又∵,∴.则,
∵,∴,则,
以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
则,,,,
设为平面的一个法向量,
则由,得,令,则.
设与平面的夹角为,
则;
(3)假设在棱上存在点点,使得平面.
设,,
由(2)知,,,,则,,

由(2)知平面的一个法向量.
若平面,则,
解得,又平面,
故在棱上存在点点,使得平面,此时.
18.(2024高三上·湖北月考)如图,已知椭圆过点,焦距为,斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点,且直线均不与轴垂直.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,求的方程;
(3)记直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值.
【答案】(1)由题意得解得,
故椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为,
由得,
由,得,
则.

解得或
当时,直线经过点,不符合题意,舍去;
当时,直线的方程为.
(3)直线,均不与轴垂直,所以,则且,
所以
为定值.
【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆方程,直线与椭圆的位置关系.(1)根据焦距为可得:,再将点 代入椭圆方程,再结合椭圆的关系式可列出方程组,解房出租可求出a和b进而可求出椭圆的方程;
(2)设直线的方程为,将直线的方程与椭圆方程进行联立,利用韦达定理可得:.,再利用弦长公式可列出方程,解方程可求出m的值,再进行检验科求出直线的方程;
(3)利用直线的斜率公式进行计算可得:,再将韦达定理代入中进行计算可求出斜率之积为定值.
(1)由题意得解得,
故椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为,
由得,
由,得,
则.

解得或
当时,直线经过点,不符合题意,舍去;
当时,直线的方程为.
(3)直线,均不与轴垂直,所以,则且,
所以
为定值.
19.(2024高三上·湖北月考)设函数的导函数为,若对任意恒成立,则称函数在区间上的“一阶有界函数”.
(1)判断函数和是否为上的“一阶有界函数”,并说明理由;
(2)若函数为上的“一阶有界函数”,且在上单调递增,设,为函数图象上相异的两点,直线的斜率为,试判断“”是否正确,并说明理由;
(3)若函数为区间上的“一阶有界函数”,求的取值范围.
【答案】(1)由,在上恒成立,
故是上的“一阶有界函数”;
由,,
当,,故不是上的“一阶有界函数”;
(2)若函数为上的“一阶有界函数”,则,又函数在上单调递增,则,因此可得,
令,则,在上单调递减,
设,,其中,
则,故;
又在上单调递增,则,故,因此可得;
(3)由函数,则,若为区间上的“一阶有界函数”,则,
即,恒成立,
故,即,则,
,即,则,因此.
令,则,
其中,,在区间上单调递增,
故在区间上单调递增,
又,,所以存在,
使,即,则,
当,, 当,,
在区间单调递减,在区间单调递增,
故,
又对称轴为,
因此在区间上单调递减,恒成立,
即,
故.
【知识点】函数单调性的判断与证明;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性,函数的恒成立问题.
(1)先求出导函数 ,,进而可推出和,再根据“一阶有界函数”的定义可判断和是否为上的“一阶有界函数”;
(2)根据函数为上的“一阶有界函数”根据一阶有界函数的定义可推出:,设,在求出导函数,j进而可推出,据此可推出的单调性,进而可得函数单调递增,再根据定义进行列式,化简可得判断;
(3)先求出导函数,再根据函数为区间上的“一阶有界函数”,据此可列出不等式,解不等式可求出大致满足的范围.在构造函数,求出导函数,利用导数可判断函数的单调性,进而可求出最小值,据此可确定实数a的取值范围.
(1)由,在上恒成立,故是上的“一阶有界函数”;
由,,当,,故不是上的“一阶有界函数”;
(2)若函数为上的“一阶有界函数”,则,
又函数在上单调递增,则,因此可得,
令,则,在上单调递减,
设,,其中,
则,故;
又在上单调递增,则,故,因此可得;
(3)由函数,则,
若为区间上的“一阶有界函数”,则,
即,恒成立,
故,即,则,
,即,则,因此.
令,则,
其中,,在区间上单调递增,
故在区间上单调递增,
又,,所以存在,
使,即,则,
当,, 当,,
在区间单调递减,在区间单调递增,
故,
又对称轴为,
因此在区间上单调递减,恒成立,
即,
故.
1 / 1湖北省八校2025届高三上学期迎国庆联合教学质量检测数学试题
1.(2024高三上·湖北月考)设集合,,,则(  )
A. B. C. D.
2.(2024高三上·湖北月考)如图,平行四边形中,,,若,,则(  )
A. B.
C. D.
3.(2024高三上·湖北月考)已知数列的前项和为,且,若,其前项和为,则(  )
A. B. C. D.
4.(2024高三上·湖北月考)某学校组织学生开展研学旅行,准备从4个甲省景区,3个乙省景区,2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行,则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是(  )
A. B. C. D.
5.(2024高三上·湖北月考)已知函数在上有且仅有两个零点,则的取值范围是(  )
A. B. C. D.
6.(2024高三上·湖北月考)已知点,,点是圆上任意一点,则面积的最小值为(  )
A.6 B. C. D.
7.(2024高三上·湖北月考)椭圆,若椭圆上存在不同的两点关于直线对称,则实数的取值范围(  )
A. B. C. D.
8.(2024高三上·湖北月考)已知定义在上的函数满足:对任意的,,都有,且.满足不等式的x的取值范围是(  )
A. B. C. D.
9.(2024高三上·湖北月考)已知复数,下列结论正确的有(  )
A.若,则
B.若,则
C.若复数满足,则在复平面对应的点是
D.若是关于的方程的一个根,则
10.(2024高三上·湖北月考)设正项等比数列的公比为q,前n项和为,前n项积为,则下列选项正确的是(  )
A.
B.若,则
C.若,则当取得最小值时,
D.若,则
11.(2024高三上·湖北月考)在正三棱柱中,,点满足,则下列说法正确的是(  )
A.当时,点在棱上
B.当时,点到平面的距离为定值
C.当时,点在以的中点为端点的线段上
D.当时,平面
12.(2024高三上·湖北月考)已知的内角所对的边分别为a、b、c,,为边上一点,满足,且.则的最小值为   .
13.(2024高三上·湖北月考)如图,半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中,,.“果圆”与x轴的交点分别为、,若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得,则的取值范围为   .
14.(2024高三上·湖北月考)函数满足恒成立,则的取值范围是   .
15.(2024高三上·湖北月考)某学校食堂有两家餐厅,张同学第1天选择餐厅用餐的概率为.从第2天起,如果前一天选择餐厅用餐,那么次日选择餐厅用餐的概率为;如果前一天选择餐厅用餐,那么次日选择餐厅用餐的概率为.设他第天选择餐厅用餐的概率为.
(1)求的值及关于的表达式;
(2)证明数列是等比数列,并求出的通项公式.
16.(2024高三上·湖北月考)已知,,函数.
(1)求函数的解析式及对称中心;
(2)若,求的值;
(3)在锐角中,角A,B,C分别为a,b,c三边所对的角,若,,求周长的取值范围.
17.(2024高三上·湖北月考)如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,.
(1)求证:平面.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)在棱上是否存在点,使得平面 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
18.(2024高三上·湖北月考)如图,已知椭圆过点,焦距为,斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点,且直线均不与轴垂直.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,求的方程;
(3)记直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值.
19.(2024高三上·湖北月考)设函数的导函数为,若对任意恒成立,则称函数在区间上的“一阶有界函数”.
(1)判断函数和是否为上的“一阶有界函数”,并说明理由;
(2)若函数为上的“一阶有界函数”,且在上单调递增,设,为函数图象上相异的两点,直线的斜率为,试判断“”是否正确,并说明理由;
(3)若函数为区间上的“一阶有界函数”,求的取值范围.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】集合间关系的判断;交集及其运算
【解析】【解答】因为,所以且,
所以.
故答案为:C.
【分析】本题考查集合的基本关系.先通过变形可得:,再结合,可得.且,据此可判断A选项和B选项;进而可得,据此可判断C选项和D选项.
2.【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为四边形为平行四边形,且,,
所以,即①,
又,即②,
由①②得到,又,,所以.
故答案为:D
【分析】本题考查平面向量基本定理.先利用平行四边形的性质和平面向量的加法运算可推出:和,两个式子相加可得:,再将,进行替换,可求出答案.
3.【答案】C
【知识点】数列的求和;通项与前n项和的关系
【解析】【解答】当时,由可得,
两式相减可得,
当,满足上式,
所以恒成立,
所以,
所以;时,.
所以,故选择支ABD错误,
当时,.
故答案为:C.
【分析】本题考查数列通项与前n项和的关系,数列的求和.先求出,利用通项与前n项和的关系:,可求出,进而可求出,利用的值可排除部分选择A,B,D选项,再利用放缩法可得:,利用裂项相消法进行求和可求出答案.
4.【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式;排列、组合的实际应用
【解析】【解答】设样本空间为,则,
设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A,
则,
所以.
故答案为:B
【分析】本题考查古典型概率.先求出,设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A,利用组合数可求出,再利用古典概型的计算公式可求出概率.
5.【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【解答】因为,
令,则,令,得到,
所以或,令,得到或,令,得到或,
又在上有且仅有两个零点,所以在上有且仅有两个零点,
所以,得到,
故答案为:B
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先利用降幂升角公式和辅助角公式化简函数解析式可得:
,采用换元法令可得:,令,得到或,令,可求出函数的零点,再根据函数在上有且仅有两个零点,可求出的取值范围.
6.【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式;点与圆的位置关系
【解析】【解答】两点,,则,直线方程为,
圆的圆心,半径,
点到直线的距离,
因此点到直线距离的最小值为,
所以面积的最小值是.
故答案为:D
【分析】本题考查点与圆的位置关系.先利用两点间的距离公式求出,再求出直线的方程,利用点到直线的距离可求出圆心到直线的距离,利用点与圆的位置关系可求出:点到直线距离的最小值,即三角形的高的最小值,利用三角形的面积公式可求出面积的最小值
7.【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】椭圆,即:,
设椭圆上两点关于直线对称,中点为,
则,,
所以,
所以,所以,
代入直线方程得,即,
因为在椭圆内部,所以,
解得 ,
即的取值范围是.
故答案为:B
【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系.设,中点为,j将A,B两点代入椭圆的方程,两式相减,再利用点差法,再结合两点关于直线对称可求出点的坐标,再根据在椭圆内部,可列出不等式,解不等式可求出实数的取值范围 .
8.【答案】B
【知识点】函数单调性的性质;对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解:将不等式
化简可得,
令,可得,
即对任意的,,都有,
所以函数在上单调递减,
则等价于,
即,可得,
又因为,所以,
所以等价于,
因此可得,解得,
可得x的取值范围是.
故答案为:B.
【分析】根据对数运算法则将不等式变形进行构造函数,由函数单调性定义判断出函数在上的单调性,将原不等式等价于,再利用函数的单调性得出满足不等式的x的取值范围.
9.【答案】C,D
【知识点】复数的模;复数运算的几何意义
【解析】【解答】A.若,则不一定成立,比如,
满足,但,不满足,A错误;
B.比如,满足,
由复数定义可知,两个复数不能比大小,故大小无法判断,B错误;
C.,
所以在复平面对应的点是,C正确;
D.若是关于的方程的一个根,
则为方程另一个根,
故,即,D正确.
故答案为:CD
【分析】本题考查复数的模长公式,复数的几何意义.举出反例,利用复数的模长公式进行计算,再利用完全平方公式进行计算,可判断A选项;举出反例,再根据两个复数不能比大小,据此可判断B选项;先利用复数的除法运算可求出复数,据此可找出复数的对应点,据此可判断C选项;根据复数方程的根可推出为方程另一个根,利用一元二次方程根与系数的关系可求出p的值,可判断D选项.
10.【答案】A,B
【知识点】等比数列的前n项和;等比数列的性质
【解析】【解答】因为数列为正项等比数列,则,
A:因为

所以,A正确;
B:若,则,
所以,B正确;
C:因为,则,
当且仅当时,等号成立,
若取得最小值,则,
即,解得,C错误;
D:例如,
则,,
可得,
因为,则,可得,即,
符合题意,但,D错误;
故答案为:AB
【分析】本题考查等比数列的前n项和,等比数列的性质.根据等比数列的前n项和可得:
,据此可推出,进而可判断A选项;根据,利用等比数列的性质可得:,再进行计算可判断B选项;先利用等比数列的性质可得,再利用基本不等式进行化简可得:,进而推出,利用等比数列的通项公式可求出,判断C选项;举出例子,再根据 ,利用通项公式和前n项积公式进行化简可推出与矛盾,据此可判断D选项.
11.【答案】B,C,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解:对于A,当时,,
又,所以即,又,
所以三点共线,故点在上,故选项A错误;
对于B,当时,,
又,所以即,又,
所以三点共线,故点在棱上,
由三棱柱性质和线面平行的性质可得平面,
所以点到平面的距离为定值,故选项B正确;
对于C,当时,取的中点的中点,
所以且,,即,
所以即,又,
所以三点共线,故在线段上,故选项C正确;
对于D,当时,点为的中点,连接,
由题为正三角形,所以,又由正三棱柱性质可知,
因为,平面,所以平面,
又平面,所以,
因为,所以,又,
所以,所以,
所以,
设与相交于点O,则,即,
又,平面,
所以平面,因为平面,
所以,由正方形性质可知,
又,平面,
所以平面,故选项D正确.
故选:BCD.
【分析】对于A,由即可判断;对于B,由和平面即可判断;对于C,分别取和的中点和,由即即可判断;对于D,先根据线面垂直的判定(如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面)可求证平面,接着即可求证平面,进而即可求证平面.
12.【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用;正弦定理
【解析】【解答】由得平分.因为,
故由,可得,
化简得,即,
则.
因为,故,
当且仅当,即时,等号成立,
此时取得最小值9.
故答案为:9
【分析】本题考查利用正弦定理解三角形,利用基本不等式求最值.根据BD平分,利用三角形等面积法可得:,利用三角形的面积公式进行化简可得:,变形可得:代入所求式化简可得:,利用基本不等式进行计算可求出的最小值.
13.【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】设,,

∵,
∴,



或(舍去),
令,则,
∵,
∴,
解得,
故答案为:
【分析】本题考查平面向量的数量积.设,,进而可求出,,再结合,利用平面向量的数量积公式进行计算可推出,采用换元法令,则,利用余弦函数的有界性,可求出 的取值范围.
14.【答案】
【知识点】函数恒成立问题;利用导数研究函数最大(小)值
【解析】【解答】,设,在上单调递增,

令,,当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以,又,
则的取值范围为:
故答案为:
【分析】本题考查函数的恒成立问题.根据,变形可得:,设,利用对数函数的单调性和一次函数的单调性可得:在上单调递增,据此可将转化为,令,求出导函数,利用导函数可求出的最值,进而可求出实数a的取值范围.
15.【答案】(1)设“第天去餐厅用餐”,“第天去餐厅用餐”,则,且与互斥.根据题意得




即.
(2)又因为,所以是以为首项,为公比的等比数列,
所以,
从而.
【知识点】等比数列概念与表示;全概率公式
【解析】【分析】 本题考查全概率公式,等比数列的定义.(1)表示出事件,再根据题意可得:,利用互斥事件的概率公式可求出,再根据第天选择餐厅用餐的概率可得:,再进行化简可求出关于的表达式;
(2)由(1),通过变形可得:,利用等比数列的定义可推出是等比数列,利用等比数列的通项公式可求出.
(1)设“第天去餐厅用餐”,“第天去餐厅用餐”,
则,且与互斥.根据题意得




即.
(2)又因为,所以是以为首项,为公比的等比数列,
所以,
从而.
16.【答案】(1),
令,则,,
函数的对称中心为.
(2)由可知,,
化简有,



(3)由可得,即,
又,所以,
由正弦定理有,
所以

因为为锐角三角形,所以,解得,
所以,则,
所以,则,
所以周长的取值范围为.
【知识点】正弦定理;函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质,利用正弦定理解三角形.(1)利用平面向量数量积公式,降幂升角公式,辅助角公式化简函数解析式可得:,根据正弦函数的图象和性质可得:对称中心为,解方程可求出函数的对称中心.
(2)根据,代入函数解析式化简可得,再将式子 ,利用两角差的余弦公式进行展开,利用辅助角公式化简后,再利用整体代入的思想可求出答案;
(3)根据,代入函数解析式进行化简可求出,再利用正弦定理进行边化角,利用两角和的正弦公式及辅助角公式化简可得:,再根据为锐角三角形可求出的取值范围,利用正弦函数的图象和性质可求出的取值范围.
(1),
令,则,,
函数的对称中心为.
(2)由可知,,
化简有,


(3)由可得,即,
又,所以,
由正弦定理有,
所以

因为为锐角三角形,所以,解得,
所以,则,
所以,则,
所以周长的取值范围为.
17.【答案】(1)∵平面平面,且平面平面,且,平面,
∴平面,
∵平面,∴,
又,且,平面,
∴平面;
(2)取中点为,连接,又∵,∴.则,
∵,∴,则,
以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
则,,,,
设为平面的一个法向量,
则由,得,令,则.
设与平面的夹角为,
则;
(3)假设在棱上存在点点,使得平面.
设,,
由(2)知,,,,则,,

由(2)知平面的一个法向量.
若平面,则,
解得,又平面,
故在棱上存在点点,使得平面,此时.

【知识点】直线与平面垂直的判定;用空间向量研究直线与平面的位置关系;用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定,利用空间向量求直线与平面所成的角,利用空间向量研究直线与平面的位置关系.(1)根据条件,利用平面与平面垂直的性质可推出平面,利用直线与平面垂直的性质可得:,再根据,利用直线与平面垂直的判定定理可证明结论.
(2)先利用等腰三角形的性质可证明,以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,写出对应点的坐标,求出,,,,进而可求出平面的一个法向量,再利用空间向量夹角计算公式可求出直线与平面所成角的正弦值.
(3)设,,要使平面,则,利用空间向量的数量积公式可求出,进而可求出 求出的值 .

(1)∵平面平面,且平面平面,
且,平面,
∴平面,
∵平面,∴,
又,且,平面,
∴平面;
(2)取中点为,连接,
又∵,∴.则,
∵,∴,则,
以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
则,,,,
设为平面的一个法向量,
则由,得,令,则.
设与平面的夹角为,
则;
(3)假设在棱上存在点点,使得平面.
设,,
由(2)知,,,,则,,

由(2)知平面的一个法向量.
若平面,则,
解得,又平面,
故在棱上存在点点,使得平面,此时.
18.【答案】(1)由题意得解得,
故椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为,
由得,
由,得,
则.

解得或
当时,直线经过点,不符合题意,舍去;
当时,直线的方程为.
(3)直线,均不与轴垂直,所以,则且,
所以
为定值.
【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆方程,直线与椭圆的位置关系.(1)根据焦距为可得:,再将点 代入椭圆方程,再结合椭圆的关系式可列出方程组,解房出租可求出a和b进而可求出椭圆的方程;
(2)设直线的方程为,将直线的方程与椭圆方程进行联立,利用韦达定理可得:.,再利用弦长公式可列出方程,解方程可求出m的值,再进行检验科求出直线的方程;
(3)利用直线的斜率公式进行计算可得:,再将韦达定理代入中进行计算可求出斜率之积为定值.
(1)由题意得解得,
故椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为,
由得,
由,得,
则.

解得或
当时,直线经过点,不符合题意,舍去;
当时,直线的方程为.
(3)直线,均不与轴垂直,所以,则且,
所以
为定值.
19.【答案】(1)由,在上恒成立,
故是上的“一阶有界函数”;
由,,
当,,故不是上的“一阶有界函数”;
(2)若函数为上的“一阶有界函数”,则,又函数在上单调递增,则,因此可得,
令,则,在上单调递减,
设,,其中,
则,故;
又在上单调递增,则,故,因此可得;
(3)由函数,则,若为区间上的“一阶有界函数”,则,
即,恒成立,
故,即,则,
,即,则,因此.
令,则,
其中,,在区间上单调递增,
故在区间上单调递增,
又,,所以存在,
使,即,则,
当,, 当,,
在区间单调递减,在区间单调递增,
故,
又对称轴为,
因此在区间上单调递减,恒成立,
即,
故.
【知识点】函数单调性的判断与证明;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性,函数的恒成立问题.
(1)先求出导函数 ,,进而可推出和,再根据“一阶有界函数”的定义可判断和是否为上的“一阶有界函数”;
(2)根据函数为上的“一阶有界函数”根据一阶有界函数的定义可推出:,设,在求出导函数,j进而可推出,据此可推出的单调性,进而可得函数单调递增,再根据定义进行列式,化简可得判断;
(3)先求出导函数,再根据函数为区间上的“一阶有界函数”,据此可列出不等式,解不等式可求出大致满足的范围.在构造函数,求出导函数,利用导数可判断函数的单调性,进而可求出最小值,据此可确定实数a的取值范围.
(1)由,在上恒成立,故是上的“一阶有界函数”;
由,,当,,故不是上的“一阶有界函数”;
(2)若函数为上的“一阶有界函数”,则,
又函数在上单调递增,则,因此可得,
令,则,在上单调递减,
设,,其中,
则,故;
又在上单调递增,则,故,因此可得;
(3)由函数,则,
若为区间上的“一阶有界函数”,则,
即,恒成立,
故,即,则,
,即,则,因此.
令,则,
其中,,在区间上单调递增,
故在区间上单调递增,
又,,所以存在,
使,即,则,
当,, 当,,
在区间单调递减,在区间单调递增,
故,
又对称轴为,
因此在区间上单调递减,恒成立,
即,
故.
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