吉林省长春市第二中学2025届高三上学期第二次调研考试数学试题
1．（2024高三上·朝阳模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
因为，所以，则集合，所以.
故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式求得集合A；求对数函数的值域得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高三上·朝阳模拟）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，
故，则，
由得，故，
故公差为.
故答案为：C.
【分析】利用的关系式得出数列第七项的值，再结合等差数列的性质得出数列第六项的值以及等差数列的公差的值.
3．（2024高三上·朝阳模拟）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的图象与性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
由，左边分子分母同时除以，得，
解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，选项A正确.
故选：A
【分析】由，左边分子分母同时除以，利用齐次式法可求出，而求得，利用“小推大，大不能推小”及充分条件、必要条件的定义判断得解.
4．（2024高三上·朝阳模拟）设 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由 得： ， 即 ，
所以 ，又 ，所以当 时， ，
故答案为：C.
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α-β）=cosα，然后验证C满足等式sin（α-β）=cosα，即可得到正确的选项．
5．（2024高三上·朝阳模拟）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：根据题意得，
又因为函数在区间上单调递增，此时，
所以，解得，
所以的最大值为.
故选：B.
【分析】先根据图象的平移变换“左加右减”以及三角恒等变换可得到，再根据在区间上单调递增，结合正弦函数的性质在区间单调递增即可得到的最大值.
6．（2024高三上·朝阳模拟）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当时，，
函数是正实数集的上的增函数，
因为，因此，显然，A错误；
B、当时，，
函数是正实数集的上的增函数，
因为，因此，显然，B错误；
C和D、因为，所以
由，
构造函数，显然该函数单调递增，
由，因此选项C不正确，选项D正确，
故答案为：D
【分析】本题考查利用放缩法比较大小，利用函数的单调性比较大小.当时，化简已知式子后，再构造函数，判断函数的单调性，可推出a<2b，据此可判断A选项；当时，化简已知式子后，再构造函数，判断函数的单调性，可推出a>2b，据此可判断B选项；通过放缩可得：，再构造函数，判断函数的单调性，可推出，据此可判断C选项和D选项；
7．（2024高三上·朝阳模拟）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若、和在上单调递增，则有个；
综上所述：共有个.
故答案为：B.
【分析】根据对数函数，指数函数，幂函数的单调性需要分四种情况：若和在上单调递增，在上单调递减；若和在上单调递增，在上单调递减；若和在上单调递增，在上单调递减；若、和在上单调递增；依次求出各种情况的个数，再利用分类加法计数原理可求出答案.
8．（2024高三上·朝阳模拟）现定义如下：当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（ ）
（1）存在与有无穷个交点
（2）存在与有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，，则，
又因为，则由延展函数定义可得，
同理可得，当，；，
任意，当时，；
当时，，则，则；
同理可得，当时，，；
当时，；
当，；当，，；
则任意时，当，
如图，作出与大致图象，
因为，如图可知，不存在直线与图象有无穷个交点，故（1）不成立；
又因为当，，
故当时，
直线与的图象在区间的函数部分重合，
即有无穷个交点，故（2）成立.
故答案为：D.
【分析】由延展函数的定义求出分段函数的解析式，再由解析式作出分段函数的图象，再根据数形结合可得存在与有无穷个交点.
9．（2024高三上·朝阳模拟）已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．在上单调递增
D．若，则的最小值为
【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由函数的图象关于直线对称可得：
，解得：，
又因为，所以，选项A是错误的；
B、，则为偶函数，选项B是正确的；
C、令z=x，当，，
此时正弦函数在区间上不单调，选项C是错误的；
D、因为，所以，
而，
则的最小值就是半个周期，即，选项D是正确的.
故选：BD.
【分析】利用对称轴结合正弦函数的性质可知，结合，可解得，由此可判断选项A是错误；得出函数解析式，就可以得，从而判断选项B是正确的；利用换元，求得新元的取值范围，可判断正弦函数在此区间不单调，可判断选项C错误；利用可确定时，一定是相邻的两个最值点取到等号，即为半个周期，可确定选项D是正确的.
10．（2024高三上·朝阳模拟）若正数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、因为且，
可得，当且仅当取得等号；
所以，选项A错误；
B、，当且仅当时取得等号，选项B正确；
C、令，，
故在单调递增，，即当，；
，又，即，解得，故；
故，也即，选项C正确；
D、令，则
，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故的最大值为；
由C可知，，则，选项D正确；
故选：BCD.
【分析】A、由结合基本不等式求得，利用对数的运算可知，从而判断选项A错误；B、直接使用基本不等式，结合指数运算可知，即可判断选项B正确；C、构造函数，利用导数研究其单调性和值域，将结合转化为，即可判断选项C正确；D、构造函数，利用导数研究其最大值，结合适度放缩，即可判断选项D正确.
11．（2024高三上·朝阳模拟）已知定义域均为的函数与，其导函数分别为与，且，，函数的图像关于点对称，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．8是函数的一个周期
C．
D．
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A、因为，令，则，
即，所以，
用替换可得，即，
又，则，，
所以，
令，可得，所以，
再由，令，则，
所以，即，
用替换，可得，
且，即，
将代入，可得，
所以函数关于直线对称，故选项A正确；
B、因为函数的图像关于点对称，即，
所以是函数的一个周期，故选项B正确；
C、由，令，则，
因为函数关于直线对称，则，
且函数的图像关于点对称，所以，
则，故选项C错误；
D、由，令可得，
令可得，
则，
又8是函数的一个周期，且函数关于直线对称，
则，，
又函数的图像关于点对称，即，
令，则，所以，
则，故选项D正确；
故选：ABD
【分析】A、根据题意，由，进行换元变换可知，
结合，以及再次换元最终可知，即函数关于直线对称，可判断选项A正确；B、由函数的图像关于点对称，即，
所以是函数的一个周期，可判断选项B正确；CD、通过赋值计算，结合函数关于直线对称及函数的图像关于点对称，可判断选项CD
12．（2024高三上·朝阳模拟）已知角的终边经过点，则 ．
【答案】5
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为角的终边经过点，所以，
则.
故填：5.
【分析】利用任意角三角函数的定义可知，再结合三角函数诱导公式可知，进而分子分母同时除以，利用商数关系即可求解.
13．（2024高三上·朝阳模拟）设当 时，函数 取得最大值，则 .
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】f(x)＝sin x－2cos x＝ ＝ sin(x－φ)，其中sin φ＝ ，cos φ＝ ，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋ ＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－ 。
【分析】利用辅助角公式化简函数为三角型函数，再利用换元法将三角型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象，从而求出三角型函数f(x)的最大值，进而求出对应的角的值，进而结合诱导公式求出角的余弦值。
14．（2024高三上·朝阳模拟）已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【知识点】导数的几何意义；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：当时，单调递减，图象为以和轴为渐近线的双曲线的一支；
当时，有，可得在单调递减，在单调递增
且，，画出图象如下：
由题意，有唯一解，设，
则，（否则至少对应2个，不满足题意），
原方程化为，即，
该方程存在唯一解，且.
转化为与有唯一公共点，且该点横坐标在，画图如下：
情形一：与相切，联立得，
由解得，此时满足题意：
情形二：与有唯一交点，其中一个边界为(与渐近线平行)，
此时交点坐标为，满足题意；
另一个边界为与相切，即过点的切线方程，
设切点为，则，解得，
所以求得，此时左侧的交点D横坐标为满足条件，右侧存在切点E，故该边界无法取到；
所以的范围为.
综上，的取值范围为或.
故答案为：或
【分析】本题考查函数与方程的综合应用.先进行换元，令，转化为方程存在唯一解，且，作出与的图象有唯一公共点；分两种情况进行讨论：情形一：与相切；情形二：与有唯一交点，其中一个边界为(与渐近线平行)；观察图形可求出实数a的取值范围，进而求出答案.
15．（2024高三上·朝阳模拟）已知函数．
（1）求最小正周期；
（2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的对称中心；
（3）若在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：因为
所以，函数的最小正周期为．
（2）解：将函数的图象的横坐标缩小为原来的，
可得到函数的图象，
再将的函数图象向右平移个单位，
最后得到函数的图象，
则，
令=，得，
所以，对称中心为，.
（3）解：当时，，
则，所以，
所以在区间上的值域为．
由，得，
由在上恒成立，
得，解得，
∴实数的取值范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式，化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数最小正周期公式，从而求出的最小正周期.
（2）根据正弦型函数的图象变换得出函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象的对称性，从而得出函数的对称中心.
（3）由x的取值范围和不等式的基本性质结合已知条件，可得在上恒成立，结合正弦型函数的图象求最值的方法，从而求出函数的值域，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）因为
，
所以函数的最小正周期为．
（2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，
可得到函数的图象，
再将的函数图象向右平移个单位，最后得到函数的图象，
则，
令=，得，
所以对称中心为，.
（3）当时，，
则，
所以，
所以在区间上的值域为．
由，得，
由在上恒成立，
得，解得，
∴实数的取值范围为．
16．（2024高三上·朝阳模拟）已知函数（）.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）解：由题意可知，函数的定义域为，
导数，
当时，，；
当时，，；；
综上，当时，函数在区间上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）解：由（1）可知，当时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以函数，
要证，
需证，
即需证恒成立.
令，
则，
所以函数在区间单调递减，
故，
所以恒成立，
所以当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过对参数分类讨论，即可求出函数的单调性；
（2）根据（1）结论判断函数的单调性，并求出最小值，再通过最小值与在指定区间作比较即可得证.
（1）由题意可知，函数的定义域为，
导数，
当时，，；
当时，，；；
综上，当时，函数在区间上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以函数，
要证，
需证，
即需证恒成立.
令，
则，
所以函数在区间单调递减，
故，
所以恒成立，
所以当时，.
17．（2024高三上·朝阳模拟）各项均不为0的数列对任意正整数满足：．
（1）若为等差数列，求；
（2）若，求的前项和．
【答案】（1）解：由题意，
当时，，
两式相减得，
因为为等差数列，在式子：中令，
得，所以，
所以或，
若，则，但这与矛盾，舍去，
所以.
（2）解：因为，所以，
而当时，，所以此时，
所以此时，
而也满足上式，
综上所述，的前项和.
【知识点】等差数列的性质；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由递推关系求得，结合已知数列为等差数列，再令，求解即可；
（2）先求，由时，，推出的通项，再根据等差数列的求和公式计算即可.
18．（2024高三上·朝阳模拟）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．
（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：由题可知，
因为，所以当时，的最小值为．
（2）解：由题设知，的可能取值为1，2，3，4．
①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．
因此，，
②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或
1001，或0110，或1100，或0011．
因此，
③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．
因此，，
④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．
因此，．
所以的分布列为
1 2 3 4
因此，的数学期望．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）三次接收到的信号数字均相同，接收的信号数字全是0或全是1，两个事件互斥，而每次信号的传输相互独立，由独立乘法P（AB）=P（A）P（B）、互斥加法P（A+B）=P（A）+P（B）得函数表达式，进一步即可求解最小值；
（2）的可能取值为1，2，3，4．由独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得离散型分布列以及数学期望.
（1）由题可知，
因为，所以当时，的最小值为．
（2）由题设知，的可能取值为1，2，3，4．
①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．
因此，，
②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．
因此，，
③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．
因此，，
④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．
因此，．
所以的分布列为
1 2 3 4
因此，的数学期望．
19．（2024高三上·朝阳模拟）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．
（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
（2）已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明：在曲线取一点．
过点作的切线分别交于，
因为，
可得，即.
（2）解：①由函数，可得，
不妨设，
曲线在处的切线方程为，
即
同理曲线在处的切线方程为，
假设与重合，则，
代入化简可得，
两式消去，可得，整理得，
由（1）的结论知，与上式矛盾
即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合．
②当时，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以
下证：当时，恒成立．
因为，所以
设
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，
可得，
由知恒成立，即在为增函数．
所以，即在为减函数，所以成立，
综上所述，实数的取值范围是
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据题意，设过点作的切线分别交于，结合，即可得证；
（2）①求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合由（1）的结论，即可得证；
②根据题意，转化为时，在恒成立，
设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解.
（1）解：在曲线取一点．
过点作的切线分别交于，
因为，
可得，即．
（2）解：①由函数，可得，
不妨设，曲线在处的切线方程为
，即
同理曲线在处的切线方程为，
假设与重合，则，
代入化简可得，
两式消去，可得，整理得，
由（1）的结论知，与上式矛盾
即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合．
②当时，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以，
下证：当时，恒成立．
因为，所以
设
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，可得，
由知恒成立，即在为增函数．
所以，即在为减函数，所以成立，
综上所述，实数的取值范围是
1 / 1吉林省长春市第二中学2025届高三上学期第二次调研考试数学试题
1．（2024高三上·朝阳模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·朝阳模拟）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024高三上·朝阳模拟）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高三上·朝阳模拟）设 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·朝阳模拟）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．3
6．（2024高三上·朝阳模拟）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·朝阳模拟）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
8．（2024高三上·朝阳模拟）现定义如下：当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（ ）
（1）存在与有无穷个交点
（2）存在与有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.
9．（2024高三上·朝阳模拟）已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．在上单调递增
D．若，则的最小值为
10．（2024高三上·朝阳模拟）若正数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高三上·朝阳模拟）已知定义域均为的函数与，其导函数分别为与，且，，函数的图像关于点对称，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．8是函数的一个周期
C．
D．
12．（2024高三上·朝阳模拟）已知角的终边经过点，则 ．
13．（2024高三上·朝阳模拟）设当 时，函数 取得最大值，则 .
14．（2024高三上·朝阳模拟）已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是 .
15．（2024高三上·朝阳模拟）已知函数．
（1）求最小正周期；
（2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的对称中心；
（3）若在上恒成立，求实数m的取值范围．
16．（2024高三上·朝阳模拟）已知函数（）.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：.
17．（2024高三上·朝阳模拟）各项均不为0的数列对任意正整数满足：．
（1）若为等差数列，求；
（2）若，求的前项和．
18．（2024高三上·朝阳模拟）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．
（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．
19．（2024高三上·朝阳模拟）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．
（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
（2）已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
因为，所以，则集合，所以.
故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式求得集合A；求对数函数的值域得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，
故，则，
由得，故，
故公差为.
故答案为：C.
【分析】利用的关系式得出数列第七项的值，再结合等差数列的性质得出数列第六项的值以及等差数列的公差的值.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的图象与性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
由，左边分子分母同时除以，得，
解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，选项A正确.
故选：A
【分析】由，左边分子分母同时除以，利用齐次式法可求出，而求得，利用“小推大，大不能推小”及充分条件、必要条件的定义判断得解.
4．【答案】C
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由 得： ， 即 ，
所以 ，又 ，所以当 时， ，
故答案为：C.
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α-β）=cosα，然后验证C满足等式sin（α-β）=cosα，即可得到正确的选项．
5．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：根据题意得，
又因为函数在区间上单调递增，此时，
所以，解得，
所以的最大值为.
故选：B.
【分析】先根据图象的平移变换“左加右减”以及三角恒等变换可得到，再根据在区间上单调递增，结合正弦函数的性质在区间单调递增即可得到的最大值.
6．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当时，，
函数是正实数集的上的增函数，
因为，因此，显然，A错误；
B、当时，，
函数是正实数集的上的增函数，
因为，因此，显然，B错误；
C和D、因为，所以
由，
构造函数，显然该函数单调递增，
由，因此选项C不正确，选项D正确，
故答案为：D
【分析】本题考查利用放缩法比较大小，利用函数的单调性比较大小.当时，化简已知式子后，再构造函数，判断函数的单调性，可推出a<2b，据此可判断A选项；当时，化简已知式子后，再构造函数，判断函数的单调性，可推出a>2b，据此可判断B选项；通过放缩可得：，再构造函数，判断函数的单调性，可推出，据此可判断C选项和D选项；
7．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若、和在上单调递增，则有个；
综上所述：共有个.
故答案为：B.
【分析】根据对数函数，指数函数，幂函数的单调性需要分四种情况：若和在上单调递增，在上单调递减；若和在上单调递增，在上单调递减；若和在上单调递增，在上单调递减；若、和在上单调递增；依次求出各种情况的个数，再利用分类加法计数原理可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，，则，
又因为，则由延展函数定义可得，
同理可得，当，；，
任意，当时，；
当时，，则，则；
同理可得，当时，，；
当时，；
当，；当，，；
则任意时，当，
如图，作出与大致图象，
因为，如图可知，不存在直线与图象有无穷个交点，故（1）不成立；
又因为当，，
故当时，
直线与的图象在区间的函数部分重合，
即有无穷个交点，故（2）成立.
故答案为：D.
【分析】由延展函数的定义求出分段函数的解析式，再由解析式作出分段函数的图象，再根据数形结合可得存在与有无穷个交点.
9．【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由函数的图象关于直线对称可得：
，解得：，
又因为，所以，选项A是错误的；
B、，则为偶函数，选项B是正确的；
C、令z=x，当，，
此时正弦函数在区间上不单调，选项C是错误的；
D、因为，所以，
而，
则的最小值就是半个周期，即，选项D是正确的.
故选：BD.
【分析】利用对称轴结合正弦函数的性质可知，结合，可解得，由此可判断选项A是错误；得出函数解析式，就可以得，从而判断选项B是正确的；利用换元，求得新元的取值范围，可判断正弦函数在此区间不单调，可判断选项C错误；利用可确定时，一定是相邻的两个最值点取到等号，即为半个周期，可确定选项D是正确的.
10．【答案】B,C,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、因为且，
可得，当且仅当取得等号；
所以，选项A错误；
B、，当且仅当时取得等号，选项B正确；
C、令，，
故在单调递增，，即当，；
，又，即，解得，故；
故，也即，选项C正确；
D、令，则
，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故的最大值为；
由C可知，，则，选项D正确；
故选：BCD.
【分析】A、由结合基本不等式求得，利用对数的运算可知，从而判断选项A错误；B、直接使用基本不等式，结合指数运算可知，即可判断选项B正确；C、构造函数，利用导数研究其单调性和值域，将结合转化为，即可判断选项C正确；D、构造函数，利用导数研究其最大值，结合适度放缩，即可判断选项D正确.
11．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A、因为，令，则，
即，所以，
用替换可得，即，
又，则，，
所以，
令，可得，所以，
再由，令，则，
所以，即，
用替换，可得，
且，即，
将代入，可得，
所以函数关于直线对称，故选项A正确；
B、因为函数的图像关于点对称，即，
所以是函数的一个周期，故选项B正确；
C、由，令，则，
因为函数关于直线对称，则，
且函数的图像关于点对称，所以，
则，故选项C错误；
D、由，令可得，
令可得，
则，
又8是函数的一个周期，且函数关于直线对称，
则，，
又函数的图像关于点对称，即，
令，则，所以，
则，故选项D正确；
故选：ABD
【分析】A、根据题意，由，进行换元变换可知，
结合，以及再次换元最终可知，即函数关于直线对称，可判断选项A正确；B、由函数的图像关于点对称，即，
所以是函数的一个周期，可判断选项B正确；CD、通过赋值计算，结合函数关于直线对称及函数的图像关于点对称，可判断选项CD
12．【答案】5
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为角的终边经过点，所以，
则.
故填：5.
【分析】利用任意角三角函数的定义可知，再结合三角函数诱导公式可知，进而分子分母同时除以，利用商数关系即可求解.
13．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】f(x)＝sin x－2cos x＝ ＝ sin(x－φ)，其中sin φ＝ ，cos φ＝ ，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋ ＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－ 。
【分析】利用辅助角公式化简函数为三角型函数，再利用换元法将三角型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象，从而求出三角型函数f(x)的最大值，进而求出对应的角的值，进而结合诱导公式求出角的余弦值。
14．【答案】或
【知识点】导数的几何意义；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：当时，单调递减，图象为以和轴为渐近线的双曲线的一支；
当时，有，可得在单调递减，在单调递增
且，，画出图象如下：
由题意，有唯一解，设，
则，（否则至少对应2个，不满足题意），
原方程化为，即，
该方程存在唯一解，且.
转化为与有唯一公共点，且该点横坐标在，画图如下：
情形一：与相切，联立得，
由解得，此时满足题意：
情形二：与有唯一交点，其中一个边界为(与渐近线平行)，
此时交点坐标为，满足题意；
另一个边界为与相切，即过点的切线方程，
设切点为，则，解得，
所以求得，此时左侧的交点D横坐标为满足条件，右侧存在切点E，故该边界无法取到；
所以的范围为.
综上，的取值范围为或.
故答案为：或
【分析】本题考查函数与方程的综合应用.先进行换元，令，转化为方程存在唯一解，且，作出与的图象有唯一公共点；分两种情况进行讨论：情形一：与相切；情形二：与有唯一交点，其中一个边界为(与渐近线平行)；观察图形可求出实数a的取值范围，进而求出答案.
15．【答案】（1）解：因为
所以，函数的最小正周期为．
（2）解：将函数的图象的横坐标缩小为原来的，
可得到函数的图象，
再将的函数图象向右平移个单位，
最后得到函数的图象，
则，
令=，得，
所以，对称中心为，.
（3）解：当时，，
则，所以，
所以在区间上的值域为．
由，得，
由在上恒成立，
得，解得，
∴实数的取值范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式，化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数最小正周期公式，从而求出的最小正周期.
（2）根据正弦型函数的图象变换得出函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象的对称性，从而得出函数的对称中心.
（3）由x的取值范围和不等式的基本性质结合已知条件，可得在上恒成立，结合正弦型函数的图象求最值的方法，从而求出函数的值域，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）因为
，
所以函数的最小正周期为．
（2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，
可得到函数的图象，
再将的函数图象向右平移个单位，最后得到函数的图象，
则，
令=，得，
所以对称中心为，.
（3）当时，，
则，
所以，
所以在区间上的值域为．
由，得，
由在上恒成立，
得，解得，
∴实数的取值范围为．
16．【答案】（1）解：由题意可知，函数的定义域为，
导数，
当时，，；
当时，，；；
综上，当时，函数在区间上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）解：由（1）可知，当时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以函数，
要证，
需证，
即需证恒成立.
令，
则，
所以函数在区间单调递减，
故，
所以恒成立，
所以当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过对参数分类讨论，即可求出函数的单调性；
（2）根据（1）结论判断函数的单调性，并求出最小值，再通过最小值与在指定区间作比较即可得证.
（1）由题意可知，函数的定义域为，
导数，
当时，，；
当时，，；；
综上，当时，函数在区间上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以函数，
要证，
需证，
即需证恒成立.
令，
则，
所以函数在区间单调递减，
故，
所以恒成立，
所以当时，.
17．【答案】（1）解：由题意，
当时，，
两式相减得，
因为为等差数列，在式子：中令，
得，所以，
所以或，
若，则，但这与矛盾，舍去，
所以.
（2）解：因为，所以，
而当时，，所以此时，
所以此时，
而也满足上式，
综上所述，的前项和.
【知识点】等差数列的性质；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由递推关系求得，结合已知数列为等差数列，再令，求解即可；
（2）先求，由时，，推出的通项，再根据等差数列的求和公式计算即可.
18．【答案】（1）解：由题可知，
因为，所以当时，的最小值为．
（2）解：由题设知，的可能取值为1，2，3，4．
①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．
因此，，
②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或
1001，或0110，或1100，或0011．
因此，
③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．
因此，，
④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．
因此，．
所以的分布列为
1 2 3 4
因此，的数学期望．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）三次接收到的信号数字均相同，接收的信号数字全是0或全是1，两个事件互斥，而每次信号的传输相互独立，由独立乘法P（AB）=P（A）P（B）、互斥加法P（A+B）=P（A）+P（B）得函数表达式，进一步即可求解最小值；
（2）的可能取值为1，2，3，4．由独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得离散型分布列以及数学期望.
（1）由题可知，
因为，所以当时，的最小值为．
（2）由题设知，的可能取值为1，2，3，4．
①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．
因此，，
②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．
因此，，
③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．
因此，，
④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．
因此，．
所以的分布列为
1 2 3 4
因此，的数学期望．
19．【答案】（1）证明：在曲线取一点．
过点作的切线分别交于，
因为，
可得，即.
（2）解：①由函数，可得，
不妨设，
曲线在处的切线方程为，
即
同理曲线在处的切线方程为，
假设与重合，则，
代入化简可得，
两式消去，可得，整理得，
由（1）的结论知，与上式矛盾
即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合．
②当时，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以
下证：当时，恒成立．
因为，所以
设
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，
可得，
由知恒成立，即在为增函数．
所以，即在为减函数，所以成立，
综上所述，实数的取值范围是
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据题意，设过点作的切线分别交于，结合，即可得证；
（2）①求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合由（1）的结论，即可得证；
②根据题意，转化为时，在恒成立，
设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解.
（1）解：在曲线取一点．
过点作的切线分别交于，
因为，
可得，即．
（2）解：①由函数，可得，
不妨设，曲线在处的切线方程为
，即
同理曲线在处的切线方程为，
假设与重合，则，
代入化简可得，
两式消去，可得，整理得，
由（1）的结论知，与上式矛盾
即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合．
②当时，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以，
下证：当时，恒成立．
因为，所以
设
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，可得，
由知恒成立，即在为增函数．
所以，即在为减函数，所以成立，
综上所述，实数的取值范围是
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