广东省佛山市南海区2025届高三摸底考试数学试题
1．（2024高三上·南海模拟）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·南海模拟）复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高三上·南海模拟）等差数列的首项为2，公差不为0．若成等比数列，则公差为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2024高三上·南海模拟）函数的最小正周期为（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．（2024高三上·南海模拟）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2024高三上·南海模拟）已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．（2024高三上·南海模拟）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·南海模拟）已知函数及其导函数的定义域均为，且对于恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·南海模拟）中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（ ）
A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为
B．李明获胜的概率为
C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为
D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为
10．（2024高三上·南海模拟）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增 B．是函数的极大值点
C．既无最大值，也无最小值 D．当时，有三个零点
11．（2024高三上·南海模拟）如图，几何体的底面是边长为6的正方形底面，，则（ ）
A．当时，该几何体的体积为45
B．当时，该几何体为台体
C．当时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为
D．当点到直线距离最大时，则
12．（2024高三上·南海模拟）的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
13．（2024高三上·南海模拟）在中，，点在线段上，且，则的面积为 ．
14．（2024高三上·南海模拟）定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆是“西瓜椭圆”，则 .若“西瓜椭圆”的右焦点为，直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过点，则 ．
15．（2024高三上·南海模拟）某区中考体育科目有必选项目和选考项目，其中篮球为一个选考项目．该区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：
性别 是否喜欢篮球 合计
喜欢 不喜欢
男生 450 150 600
女生 150 250 400
合计 600 400 1000
（1）依据的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；
（2）用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的喜欢篮球的600名初中学生中抽取8名学生做进一步调查，将这8名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X表示随机抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
附：参考数据
，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（2024高三上·南海模拟）如图，在四棱锥中，，，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（2024高三上·南海模拟）已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为．
（1）证明：直线的斜率为定值；
（2）为坐标原点，若的面积为，求直线的方程．
18．（2024高三上·南海模拟）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求的值；
（2）若，证明：；
（3）若在上有且仅有一个极值点，求正实数的取值范围．
19．（2024高三上·南海模拟）定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②：
①；
②．
（1）写出最小的“漂亮数”；
（2）若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；
（3）在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由题意可知：，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次不等式求出集合A，再根据交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用复数的除法运算法则得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数z在复平面内对应的点的坐标，再由点的坐标确定点所在的象限.
3．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
若成等比数列，则，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以公差为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和等比中项公式以及等差数列的通项公式，从而解方程得出满足要求的公差的值.
4．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以，函数的最小正周期为.
故答案为：D.
【分析】利用二倍角的正弦公式和二倍角的余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再根据正弦型函数的最小正周期公式，则得出函数的最小正周期.
5．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解；抛物线和其准线如图所示，过点作垂直准线于点，
过焦点作垂直于于点，如图所示：
由题意可知，
根据抛物线的定义得出
在中，，
又因为，
所以，
解得.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的定义和已知条件，可知，再由直角三角形中的余弦函数的定义和抛物线的性质，可得，从而得出AF的长.
6．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：令，其定义域为，
因为，所以为偶函数，
由题易知也为偶函数，
因为两个函数图象的交点个数为奇数，
所以两个函数的交点，必有一个是原点，
故.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和偶函数的定义，则判断出函数为偶函数，再根据两个函数图象的交点个数为奇数，则两个函数的交点，必有一个是原点，从而由代入法得出的值.
7．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由圆，可得圆心，半径，
又因为，所以，
所以，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】利用圆的方程得出圆心坐标和半径的长，再结合两点距离公式得出AC的长，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而由余弦函数在给定区间求值域的方法，进而得出的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：令，
，
（C为常数），
，
，则，
，
，
，故A错；
，故B错；
，故C正确；
，故D错.
故答案为：C.
【分析】够造函数，求导后为常数1，则，根据题意和代入法求出C的值，进而得到函数的解析式，再由代入法逐项判断得出正确的选项.
9．【答案】A,B,C
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，
事件C为“李明获胜”，
则由题意可知.
对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为，故A正确；
对于B，李明获胜的概率为，故B正确；
对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为，故C正确；
对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为，
故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据条件概率的乘法公式，则判断出选项A；利用全概率公式，则判断出选项B；根据条件概率公式，则判断出选项C；利用条件概率公式和条件概率的乘法公式，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
所以.
对于A，当时，，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，当时，，当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以是函数的极大值点，故B正确；
对于C，当时，，当时，，
又因为，
所以函数的大致图象如图所示，
则的值域为，
所以有最小值，无最大值，故C错误；
对于D，当时，在上单调递增，
因为，
所以，
所以在上有一个零点，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
又因为，
当时，，
再结合的大致图象，函数在有一个零点，在上有一个零点，
综上所述，当时，有三个零点，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用绝对值的定义得出分段函数用的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，则判断出选项A；再利用函数的单调性求出函数的极大值点，则判断出选项B；利用函数极限和分段函数的大致图象，从而得出函数的值域，则判断出选项C；利用函数的单调性和零点存在性定理以及函数的极限，从而结合分段函数的图象，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的最大（小）值；棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：若，即，可知为矩形.
对于A：当时，即，
取的中点，连接，如图所示：
因为底面，底面，
则，且为正方形，
则，，平面，
可得平面，
又因为，∥，
可知为平行四边形，则∥，
可知为直三棱柱，底面，
所以该几何体的体积为，故A正确；
对于B：当时，即，可知，
所以该几何体不为台体，故B错误；
对于C：当时，即，则，
所以该几何体为台体，
如图所示，为相应边的中点，则为正方形，
因为底面，且，可知所求球的半径，
且正方形的内切球的半径即为，
所以最大球的半径，即S的最大值为，故C正确；
对于D：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
则点到直线距离为
可知在内单调递增，
所以当点到直线距离最大时，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意结合图形，再利用分割法和三棱锥体积、三棱柱的体积以及求和法，从而得出组合体的体积，则判断出选项A；根据题意结合向量共线定理和对应边成比例的方法以及台体的结构特征，则判断出选项B；根据题意结合向量共线定理和对应边成比例的方法以及台体的结构特征，则判断出该几何体为台体， 再利用中点的性质和正方形的判断方法，则判断出为正方形，再结合线面垂直的性质定理和正方体的内切球的结构特征，从而得出最大球的半径，再由球的表面积公式得出球的表面积的最大值，则判断出选项C；利用已知条件建系，再利用空间向量求点到面的距离的公式和函数的单调性，则得出点到直线距离的最大值，从而得出此时对应的的值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】70
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：展开式的通项为，
令，解得，
所以，展开式中常数项是.
故答案为：70.
【分析】根据二项式定理求出展开式的通项，再利用常数项的定义和赋值法，则得出的展开式中常数项.
13．【答案】
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设，则，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
又因为，所以，
所以，解得，
又因为，
所以是直角三角形且，
所以.
故答案为：.
【分析】设，则，由，再结合余弦定理可得x的值，再利用勾股定理判断出三角形为直角三角形，从而由三角形的面积公式得出三角形的面积.
14．【答案】36；
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：(1)椭圆是"西瓜椭圆"，
离心率，解得.
（2）设，
联立消去并整理得
，，
即，，
，易知，
以线段为直径的圆经过点，，，
，，
又因为，代入上式并化简得，解得.
故答案为：36；.
【分析】 根据题意和西瓜椭圆的定义，再结合椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出m的值；设出点A，B的坐标，再联立直线方程和椭圆方程结合韦达定理以及代入法得出点A的坐标，再由两点距离公式得出，再利用以线段为直径的圆经过点，得出，再根据两点距离公式和椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出直线的斜率.
15．【答案】（1）解：零假设：该区初中学生的性别与喜欢篮球无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；
（2）解：根据喜欢篮球的学生中男生与女生的比例可得抽取的8人中男生有6人，女生有2人，
所以的可能的取值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意补全列联表，再利用列联表计算出卡方值，并与边界值比较，从而推出假设不成立，则认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联.
（2）利用分层抽样的方法可得抽取的男生人数与女生人数，从而得出随机变量X的可能的取值，再结合超几何分布求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再利用期望公式得出随机变量X的数学期望.
（1）零假设：该区初中学生的性别与喜欢篮球无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；
（2）根据喜欢篮球的学生中男生与女生的比例可得抽取的8人中男生有6人，女生有2人，
所以的为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
.
16．【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
，
，
，
，
的中点，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
平面⊥平面，
平面 平面，
平面，
平面，
平面，
，
平面，
平面.
（2）解：由（1）可知两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示：
则，
，
设平面 的一个法向量为，
则，
令， 则，
，
平面，
所以 平面，
为平面 的一个法向量，
设平面与平面 的夹角为，
则，
所以，平面与平面 的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，再利用勾股定理和中点的性质，从而判断出边形为平行四边形，再结合正方形的判断方法，则判断出四边形为正方形，再利用勾股定理得出线线垂直，再由面面垂直、线面垂直和线线垂直的推导方法，则证出平面.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，则得出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角的余弦值的方法，则得出平面与平面的夹角的余弦值.
（1）取的中点，连接，
，
，
，
，
的中点，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
平面⊥平面，
平面 平面，
平面，
平面，
平面，
，
平面，
平面.
（2）由（1）可知两两垂直、建立如图所示的空间直角坐标系
则，
，
设平面 的一个法向量为，
则，
令， 则，
，
平面，
所以 平面，
为平面 的一个法向量，
设平面与平面 的夹角为，
则，
所以设平面与平面 的夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）证明：由已知可得，
解得，
所以双曲线方程为，
设，
所以，
两式相减，可得，
又因为线段的中点为，
所以，，
所以，
解得，
所以直线的斜率为定值.
（2）解：由（1）设直线的方程为，如图所示：
由，所以，
整理可得，
所以，解得或，
所以，，
所以，
又因为原点到直线的距离为，
所以的面积为，
化简可得，解得，
所以直线的方程．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意和双曲线的离心率公式、点到直线的距离公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而建立方程组得出a，b，c的值，则得出双曲线的标准方程，设点A，B的坐标，由代入作差法，再由中点坐标公式和韦达定理以及代入法，从而根据两点求斜率公式证出直线的斜率为定值.
（2）由（1）设直线的方程为，再联立直线与双曲线的方程结合判别式法得出t的取值范围，再由韦达定理和弦长公式得出弦长，再根据点到直线的距离公式和三角形的面积公式以及三角形的面积为，从而得出t的值，进而得出直线的方程．
（1）由已知可得，解得，
所以双曲线方程为，
设，
所以，两式相减，可得，
又线段的中点为，所以，，
所以，解得，
所以直线的斜率为定值；
（2）由（1）设直线的方程为，
由，所以，整理可得，
所以，解得或，
所以，，
所以，
又原点到直线的距离为，
所以的面积为，
化简可得，解得，
所以直线的方程．
18．【答案】（1）解：由题意可知：的定义域为，，
则，，
即切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
令，可得，
可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
解得或，
所以的值为或.
（2）证明：若，则，
若等价于，
设，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
所以.
（3）解：由（1）可知：，
令，整理可得，
设，
则，
因为，，所以，
所以函数在上单调递减，且当趋近于，趋近于
所以只需，得，
所以正实数的取值范围.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形中的几何计算；函数极限
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式得出切线方程，从而由赋值法得出切线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式和已知条件得出a的值.
（2）利用a的值得出函数的解析式，将等价于，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，进而证出.
（3）由（1）可知：，令，整理可得，设，再利用求导的方法判断函数的单调性函数的极限，从而得出实数a的取值范围.
（1）由题意可知：的定义域为，且，
则，，
即切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，
令，可得，
可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得或，
所以的值为或.
（2）若，则，
若，等价于，
设，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
所以.
（3）由（1）可知：，
令，整理可得，
设，
则，
因为，，所以，
所以函数在上单调递减，且当趋近于，趋近于，
所以只需，得，
所以正实数的取值范围.
19．【答案】（1）解：若是“漂亮数”，
设满足，
则，所以，即，
故，得，
则，所以，
假设，则，
但由于，故的全部可能取值就是
，，，，，
验证知它们都不等于，矛盾，所以，
由知是“漂亮数”，
所以最小的“漂亮数”是.
（2）证明：若是“漂亮数”，
设满足，
则，所以，即，此时有：
再由，知
又因为则由“漂亮数”的定义知是“漂亮数”.
（3）解：若，设满足，
则，所以，即，
又因为故，即，
所以，得，即，
由于，故，
又因为，故，即，
若，则，所以，
假设，
则，矛盾.
所以，故，得，
故只可能，从而，得，又因为，故，
但，矛盾，
所以只可能或，
当时，有，所以，
从而得出，，则，
即，再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为；
当时，有，所以，
则，，得，
即，再由知，分别代入，
使得是正整数的有，对应的分别为，
综上所述，全体满足条件的有，，，，，，
这表明满足条件的全部为，
所以的全部可能值为，
其中是质数的有，则是质数的概率为.
【知识点】数列的函数特性；古典概型及其概率计算公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义，即可证明最小的“漂亮数”为.
（2）反复利用“漂亮数”定义中的恒等式，再通过该恒等式得到新的恒等式，从而证明出是“漂亮数”.
（3）先确定的全部可能值，再计算使得是质数的情况数和总的情况数之比，即可得出是质数的概率．
（1）若是“漂亮数”，设满足.
则，所以，即.
故，得，从而，所以.
此时，假设，则.
但由于，故的全部可能取值就是，，，，，验证即知它们都不等于，矛盾；
所以.
由即知是“漂亮数”.
所以最小的“漂亮数”是.
（2）若是“漂亮数”，设满足.
则，所以，即.
此时有
.
再由，即知.
而，由“漂亮数”的定义即知是“漂亮数”.
（3）若，设满足.
则，所以，即.
而，故，即.
所以，得，即.
由于，故.
而，故，即.
若，则，所以.
假设，则，矛盾.
所以，故，得.
故只可能，从而，得，而，故.
但，矛盾.
所以只可能或.
当时，有，所以.
从而，，得，即.
再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为.
当时，有，所以.
从而，，得，即.
再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为.
综上，全体满足条件的有，，，，，.
这表明满足条件的全部为.
所以的全部可能值为，其中是质数的有.
从而是质数的概率为.
1 / 1广东省佛山市南海区2025届高三摸底考试数学试题
1．（2024高三上·南海模拟）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由题意可知：，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次不等式求出集合A，再根据交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高三上·南海模拟）复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用复数的除法运算法则得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数z在复平面内对应的点的坐标，再由点的坐标确定点所在的象限.
3．（2024高三上·南海模拟）等差数列的首项为2，公差不为0．若成等比数列，则公差为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
若成等比数列，则，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以公差为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和等比中项公式以及等差数列的通项公式，从而解方程得出满足要求的公差的值.
4．（2024高三上·南海模拟）函数的最小正周期为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以，函数的最小正周期为.
故答案为：D.
【分析】利用二倍角的正弦公式和二倍角的余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再根据正弦型函数的最小正周期公式，则得出函数的最小正周期.
5．（2024高三上·南海模拟）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解；抛物线和其准线如图所示，过点作垂直准线于点，
过焦点作垂直于于点，如图所示：
由题意可知，
根据抛物线的定义得出
在中，，
又因为，
所以，
解得.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的定义和已知条件，可知，再由直角三角形中的余弦函数的定义和抛物线的性质，可得，从而得出AF的长.
6．（2024高三上·南海模拟）已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：令，其定义域为，
因为，所以为偶函数，
由题易知也为偶函数，
因为两个函数图象的交点个数为奇数，
所以两个函数的交点，必有一个是原点，
故.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和偶函数的定义，则判断出函数为偶函数，再根据两个函数图象的交点个数为奇数，则两个函数的交点，必有一个是原点，从而由代入法得出的值.
7．（2024高三上·南海模拟）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由圆，可得圆心，半径，
又因为，所以，
所以，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】利用圆的方程得出圆心坐标和半径的长，再结合两点距离公式得出AC的长，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而由余弦函数在给定区间求值域的方法，进而得出的取值范围.
8．（2024高三上·南海模拟）已知函数及其导函数的定义域均为，且对于恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：令，
，
（C为常数），
，
，则，
，
，
，故A错；
，故B错；
，故C正确；
，故D错.
故答案为：C.
【分析】够造函数，求导后为常数1，则，根据题意和代入法求出C的值，进而得到函数的解析式，再由代入法逐项判断得出正确的选项.
9．（2024高三上·南海模拟）中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（ ）
A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为
B．李明获胜的概率为
C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为
D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为
【答案】A,B,C
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，
事件C为“李明获胜”，
则由题意可知.
对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为，故A正确；
对于B，李明获胜的概率为，故B正确；
对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为，故C正确；
对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为，
故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据条件概率的乘法公式，则判断出选项A；利用全概率公式，则判断出选项B；根据条件概率公式，则判断出选项C；利用条件概率公式和条件概率的乘法公式，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．（2024高三上·南海模拟）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增 B．是函数的极大值点
C．既无最大值，也无最小值 D．当时，有三个零点
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
所以.
对于A，当时，，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，当时，，当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以是函数的极大值点，故B正确；
对于C，当时，，当时，，
又因为，
所以函数的大致图象如图所示，
则的值域为，
所以有最小值，无最大值，故C错误；
对于D，当时，在上单调递增，
因为，
所以，
所以在上有一个零点，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
又因为，
当时，，
再结合的大致图象，函数在有一个零点，在上有一个零点，
综上所述，当时，有三个零点，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用绝对值的定义得出分段函数用的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，则判断出选项A；再利用函数的单调性求出函数的极大值点，则判断出选项B；利用函数极限和分段函数的大致图象，从而得出函数的值域，则判断出选项C；利用函数的单调性和零点存在性定理以及函数的极限，从而结合分段函数的图象，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2024高三上·南海模拟）如图，几何体的底面是边长为6的正方形底面，，则（ ）
A．当时，该几何体的体积为45
B．当时，该几何体为台体
C．当时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为
D．当点到直线距离最大时，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数的最大（小）值；棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：若，即，可知为矩形.
对于A：当时，即，
取的中点，连接，如图所示：
因为底面，底面，
则，且为正方形，
则，，平面，
可得平面，
又因为，∥，
可知为平行四边形，则∥，
可知为直三棱柱，底面，
所以该几何体的体积为，故A正确；
对于B：当时，即，可知，
所以该几何体不为台体，故B错误；
对于C：当时，即，则，
所以该几何体为台体，
如图所示，为相应边的中点，则为正方形，
因为底面，且，可知所求球的半径，
且正方形的内切球的半径即为，
所以最大球的半径，即S的最大值为，故C正确；
对于D：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
则点到直线距离为
可知在内单调递增，
所以当点到直线距离最大时，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意结合图形，再利用分割法和三棱锥体积、三棱柱的体积以及求和法，从而得出组合体的体积，则判断出选项A；根据题意结合向量共线定理和对应边成比例的方法以及台体的结构特征，则判断出选项B；根据题意结合向量共线定理和对应边成比例的方法以及台体的结构特征，则判断出该几何体为台体， 再利用中点的性质和正方形的判断方法，则判断出为正方形，再结合线面垂直的性质定理和正方体的内切球的结构特征，从而得出最大球的半径，再由球的表面积公式得出球的表面积的最大值，则判断出选项C；利用已知条件建系，再利用空间向量求点到面的距离的公式和函数的单调性，则得出点到直线距离的最大值，从而得出此时对应的的值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高三上·南海模拟）的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
【答案】70
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：展开式的通项为，
令，解得，
所以，展开式中常数项是.
故答案为：70.
【分析】根据二项式定理求出展开式的通项，再利用常数项的定义和赋值法，则得出的展开式中常数项.
13．（2024高三上·南海模拟）在中，，点在线段上，且，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设，则，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
又因为，所以，
所以，解得，
又因为，
所以是直角三角形且，
所以.
故答案为：.
【分析】设，则，由，再结合余弦定理可得x的值，再利用勾股定理判断出三角形为直角三角形，从而由三角形的面积公式得出三角形的面积.
14．（2024高三上·南海模拟）定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆是“西瓜椭圆”，则 .若“西瓜椭圆”的右焦点为，直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过点，则 ．
【答案】36；
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：(1)椭圆是"西瓜椭圆"，
离心率，解得.
（2）设，
联立消去并整理得
，，
即，，
，易知，
以线段为直径的圆经过点，，，
，，
又因为，代入上式并化简得，解得.
故答案为：36；.
【分析】 根据题意和西瓜椭圆的定义，再结合椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出m的值；设出点A，B的坐标，再联立直线方程和椭圆方程结合韦达定理以及代入法得出点A的坐标，再由两点距离公式得出，再利用以线段为直径的圆经过点，得出，再根据两点距离公式和椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出直线的斜率.
15．（2024高三上·南海模拟）某区中考体育科目有必选项目和选考项目，其中篮球为一个选考项目．该区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：
性别 是否喜欢篮球 合计
喜欢 不喜欢
男生 450 150 600
女生 150 250 400
合计 600 400 1000
（1）依据的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；
（2）用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的喜欢篮球的600名初中学生中抽取8名学生做进一步调查，将这8名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X表示随机抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
附：参考数据
，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设：该区初中学生的性别与喜欢篮球无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；
（2）解：根据喜欢篮球的学生中男生与女生的比例可得抽取的8人中男生有6人，女生有2人，
所以的可能的取值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意补全列联表，再利用列联表计算出卡方值，并与边界值比较，从而推出假设不成立，则认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联.
（2）利用分层抽样的方法可得抽取的男生人数与女生人数，从而得出随机变量X的可能的取值，再结合超几何分布求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再利用期望公式得出随机变量X的数学期望.
（1）零假设：该区初中学生的性别与喜欢篮球无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；
（2）根据喜欢篮球的学生中男生与女生的比例可得抽取的8人中男生有6人，女生有2人，
所以的为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
.
16．（2024高三上·南海模拟）如图，在四棱锥中，，，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
，
，
，
，
的中点，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
平面⊥平面，
平面 平面，
平面，
平面，
平面，
，
平面，
平面.
（2）解：由（1）可知两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示：
则，
，
设平面 的一个法向量为，
则，
令， 则，
，
平面，
所以 平面，
为平面 的一个法向量，
设平面与平面 的夹角为，
则，
所以，平面与平面 的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，再利用勾股定理和中点的性质，从而判断出边形为平行四边形，再结合正方形的判断方法，则判断出四边形为正方形，再利用勾股定理得出线线垂直，再由面面垂直、线面垂直和线线垂直的推导方法，则证出平面.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，则得出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角的余弦值的方法，则得出平面与平面的夹角的余弦值.
（1）取的中点，连接，
，
，
，
，
的中点，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
平面⊥平面，
平面 平面，
平面，
平面，
平面，
，
平面，
平面.
（2）由（1）可知两两垂直、建立如图所示的空间直角坐标系
则，
，
设平面 的一个法向量为，
则，
令， 则，
，
平面，
所以 平面，
为平面 的一个法向量，
设平面与平面 的夹角为，
则，
所以设平面与平面 的夹角的余弦值为.
17．（2024高三上·南海模拟）已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为．
（1）证明：直线的斜率为定值；
（2）为坐标原点，若的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）证明：由已知可得，
解得，
所以双曲线方程为，
设，
所以，
两式相减，可得，
又因为线段的中点为，
所以，，
所以，
解得，
所以直线的斜率为定值.
（2）解：由（1）设直线的方程为，如图所示：
由，所以，
整理可得，
所以，解得或，
所以，，
所以，
又因为原点到直线的距离为，
所以的面积为，
化简可得，解得，
所以直线的方程．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意和双曲线的离心率公式、点到直线的距离公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而建立方程组得出a，b，c的值，则得出双曲线的标准方程，设点A，B的坐标，由代入作差法，再由中点坐标公式和韦达定理以及代入法，从而根据两点求斜率公式证出直线的斜率为定值.
（2）由（1）设直线的方程为，再联立直线与双曲线的方程结合判别式法得出t的取值范围，再由韦达定理和弦长公式得出弦长，再根据点到直线的距离公式和三角形的面积公式以及三角形的面积为，从而得出t的值，进而得出直线的方程．
（1）由已知可得，解得，
所以双曲线方程为，
设，
所以，两式相减，可得，
又线段的中点为，所以，，
所以，解得，
所以直线的斜率为定值；
（2）由（1）设直线的方程为，
由，所以，整理可得，
所以，解得或，
所以，，
所以，
又原点到直线的距离为，
所以的面积为，
化简可得，解得，
所以直线的方程．
18．（2024高三上·南海模拟）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求的值；
（2）若，证明：；
（3）若在上有且仅有一个极值点，求正实数的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知：的定义域为，，
则，，
即切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
令，可得，
可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
解得或，
所以的值为或.
（2）证明：若，则，
若等价于，
设，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
所以.
（3）解：由（1）可知：，
令，整理可得，
设，
则，
因为，，所以，
所以函数在上单调递减，且当趋近于，趋近于
所以只需，得，
所以正实数的取值范围.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形中的几何计算；函数极限
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式得出切线方程，从而由赋值法得出切线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式和已知条件得出a的值.
（2）利用a的值得出函数的解析式，将等价于，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，进而证出.
（3）由（1）可知：，令，整理可得，设，再利用求导的方法判断函数的单调性函数的极限，从而得出实数a的取值范围.
（1）由题意可知：的定义域为，且，
则，，
即切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，
令，可得，
可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得或，
所以的值为或.
（2）若，则，
若，等价于，
设，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
所以.
（3）由（1）可知：，
令，整理可得，
设，
则，
因为，，所以，
所以函数在上单调递减，且当趋近于，趋近于，
所以只需，得，
所以正实数的取值范围.
19．（2024高三上·南海模拟）定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②：
①；
②．
（1）写出最小的“漂亮数”；
（2）若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；
（3）在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．
【答案】（1）解：若是“漂亮数”，
设满足，
则，所以，即，
故，得，
则，所以，
假设，则，
但由于，故的全部可能取值就是
，，，，，
验证知它们都不等于，矛盾，所以，
由知是“漂亮数”，
所以最小的“漂亮数”是.
（2）证明：若是“漂亮数”，
设满足，
则，所以，即，此时有：
再由，知
又因为则由“漂亮数”的定义知是“漂亮数”.
（3）解：若，设满足，
则，所以，即，
又因为故，即，
所以，得，即，
由于，故，
又因为，故，即，
若，则，所以，
假设，
则，矛盾.
所以，故，得，
故只可能，从而，得，又因为，故，
但，矛盾，
所以只可能或，
当时，有，所以，
从而得出，，则，
即，再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为；
当时，有，所以，
则，，得，
即，再由知，分别代入，
使得是正整数的有，对应的分别为，
综上所述，全体满足条件的有，，，，，，
这表明满足条件的全部为，
所以的全部可能值为，
其中是质数的有，则是质数的概率为.
【知识点】数列的函数特性；古典概型及其概率计算公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义，即可证明最小的“漂亮数”为.
（2）反复利用“漂亮数”定义中的恒等式，再通过该恒等式得到新的恒等式，从而证明出是“漂亮数”.
（3）先确定的全部可能值，再计算使得是质数的情况数和总的情况数之比，即可得出是质数的概率．
（1）若是“漂亮数”，设满足.
则，所以，即.
故，得，从而，所以.
此时，假设，则.
但由于，故的全部可能取值就是，，，，，验证即知它们都不等于，矛盾；
所以.
由即知是“漂亮数”.
所以最小的“漂亮数”是.
（2）若是“漂亮数”，设满足.
则，所以，即.
此时有
.
再由，即知.
而，由“漂亮数”的定义即知是“漂亮数”.
（3）若，设满足.
则，所以，即.
而，故，即.
所以，得，即.
由于，故.
而，故，即.
若，则，所以.
假设，则，矛盾.
所以，故，得.
故只可能，从而，得，而，故.
但，矛盾.
所以只可能或.
当时，有，所以.
从而，，得，即.
再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为.
当时，有，所以.
从而，，得，即.
再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为.
综上，全体满足条件的有，，，，，.
这表明满足条件的全部为.
所以的全部可能值为，其中是质数的有.
从而是质数的概率为.
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