广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题
1．（2024高三上·深圳月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·深圳月考）已知命题，则命题的否定为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·深圳月考）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·深圳月考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高三上·深圳月考）设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·深圳月考）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
7．（2024高三上·深圳月考）根据公式，的值所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·深圳月考）已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·深圳月考）下列说法正确的是（ ）
A．若函数定义域为，则函数的定义域为
B．若定义域为的函数值域为，则函数的值域为
C．函数与的图象关于直线对称
D．成立的一个必要条件是
10．（2024高三上·深圳月考）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高三上·深圳月考）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数
C． D．
12．（2024高三上·深圳月考）已知函数，则 .
13．（2024高三上·深圳月考）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是
14．（2024高三上·深圳月考）若对一切恒成立，则的最大值为 .
15．（2024高三上·深圳月考）设函数
（I）求曲线 在点 处的切线方程；
（II）设 ，若函数 有三个不同零点，求c的取值范围
16．（2024高三上·深圳月考）记的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若点D是BC边上一点，且，.求的值.
17．（2024高三上·深圳月考）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.
（1）若，求证：平面；
（2）若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.
18．（2024高三上·深圳月考）已知函数.
（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；
（2）在定义域内恒成立，求a的值；
（3）求证：，.
19．（2024高三上·深圳月考）设自然数，若由n个不同的正整数，，…，构成的集合满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．
（1）试分别判断在集合与是否具有性质P，不必说明理由；
（2）已知集合具有性质P．
①记，求证：对于任意正整数，都有；
②令，，求证：；
（3）在（2）的条件下，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；指数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：集合，
集合，则.
故答案为：A．
【分析】先化简集合A，B，再根据集合交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题为全称量词命题，
其否定为：.
故选：A
【分析】
根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
3．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数在上单调递增，要使函数在区间上单调递减，
则在区间上单调递减，即，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数定义域为R，定义域关于原点对称，
且，则函数为奇函数，排除C、D；
由，排除B.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，由得到函数为奇函数，排除CD；再由排除B，从而可得答案.
5．【答案】D
【知识点】函数的值域；基本不等式
【解析】【解答】解：由正实数、、满足 ，
得，
当且仅当，即时等号成立，则，
故，当且仅当时等号成立，
即当时，取得最大值.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，利用基本不等式求出取最小值时的关系，再利用二次函数求最大值即可.
6．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，所以，
即①，
又因为函数为奇函数，所以，
即②，
联立①②可得：，则．
故答案为：D．
【分析】由题意，利用奇偶性解方程组求解可得函数的解析式，再求即可.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：根据，可得，
设，则，
，
当时，，则函数在上单调递减，且，
因为，，所以由零点存在性定理可知.
故答案为：.
【分析】根据已知条件构造函数，对其求导，结合导数分析函数的单调性，再由函数零点的存在性定理判断即可.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，在上恒成立，在上恒成立，，而，
则在上需恒成立，
因为开口向上，所以或，
解得或，所以；
当时，，不恒成立，故不符合；
当时，在上恒成立，在上恒成立，，
而，所以在上需恒成立，
又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合；
综上可得.
故答案为：B.
【分析】分、和三种情况进行分析，当时通过函数的函数值情况得在上需恒成立，进而依据一元二次函数性质即可进一步求解，当时由函数和的函数值情况即可得解，当时由函数的函数值情况得在上需恒成立，再由一元二次函数性质求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】必要条件；函数的定义域及其求法；函数的值域；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，即，对于有，
解得，则函数的定义域为，故A正确；
B、因为函数定义域为R，值域为，所以对于函数有，
故函数值域为，故B错误；
C、因为函数与互为反函数，所以函数与的图象关于直线对称，
故C正确；
D、若，则，反之不一定有，如当时，，但，
所以是的充分不必要条件，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由函数定义域为，得，解该不等式即可判断A；由函数定义域为R和值域为得函数有，进而得函数值域为即可判断B；由互为反函数的两个函数图象关于直线对称即可得解判断C；由时，但结合充分和必要条件定义即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由，可得，
当时，函数单调递减，则；
当时，函数单调递增，则，故A错误；
B、由A得，即，故选项B正确；
C、当，时，，故C错误；
D、在上单调递减，在上单调递增，由A得，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】先由题意得，结合对数函数单调性即可判断A；结合A得即可得解判断B；举一反例，如，时即可判断C；由A结合对勾函数单调性即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，由题意，
且，即①，
用替换中的，得②，
由①+②得，
所以的图象关于点对称，且，故A正确；
对于B，由，
可得，，
所以，
所以是以8为周期的周期函数，故B正确；
对于C，由①知，
则，所以，故C正确；
对于D，又因为，所以，
令，则有2，
令，则有，
令，则有，
所以，
所以，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据函数的奇偶性和表达式可得，再结合函数的图象对称性，则判断出选项A；由和周期函数的定义，则判断出选项B；利用可得，则判断出选项C；利用和偶函数的定义得出， 再利用赋值法和求和法可得的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则；极限及其运算
【解析】【解答】解：函数，定义域为，，
则.
故答案为：.
【分析】求导可得，结合求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
即；
若函数的值域是，则时，，
当时，函数在上单调递增，，不合题意；
当时，函数在上单调递减，，
即，则，所以，显然，解得，
又因为，所以，
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：.
【分析】求出当时，函数的值域是，再讨论当时，函数的值域，对分两种情况讨论分析即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：令定义域为，，
若时，则，可知在上单调递增，
且当时，与矛盾，
若时，，
可知在内单调递减，在内单调递增，
当时，，
即，可得，
令，则，
，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
当时，的最大值为．
故答案为：.
【分析】将不等式对一切恒成立转化为，再利用导数法求函数的最值问题求解即可.
15．【答案】解：（I）由 ，得 ．
因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（II）当 时， ，
所以 ．
令 ，得 ，解得 或 ．
与 在区间 上的情况如下：
所以，当 且 时，存在 ， ，
，使得 ．
由 的单调性知，当且仅当 时，函数 有三个不同零点．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）写出原函数的导函数，把横坐标代入导函数即可得到该点的切线方程；
（2）代入a，b的值得到函数解析式，写出该函数的导函数，分析导函数即可知道原函数的单调区间；三个不同的零点代表了在每一段单调区间内都有零点，所以通过数形结合，用不等式联立关于未知数c的不等关系，即可得到答案。
16．【答案】（1）解：由及正弦定理得，即.
又由余弦定理得，，，.
（2）解：，记，则.
在中，.（1）
在中，由正弦定理得.
由（1）（2）及得，
即，解得.
由，，解得.
故.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理对已知等式进行边角互化，再由余弦定理求得，即可求A；
（2）记，可将角C转化为，利用正弦定理求出，再结合同角三角函数的基本关系即可求解.
17．【答案】（1）证明：设，因为底面是边长为2的菱形，所以，对角线BD平分，
又为棱的中点，所以，
在中，根据角平分线性质定理得，
又因为，所以，所以，
所以，平面，且平面，所以平面；
（2）解：因为平面，且平面，所以，
又因为，所以，
在中，，，所以是等边三角形，
又因为为棱的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面ABCD，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，且平面，所以，
因为P在底面的投影H为线段EC的中点，所以，又，所以为等边三角形，故为中点，
所以在底面上的投影为的中点.
在中，，
因为，
以为原点，分别以为轴，
以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
所以，
，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，即，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
则，
因为二面角是一个锐角，所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质定理得，由平行线分线段成比例定理得，再根据线面平行的判定证明即可；
（2）利用线面垂直可得，进而得平面，由线面垂直得，再根据等边三角形三线重合即得为中点，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
（1）设，因为底面是边长为2的菱形，
所以，对角线BD平分，
又为棱的中点，所以，
在中，根据角平分线性质定理得，
又，所以，所以，
，平面，且平面平面.
（2）平面，且平面，，
因为，所以，
在中，，，所以是等边三角形，
又为棱的中点，所以，
平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面ABCD，平面，
又平面，，
又，平面，
平面，且平面，.
因为P在底面的投影H为线段EC的中点，所以，又
所以为等边三角形，故为中点，
所以在底面上的投影为的中点.
在中，，
，
以为原点，分别以为轴，
以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
所以，
，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，即，
平面，是平面的一个法向量，
，
因为二面角是一个锐角，
所以二面角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：依题意，设图像上任意一点坐标为，
则其关于对称的点在图像上，
则，
则，，
故，.
（2）解：令，，
则在恒成立，
又因为，且在上是连续函数，
则为的一个极大值点，
则，，
下证当时，在恒成立，
令，，
当，，在上单调递增；
当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，
又因为，当时，则恒成立，
综上所述，.
（3）证明：由（2）可知：，
则，即，
则，
又由（2）可知：在上恒成立，
则在上恒成立且当且仅当时取等号，
令，，则，
即，则
，
综上所述，，即证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）设图像上任意一点坐标为，利用其对称点在函数的图象上，从而得出函数的解析式.
（2）令，则在恒成立，再利用且在上是连续函数，可得为的一个极大值点，由导数求极值点的方法得出的值，再证明当时，在恒成立即可.
（3）由（2）可知：，可得，进而可得，再利用在上恒成立且当且仅当时取等号，可得，，从而证出，成立.
（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，
则其关于对称的点在图像上，
则，则，
故，；
（2）令，，
则在在恒成立，
又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，
，，
下证当时，在恒成立，
令，，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，又，
则时，恒成立，
综上，.
（3）由（2）可知：，
则，即，
则，
又由（2）可知：在上恒成立，
则在上恒成立且当且仅当时取等，
令，，则，
即，
则
，
综上，，即证
19．【答案】（1）解：对于集合，因为，故集合的元素和相等，故不具有性质，
对于，其共有15个非空子集：
，
，
各集合的和分别为：，，它们彼此相异，
故具有性质；
（2）证明：①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，
否则有两个非空子集，它们的元素和相等，
而也是的子集，故不具有性质，矛盾.
注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，
且子集的和最大为，最小为，故.
②因为，
故
，
由①可得，故；
（3）解：不妨设，
设，则，由（2）可得，且.
而
，
故，
当且仅当时等号成立，
即此时任意的正整数，即
故此时时等号成立，故的最大值为.
【知识点】子集与真子集；集合中元素的个数问题；不等式的证明
【解析】【分析】（1）根据集合S具有性质P的定义，结合反例即可判断两个集合是否具有性质；
（2）①根据也具有性质及其子集的个数即可证；
②根据①的结论即可证明；
（3）不妨设，利用（2）的结论可证，从而可求最大值.
（1）对于集合，因为，故集合的元素和相等，
故不具有性质.
对于，其共有15个非空子集：
，
，
各集合的和分别为：，，它们彼此相异，
故具有性质.
（2）①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，
否则有两个非空子集，它们的元素和相等，
而也是的子集，故不具有性质，矛盾.
注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，
且子集的和最大为，最小为，故.
②因为，
故
，
由①可得，故.
（3）不妨设，
设，则，由（2）可得，且.
而
，
故，
当且仅当时等号成立，
即此时任意的正整数，即
故此时时等号成立，故的最大值为.
1 / 1广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题
1．（2024高三上·深圳月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；指数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：集合，
集合，则.
故答案为：A．
【分析】先化简集合A，B，再根据集合交集运算求解即可.
2．（2024高三上·深圳月考）已知命题，则命题的否定为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题为全称量词命题，
其否定为：.
故选：A
【分析】
根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
3．（2024高三上·深圳月考）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数在上单调递增，要使函数在区间上单调递减，
则在区间上单调递减，即，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可.
4．（2024高三上·深圳月考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数定义域为R，定义域关于原点对称，
且，则函数为奇函数，排除C、D；
由，排除B.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，由得到函数为奇函数，排除CD；再由排除B，从而可得答案.
5．（2024高三上·深圳月考）设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的值域；基本不等式
【解析】【解答】解：由正实数、、满足 ，
得，
当且仅当，即时等号成立，则，
故，当且仅当时等号成立，
即当时，取得最大值.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，利用基本不等式求出取最小值时的关系，再利用二次函数求最大值即可.
6．（2024高三上·深圳月考）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，所以，
即①，
又因为函数为奇函数，所以，
即②，
联立①②可得：，则．
故答案为：D．
【分析】由题意，利用奇偶性解方程组求解可得函数的解析式，再求即可.
7．（2024高三上·深圳月考）根据公式，的值所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：根据，可得，
设，则，
，
当时，，则函数在上单调递减，且，
因为，，所以由零点存在性定理可知.
故答案为：.
【分析】根据已知条件构造函数，对其求导，结合导数分析函数的单调性，再由函数零点的存在性定理判断即可.
8．（2024高三上·深圳月考）已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，在上恒成立，在上恒成立，，而，
则在上需恒成立，
因为开口向上，所以或，
解得或，所以；
当时，，不恒成立，故不符合；
当时，在上恒成立，在上恒成立，，
而，所以在上需恒成立，
又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合；
综上可得.
故答案为：B.
【分析】分、和三种情况进行分析，当时通过函数的函数值情况得在上需恒成立，进而依据一元二次函数性质即可进一步求解，当时由函数和的函数值情况即可得解，当时由函数的函数值情况得在上需恒成立，再由一元二次函数性质求解即可.
9．（2024高三上·深圳月考）下列说法正确的是（ ）
A．若函数定义域为，则函数的定义域为
B．若定义域为的函数值域为，则函数的值域为
C．函数与的图象关于直线对称
D．成立的一个必要条件是
【答案】A,C
【知识点】必要条件；函数的定义域及其求法；函数的值域；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，即，对于有，
解得，则函数的定义域为，故A正确；
B、因为函数定义域为R，值域为，所以对于函数有，
故函数值域为，故B错误；
C、因为函数与互为反函数，所以函数与的图象关于直线对称，
故C正确；
D、若，则，反之不一定有，如当时，，但，
所以是的充分不必要条件，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由函数定义域为，得，解该不等式即可判断A；由函数定义域为R和值域为得函数有，进而得函数值域为即可判断B；由互为反函数的两个函数图象关于直线对称即可得解判断C；由时，但结合充分和必要条件定义即可判断D.
10．（2024高三上·深圳月考）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由，可得，
当时，函数单调递减，则；
当时，函数单调递增，则，故A错误；
B、由A得，即，故选项B正确；
C、当，时，，故C错误；
D、在上单调递减，在上单调递增，由A得，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】先由题意得，结合对数函数单调性即可判断A；结合A得即可得解判断B；举一反例，如，时即可判断C；由A结合对勾函数单调性即可判断D.
11．（2024高三上·深圳月考）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，由题意，
且，即①，
用替换中的，得②，
由①+②得，
所以的图象关于点对称，且，故A正确；
对于B，由，
可得，，
所以，
所以是以8为周期的周期函数，故B正确；
对于C，由①知，
则，所以，故C正确；
对于D，又因为，所以，
令，则有2，
令，则有，
令，则有，
所以，
所以，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据函数的奇偶性和表达式可得，再结合函数的图象对称性，则判断出选项A；由和周期函数的定义，则判断出选项B；利用可得，则判断出选项C；利用和偶函数的定义得出， 再利用赋值法和求和法可得的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高三上·深圳月考）已知函数，则 .
【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则；极限及其运算
【解析】【解答】解：函数，定义域为，，
则.
故答案为：.
【分析】求导可得，结合求解即可.
13．（2024高三上·深圳月考）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是
【答案】
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
即；
若函数的值域是，则时，，
当时，函数在上单调递增，，不合题意；
当时，函数在上单调递减，，
即，则，所以，显然，解得，
又因为，所以，
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：.
【分析】求出当时，函数的值域是，再讨论当时，函数的值域，对分两种情况讨论分析即可.
14．（2024高三上·深圳月考）若对一切恒成立，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：令定义域为，，
若时，则，可知在上单调递增，
且当时，与矛盾，
若时，，
可知在内单调递减，在内单调递增，
当时，，
即，可得，
令，则，
，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
当时，的最大值为．
故答案为：.
【分析】将不等式对一切恒成立转化为，再利用导数法求函数的最值问题求解即可.
15．（2024高三上·深圳月考）设函数
（I）求曲线 在点 处的切线方程；
（II）设 ，若函数 有三个不同零点，求c的取值范围
【答案】解：（I）由 ，得 ．
因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（II）当 时， ，
所以 ．
令 ，得 ，解得 或 ．
与 在区间 上的情况如下：
所以，当 且 时，存在 ， ，
，使得 ．
由 的单调性知，当且仅当 时，函数 有三个不同零点．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）写出原函数的导函数，把横坐标代入导函数即可得到该点的切线方程；
（2）代入a，b的值得到函数解析式，写出该函数的导函数，分析导函数即可知道原函数的单调区间；三个不同的零点代表了在每一段单调区间内都有零点，所以通过数形结合，用不等式联立关于未知数c的不等关系，即可得到答案。
16．（2024高三上·深圳月考）记的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若点D是BC边上一点，且，.求的值.
【答案】（1）解：由及正弦定理得，即.
又由余弦定理得，，，.
（2）解：，记，则.
在中，.（1）
在中，由正弦定理得.
由（1）（2）及得，
即，解得.
由，，解得.
故.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理对已知等式进行边角互化，再由余弦定理求得，即可求A；
（2）记，可将角C转化为，利用正弦定理求出，再结合同角三角函数的基本关系即可求解.
17．（2024高三上·深圳月考）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.
（1）若，求证：平面；
（2）若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：设，因为底面是边长为2的菱形，所以，对角线BD平分，
又为棱的中点，所以，
在中，根据角平分线性质定理得，
又因为，所以，所以，
所以，平面，且平面，所以平面；
（2）解：因为平面，且平面，所以，
又因为，所以，
在中，，，所以是等边三角形，
又因为为棱的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面ABCD，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，且平面，所以，
因为P在底面的投影H为线段EC的中点，所以，又，所以为等边三角形，故为中点，
所以在底面上的投影为的中点.
在中，，
因为，
以为原点，分别以为轴，
以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
所以，
，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，即，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
则，
因为二面角是一个锐角，所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质定理得，由平行线分线段成比例定理得，再根据线面平行的判定证明即可；
（2）利用线面垂直可得，进而得平面，由线面垂直得，再根据等边三角形三线重合即得为中点，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
（1）设，因为底面是边长为2的菱形，
所以，对角线BD平分，
又为棱的中点，所以，
在中，根据角平分线性质定理得，
又，所以，所以，
，平面，且平面平面.
（2）平面，且平面，，
因为，所以，
在中，，，所以是等边三角形，
又为棱的中点，所以，
平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面ABCD，平面，
又平面，，
又，平面，
平面，且平面，.
因为P在底面的投影H为线段EC的中点，所以，又
所以为等边三角形，故为中点，
所以在底面上的投影为的中点.
在中，，
，
以为原点，分别以为轴，
以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
所以，
，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，即，
平面，是平面的一个法向量，
，
因为二面角是一个锐角，
所以二面角的余弦值为.
18．（2024高三上·深圳月考）已知函数.
（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；
（2）在定义域内恒成立，求a的值；
（3）求证：，.
【答案】（1）解：依题意，设图像上任意一点坐标为，
则其关于对称的点在图像上，
则，
则，，
故，.
（2）解：令，，
则在恒成立，
又因为，且在上是连续函数，
则为的一个极大值点，
则，，
下证当时，在恒成立，
令，，
当，，在上单调递增；
当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，
又因为，当时，则恒成立，
综上所述，.
（3）证明：由（2）可知：，
则，即，
则，
又由（2）可知：在上恒成立，
则在上恒成立且当且仅当时取等号，
令，，则，
即，则
，
综上所述，，即证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）设图像上任意一点坐标为，利用其对称点在函数的图象上，从而得出函数的解析式.
（2）令，则在恒成立，再利用且在上是连续函数，可得为的一个极大值点，由导数求极值点的方法得出的值，再证明当时，在恒成立即可.
（3）由（2）可知：，可得，进而可得，再利用在上恒成立且当且仅当时取等号，可得，，从而证出，成立.
（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，
则其关于对称的点在图像上，
则，则，
故，；
（2）令，，
则在在恒成立，
又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，
，，
下证当时，在恒成立，
令，，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，又，
则时，恒成立，
综上，.
（3）由（2）可知：，
则，即，
则，
又由（2）可知：在上恒成立，
则在上恒成立且当且仅当时取等，
令，，则，
即，
则
，
综上，，即证
19．（2024高三上·深圳月考）设自然数，若由n个不同的正整数，，…，构成的集合满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．
（1）试分别判断在集合与是否具有性质P，不必说明理由；
（2）已知集合具有性质P．
①记，求证：对于任意正整数，都有；
②令，，求证：；
（3）在（2）的条件下，求的最大值．
【答案】（1）解：对于集合，因为，故集合的元素和相等，故不具有性质，
对于，其共有15个非空子集：
，
，
各集合的和分别为：，，它们彼此相异，
故具有性质；
（2）证明：①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，
否则有两个非空子集，它们的元素和相等，
而也是的子集，故不具有性质，矛盾.
注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，
且子集的和最大为，最小为，故.
②因为，
故
，
由①可得，故；
（3）解：不妨设，
设，则，由（2）可得，且.
而
，
故，
当且仅当时等号成立，
即此时任意的正整数，即
故此时时等号成立，故的最大值为.
【知识点】子集与真子集；集合中元素的个数问题；不等式的证明
【解析】【分析】（1）根据集合S具有性质P的定义，结合反例即可判断两个集合是否具有性质；
（2）①根据也具有性质及其子集的个数即可证；
②根据①的结论即可证明；
（3）不妨设，利用（2）的结论可证，从而可求最大值.
（1）对于集合，因为，故集合的元素和相等，
故不具有性质.
对于，其共有15个非空子集：
，
，
各集合的和分别为：，，它们彼此相异，
故具有性质.
（2）①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，
否则有两个非空子集，它们的元素和相等，
而也是的子集，故不具有性质，矛盾.
注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，
且子集的和最大为，最小为，故.
②因为，
故
，
由①可得，故.
（3）不妨设，
设，则，由（2）可得，且.
而
，
故，
当且仅当时等号成立，
即此时任意的正整数，即
故此时时等号成立，故的最大值为.
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