云南省昆明市第九中学2025届高三上学期9月摸底测试数学试题
1．（2024高三上·昆明月考）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·昆明月考） 某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，则单位职工体重的方差为（ ）
A．166 B．167 C．168 D．169
3．（2024高三上·昆明月考）已知函数，则“是函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高三上·昆明月考）已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
5．（2024高三上·昆明月考）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中，）.如图所示，设点、、是相应椭圆的焦点，、和、是“果圆”与轴和轴的交点，若是边长为1的等边三角形，则，的值分别为（ ）
A．，1 B．，1 C．5，3 D．5，4
6．（2024高三上·昆明月考）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·昆明月考）若，则（ ）
A． B． C． D．3
8．（2024高三上·昆明月考）已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·昆明月考）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为，体积为；圆柱的表面积为，体积为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高三上·昆明月考）已知抛物线：的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则
D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
11．（2024高三上·昆明月考）已知函数，则（ ）
A．在处取得极值
B．若有两解，则的最小整数值为
C．若有两解，，则
D．有两个零点
12．（2024高三上·昆明月考）已知平面向量，若，则 ．
13．（2024高三上·昆明月考）直线被圆截得最大弦长为 ．
14．（2024高三上·昆明月考）已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为 .
15．（2024高三上·昆明月考）在中，角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的周长.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）
①是的平分线；
②为线段的中点
16．（2024高三上·昆明月考）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
年龄 周平均锻炼时长 合计
周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下 40 60 100
50岁以上（含50） 25 75 100
合计 65 135 200
（1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据：，其中.
17．（2024高三上·昆明月考）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为矩形，且平面平面分别为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，且二面角的大小为120°，求的值．
18．（2024高三上·昆明月考）已知点P为圆上任意一点，线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
（1）求曲线H的方程；
（2）若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求的取值范围.
19．（2024高三上·昆明月考）已知数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求实数的值，使得数列是等差数列；
（3）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中．如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”．判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为，
又因为 复数在复平面内对应的点位于第二象限，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】根据复数乘法法则化简得，根据复数定义列出不等式组求解即可.
2．【答案】D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根基题意可得：单位职工的平均体重为：
则单位职工体重的方程为：。
故答案为：D.
【分析】本题主要考查分层抽样的平均数及方程，根据已知数据结合分层抽样的平均数及方差公式进行求解即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，
此时的定义域为R，关于原点对称，且，
故函数为偶函数，即充分性成立；
当为偶函数时，，此时不一定成立，即必要性不成立；
所以“是函数为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合余弦函数的奇偶性即可得解.
4．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【解答】解：由得，所以在点(1，1)处的
切线的斜率为，所以切线方程为y=2x-1，联立，消去y，得x2 -2ax +a= 0，由，得a=1或a=0(舍去)，
故答案为：C.
【分析】根据导数的意义，切线斜率为x=1时导函数的值，代入点斜式求出切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式等于0，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【解答】解：由题意知，，，
两式相加得：，
又因为，所以，即，
所以，即.
故选：A.
【分析】由椭圆的几何性质可得的等量关系，再结合即可求得a，b的值。
6．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，
所以，故.
故答案为：A.
【分析】利用导数判断函数单调性的方法，则判断出函数在区间上的单调性，则，即，则在上恒成立，利用函数在上的单调性，从而得出函数在上的最大值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，所以.
故选：B。
【分析】根据二倍角的正弦余弦公式和同角的三角函数关系式化简可得，再利用二倍角的正切公式计算即可求解.
8．【答案】A
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，，且，
所以，
记，则，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
记的前n项和为，
则.
故答案为：A.
【分析】分奇数项和偶数项求出数列的递推关系，记，利用构造法，记，则得出，再由递推公式变形和等比数列的定义，则判断出数列是以为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再由分组求和的方法得出数列的前100项的和.
9．【答案】A,B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，则圆柱的底面圆的半径为，高为，
则，，
对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D错误.
故选：AB.
【分析】设球的半径为，根据圆柱和球的表面积公式及体积公式分别求出其表面积与体积，再逐一判断各选项即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：取的中点，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，如图所示：
对A，因为抛物线：，所以，
所以，故A正确；
对B， 根据抛物线的性质可得：，，为梯形的中位线，
所以，所以以为直径的圆与准线相切，故B正确；
对C，因为抛物线：，所以，
所以，故C正确；
对D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，
设过的直线方程为，
联立，消y得：，
令，即，解得，所以直线与抛物线也只有一个公共点，
此时有三条直线符合题意，故D错误.
故选：ABC。
【分析】已知抛物线的方程，利用抛物线的性质，焦点弦的性质，数形结合判断各选项．
11．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对A，由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在时取得极小值，且最小值为，故A正确；
对B，D，因为，且，
所以，而，即，故，
又，且，，故大致图象如图所示，
故对于有两个解，的最小整数值为，且无零点，故B正确，D错误；
对C，因为，，
所以当时，有，故C错误。
故选：AB.
【分析】求导，求出函数的极值即可判断A；作出函数图象，数形结合可判断B，D；代入特殊值可判断C.
12．【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，且，
所以，即，解得.
故填：.
【分析】根据向量的坐标运算可得，再由向量垂直的坐标表示建立方程，求解即可.
13．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：将圆化为标准方程得：
，其圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以弦长为，
因为，所以，所以，
所以弦长，
当，即时，弦长有最大值.
故填：.
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由，得，
解得或，
根据正弦函数图象性质可知，，解得，
所以；
将函数的图象向左平移个单位可得：，
又因为为偶函数，所以，
又，可得，所以；
当时，，
若函数在内恰有个极值点，结合正弦函数的图象可知，
解得，
所以实数的取值范围为.
故填：.
【分析】根据函数零点的最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个极值点可限定出，即可解得实数的取值范围.
15．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
所以，即，
因为，，
所以，所以.
（2）解：（2）若选①：由平分得：，
即，即，
在中，由余弦定理得：，
即，两式联立可得：，
所以的周长为；
若选②：因为为线段的中点，所以，
即，
因为，，所以，
整理可得：，
在中，由余弦定理得：，
所以，
两式联立可得：，所以，
从而的周长为.
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角函数的恒等变换化简得到，结合B的取值范围即可求出；
（2）选①，由三角形面积公式得到，由余弦定理得到，求出，得到周长；
选②，由题得，再两边平方得：，由余弦定理得，联立求出，得到周长.
（1）因为，可得，
故，故，
可得，
因为，，所以，可得.
（2）若选①：由平分得：，
即，即，
在中，由余弦定理得，
即，两式联立可得，
所以的周长为；
若选②：为线段的中点，故，
，
因为，，故，
整理可得，
在中，由余弦定理得，
所以，
两式联立可得，所以，
从而的周长为.
16．【答案】（1）解：（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，
因为.
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.
（2）解：（2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人，
所以的所有可能取值为，
所以，，，
所以随机变量的分布列为：
1 2 3
随机变量的数学期望。
【知识点】实际推断原理和假设检验；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）根据联表中数据，求出卡方，与临界值比较即可作答；
（2）根据抽样比可得抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有2人，不少于4小时的有3人，再利用超几何分布的概率公式求出X取各个值的概率，从而得分别列，再由期望公式即可求解.
（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，
.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.
（2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人，
所以所有可能的取值为，
所以，，，
所以随机变量的分布列为：
1 2 3
随机变量的数学期望
17．【答案】（1）证明：（1）如图，取棱的中点，连接，
因为是棱的中点，所以且．
又因为四边形是矩形，是棱的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面平面，故平面．
（2）解：（2）取棱的中点，则在正三角形中，，
所以平面．
以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
设，
．
所以．
设平面的法向量为，
则，即，
令x=b，则y=2a，z=，所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令p=b，则q=-2a，r=，所以．
因为二面角的大小为120°，
所以，
解得，即．
【知识点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）取棱的中点，连结，，可证四边形是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，再利用二面角的向量公式求出参数，即可求解。
（1）如图，取棱的中点，连接．
因为是棱的中点，所以且．
又因为四边形是矩形，是棱的中点，故且，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面平面，故平面．
（2）取棱的中点，则在正三角形中，，所以平面．
以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
设，则．
所以．
设平面的法向量为，
则即可取．
设平面的法向量为，
则即可取．
由题设知，故，
即．
18．【答案】（1）解：（1）M为的垂直平分线上一点， 则 ，
则
所以点M的轨迹为以为焦点的双曲线， 且，
故点M的轨迹方程为
（2）解：（2）( i )证明： 设，双曲线的渐近线方程为：，
如图所示：
则①，②，
①+②得， ，
①-②得， ，
则，得
由题可知，则，
得，即，
所以直线的方程为，即，
又因为点M在曲线H上，则 ，得，
联立，消y得：，
所以，
由，可知方程有且仅有一个解，
所以直线l与曲线H有且仅有一个交点.
（ii）由（i）联立 ，得，
同理可得， ，
则，
故，
当且仅当，即时取等号.
故的取值范围为．
【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 由双曲线的定义进行求解；
(2) ( i ) 设，求出，由直线l与曲线H方程进行求解；
（ii）由，则利用基本不等式求解．
（1）M为的垂直平分线上一点， 则 ，
则
∴点M的轨迹为以为焦点的双曲线， 且，
故点M的轨迹方程为
（2）( i ) 设，双曲线的渐近线方程为：，
如图所示：
则①，②，
①+②得， ，
①-②得， ，
则，得
由题可知，则，
得，即，
∴直线的方程为，即，
又∵点M在曲线H上，则 ，得，
将方程联立，得，
得，
由，可知方程有且仅有一个解，
得直线l与曲线H有且仅有一个交点.
（ii）由（i）联立 ，可得，同理可得， ，
则，
故，
当且仅当，即时取等号.
故的取值范围为．
19．【答案】（1）解：（1）因为，
所以．
因为，所以，
所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列．
所以，
所以，即，
所以数列成等差数列，其首项为，公差为．
所以，
所以．
（2）（2）因为，
所以，
两式相减得：
，
所以．
因为 要使数列是等差数列；
所以，解得．
当时，因为，
所以，所以数列是等差数列．
（3）解：（3）因为，
所以．
因为，
所以数列是递增数列，
所以数列是“绝对差异数列”．
【知识点】等比数列概念与表示；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据题意，可得是以3为首项，2为公比的等比数列，结合通项公式化简可得数列成等差数列，且首项为，公差为，从而得到数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求出，由等差数列的定义化简可得值，再验证即可；
（3）由“绝对差异数列”的定义结合已知条件化简可得结论.
（1）因为，所以．
因为，所以，
所以是以3为首项，2为公比的等比数列．
于是，
所以，即，
所以数列成等差数列，其首项为，公差为．
于是，
所以．
（2）因为，
所以，
所以
，
所以．
因为
所以，所以．
当时，因为，
所以，所以数列是等差数列．
（3）因为，
所以．
因为，
所以数列是递增数列，
所以数列是“绝对差异数列”．
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1．（2024高三上·昆明月考）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为，
又因为 复数在复平面内对应的点位于第二象限，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】根据复数乘法法则化简得，根据复数定义列出不等式组求解即可.
2．（2024高三上·昆明月考） 某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，则单位职工体重的方差为（ ）
A．166 B．167 C．168 D．169
【答案】D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根基题意可得：单位职工的平均体重为：
则单位职工体重的方程为：。
故答案为：D.
【分析】本题主要考查分层抽样的平均数及方程，根据已知数据结合分层抽样的平均数及方差公式进行求解即可.
3．（2024高三上·昆明月考）已知函数，则“是函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，
此时的定义域为R，关于原点对称，且，
故函数为偶函数，即充分性成立；
当为偶函数时，，此时不一定成立，即必要性不成立；
所以“是函数为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合余弦函数的奇偶性即可得解.
4．（2024高三上·昆明月考）已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【解答】解：由得，所以在点(1，1)处的
切线的斜率为，所以切线方程为y=2x-1，联立，消去y，得x2 -2ax +a= 0，由，得a=1或a=0(舍去)，
故答案为：C.
【分析】根据导数的意义，切线斜率为x=1时导函数的值，代入点斜式求出切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式等于0，即可求解.
5．（2024高三上·昆明月考）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中，）.如图所示，设点、、是相应椭圆的焦点，、和、是“果圆”与轴和轴的交点，若是边长为1的等边三角形，则，的值分别为（ ）
A．，1 B．，1 C．5，3 D．5，4
【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【解答】解：由题意知，，，
两式相加得：，
又因为，所以，即，
所以，即.
故选：A.
【分析】由椭圆的几何性质可得的等量关系，再结合即可求得a，b的值。
6．（2024高三上·昆明月考）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，
所以，故.
故答案为：A.
【分析】利用导数判断函数单调性的方法，则判断出函数在区间上的单调性，则，即，则在上恒成立，利用函数在上的单调性，从而得出函数在上的最大值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
7．（2024高三上·昆明月考）若，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，所以.
故选：B。
【分析】根据二倍角的正弦余弦公式和同角的三角函数关系式化简可得，再利用二倍角的正切公式计算即可求解.
8．（2024高三上·昆明月考）已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，，且，
所以，
记，则，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
记的前n项和为，
则.
故答案为：A.
【分析】分奇数项和偶数项求出数列的递推关系，记，利用构造法，记，则得出，再由递推公式变形和等比数列的定义，则判断出数列是以为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再由分组求和的方法得出数列的前100项的和.
9．（2024高三上·昆明月考）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为，体积为；圆柱的表面积为，体积为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，则圆柱的底面圆的半径为，高为，
则，，
对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D错误.
故选：AB.
【分析】设球的半径为，根据圆柱和球的表面积公式及体积公式分别求出其表面积与体积，再逐一判断各选项即可.
10．（2024高三上·昆明月考）已知抛物线：的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则
D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】A,B,C
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：取的中点，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，如图所示：
对A，因为抛物线：，所以，
所以，故A正确；
对B， 根据抛物线的性质可得：，，为梯形的中位线，
所以，所以以为直径的圆与准线相切，故B正确；
对C，因为抛物线：，所以，
所以，故C正确；
对D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，
设过的直线方程为，
联立，消y得：，
令，即，解得，所以直线与抛物线也只有一个公共点，
此时有三条直线符合题意，故D错误.
故选：ABC。
【分析】已知抛物线的方程，利用抛物线的性质，焦点弦的性质，数形结合判断各选项．
11．（2024高三上·昆明月考）已知函数，则（ ）
A．在处取得极值
B．若有两解，则的最小整数值为
C．若有两解，，则
D．有两个零点
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对A，由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在时取得极小值，且最小值为，故A正确；
对B，D，因为，且，
所以，而，即，故，
又，且，，故大致图象如图所示，
故对于有两个解，的最小整数值为，且无零点，故B正确，D错误；
对C，因为，，
所以当时，有，故C错误。
故选：AB.
【分析】求导，求出函数的极值即可判断A；作出函数图象，数形结合可判断B，D；代入特殊值可判断C.
12．（2024高三上·昆明月考）已知平面向量，若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，且，
所以，即，解得.
故填：.
【分析】根据向量的坐标运算可得，再由向量垂直的坐标表示建立方程，求解即可.
13．（2024高三上·昆明月考）直线被圆截得最大弦长为 ．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：将圆化为标准方程得：
，其圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以弦长为，
因为，所以，所以，
所以弦长，
当，即时，弦长有最大值.
故填：.
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.
14．（2024高三上·昆明月考）已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为 .
【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由，得，
解得或，
根据正弦函数图象性质可知，，解得，
所以；
将函数的图象向左平移个单位可得：，
又因为为偶函数，所以，
又，可得，所以；
当时，，
若函数在内恰有个极值点，结合正弦函数的图象可知，
解得，
所以实数的取值范围为.
故填：.
【分析】根据函数零点的最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个极值点可限定出，即可解得实数的取值范围.
15．（2024高三上·昆明月考）在中，角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的周长.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）
①是的平分线；
②为线段的中点
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
所以，即，
因为，，
所以，所以.
（2）解：（2）若选①：由平分得：，
即，即，
在中，由余弦定理得：，
即，两式联立可得：，
所以的周长为；
若选②：因为为线段的中点，所以，
即，
因为，，所以，
整理可得：，
在中，由余弦定理得：，
所以，
两式联立可得：，所以，
从而的周长为.
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角函数的恒等变换化简得到，结合B的取值范围即可求出；
（2）选①，由三角形面积公式得到，由余弦定理得到，求出，得到周长；
选②，由题得，再两边平方得：，由余弦定理得，联立求出，得到周长.
（1）因为，可得，
故，故，
可得，
因为，，所以，可得.
（2）若选①：由平分得：，
即，即，
在中，由余弦定理得，
即，两式联立可得，
所以的周长为；
若选②：为线段的中点，故，
，
因为，，故，
整理可得，
在中，由余弦定理得，
所以，
两式联立可得，所以，
从而的周长为.
16．（2024高三上·昆明月考）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
年龄 周平均锻炼时长 合计
周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下 40 60 100
50岁以上（含50） 25 75 100
合计 65 135 200
（1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据：，其中.
【答案】（1）解：（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，
因为.
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.
（2）解：（2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人，
所以的所有可能取值为，
所以，，，
所以随机变量的分布列为：
1 2 3
随机变量的数学期望。
【知识点】实际推断原理和假设检验；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）根据联表中数据，求出卡方，与临界值比较即可作答；
（2）根据抽样比可得抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有2人，不少于4小时的有3人，再利用超几何分布的概率公式求出X取各个值的概率，从而得分别列，再由期望公式即可求解.
（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，
.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.
（2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人，
所以所有可能的取值为，
所以，，，
所以随机变量的分布列为：
1 2 3
随机变量的数学期望
17．（2024高三上·昆明月考）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为矩形，且平面平面分别为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，且二面角的大小为120°，求的值．
【答案】（1）证明：（1）如图，取棱的中点，连接，
因为是棱的中点，所以且．
又因为四边形是矩形，是棱的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面平面，故平面．
（2）解：（2）取棱的中点，则在正三角形中，，
所以平面．
以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
设，
．
所以．
设平面的法向量为，
则，即，
令x=b，则y=2a，z=，所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令p=b，则q=-2a，r=，所以．
因为二面角的大小为120°，
所以，
解得，即．
【知识点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）取棱的中点，连结，，可证四边形是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，再利用二面角的向量公式求出参数，即可求解。
（1）如图，取棱的中点，连接．
因为是棱的中点，所以且．
又因为四边形是矩形，是棱的中点，故且，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面平面，故平面．
（2）取棱的中点，则在正三角形中，，所以平面．
以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
设，则．
所以．
设平面的法向量为，
则即可取．
设平面的法向量为，
则即可取．
由题设知，故，
即．
18．（2024高三上·昆明月考）已知点P为圆上任意一点，线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
（1）求曲线H的方程；
（2）若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求的取值范围.
【答案】（1）解：（1）M为的垂直平分线上一点， 则 ，
则
所以点M的轨迹为以为焦点的双曲线， 且，
故点M的轨迹方程为
（2）解：（2）( i )证明： 设，双曲线的渐近线方程为：，
如图所示：
则①，②，
①+②得， ，
①-②得， ，
则，得
由题可知，则，
得，即，
所以直线的方程为，即，
又因为点M在曲线H上，则 ，得，
联立，消y得：，
所以，
由，可知方程有且仅有一个解，
所以直线l与曲线H有且仅有一个交点.
（ii）由（i）联立 ，得，
同理可得， ，
则，
故，
当且仅当，即时取等号.
故的取值范围为．
【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 由双曲线的定义进行求解；
(2) ( i ) 设，求出，由直线l与曲线H方程进行求解；
（ii）由，则利用基本不等式求解．
（1）M为的垂直平分线上一点， 则 ，
则
∴点M的轨迹为以为焦点的双曲线， 且，
故点M的轨迹方程为
（2）( i ) 设，双曲线的渐近线方程为：，
如图所示：
则①，②，
①+②得， ，
①-②得， ，
则，得
由题可知，则，
得，即，
∴直线的方程为，即，
又∵点M在曲线H上，则 ，得，
将方程联立，得，
得，
由，可知方程有且仅有一个解，
得直线l与曲线H有且仅有一个交点.
（ii）由（i）联立 ，可得，同理可得， ，
则，
故，
当且仅当，即时取等号.
故的取值范围为．
19．（2024高三上·昆明月考）已知数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求实数的值，使得数列是等差数列；
（3）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中．如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”．判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明．
【答案】（1）解：（1）因为，
所以．
因为，所以，
所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列．
所以，
所以，即，
所以数列成等差数列，其首项为，公差为．
所以，
所以．
（2）（2）因为，
所以，
两式相减得：
，
所以．
因为 要使数列是等差数列；
所以，解得．
当时，因为，
所以，所以数列是等差数列．
（3）解：（3）因为，
所以．
因为，
所以数列是递增数列，
所以数列是“绝对差异数列”．
【知识点】等比数列概念与表示；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据题意，可得是以3为首项，2为公比的等比数列，结合通项公式化简可得数列成等差数列，且首项为，公差为，从而得到数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求出，由等差数列的定义化简可得值，再验证即可；
（3）由“绝对差异数列”的定义结合已知条件化简可得结论.
（1）因为，所以．
因为，所以，
所以是以3为首项，2为公比的等比数列．
于是，
所以，即，
所以数列成等差数列，其首项为，公差为．
于是，
所以．
（2）因为，
所以，
所以
，
所以．
因为
所以，所以．
当时，因为，
所以，所以数列是等差数列．
（3）因为，
所以．
因为，
所以数列是递增数列，
所以数列是“绝对差异数列”．
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