湖南省桃源县第一中学2024-2025学年高三上学期9月模块考试数学试题
1．（2024高三上·桃源月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·桃源月考）已知复数（其中a为实数，i为虚数单位），若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·桃源月考）已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·桃源月考）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高三上·桃源月考）如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·桃源月考）已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·桃源月考）在锐角中，角所对的边分别为，若，且的外接圆面积为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·桃源月考）已知正数满足等式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2024高三上·桃源月考）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则（ ）
A．函数的最大值为
B．函数在区间上单调递增
C．函数关于直线对称
D．函数的所有非负零点组成的递增数列是首项为，公差为的等差数列
10．（2024高三上·桃源月考）下列命题正确的是（ ）
A．若数列均为等差数列，则数列为等差数列
B．若数列是公比相同的等比数列，则数列为等比数列
C．若数列为等差数列，则数列为等比数列
D．存在非零实数使得数列为等比数列
11．（2024高三上·桃源月考）已知定义域为R的可导函数的导函数为，若函数为偶函数，且，设，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数在处的切线方程为
12．（2024高三上·桃源月考）已知平面向量，为单位向量，且，则向量与的夹角为 .
13．（2024高三上·桃源月考）已知等差数列和等比数列满足，，，若，则数列的前项和为 .
14．（2024高三上·桃源月考）若点，关于原点对称，且均在函数的图象上，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是 .
15．（2024高三上·桃源月考）已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期及单调递增区间．
16．（2024高三上·桃源月考）已知是等差数列的前项和，且.
（1）求；
（2）若，记数列前项和为
17．（2024高三上·桃源月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，的平分线交于点，且．求的面积．
18．（2024高三上·桃源月考）如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面的夹角余弦值为，求三棱柱的体积．
19．（2024高三上·桃源月考）已知函数，其中不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”．
（1）若，求；
（2）若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，；
（3）若，证明：对于任意的，均存在，使得．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，.
故选：D.
【分析】解一元二次不等式求出集合M，再利用交集的运算法则和并集的运算法则，从而找出正确的选项.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题设可知，即，
所以.
故选：C.
【分析】根据复数求模公式和已知条件，从而求得a的值，再结合复数的除法运算法则，进而得出复数z.
3．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题设可知，，
所以，.
故选：B.
【分析】由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，再结合同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
4．【答案】A
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：令，
则，
所以为奇函数，则排除选项B、选项D；
当时，，所以，则排除选项C，所以选项A正确.
故答案为：A.
【分析】由函数的奇偶性排除选项B和选项D；再利用x的取值范围结合函数求值域的方法，则排除选项C，进而找出正确的选项.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题设可知，
.
故选：C.
【分析】利用向量的三角形法则和相反向量的几何意义，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而求出的值.
6．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：
因为，则，
因为在区间上是单调函数，则，解得，
又，实数的取值范围是．
故选：A．
【分析】根据已知条件结合三角恒等变换，将函数转化为正弦型函数，再结合x的取值范围和不等式的基本性质，再结合转化法和正弦函数的单调性以及角的取值范围，从而得出实数的取值范围．
7．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：由条件等式可知，，
根据正弦定理，，是三角形外接圆半径，
又因为，即，
则，由题意可知，，即，
所以，且角为锐角，所以.
故选：C.
【分析】首先根据公式以及两角和的正弦公式，化简条件等式，再结合正弦定理的性质，从而得出三角形的半径，进而得出角A的正弦值，再结合角A的取值范围，从而得出角A的值.
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A，由，
令，
令，则，
所以，在上递增，
若，则，
所以在上递减，则，
所以，
对于且，即，
而，
所以在上递增，则，所以A错；
对于B，若，令，则，
在上，递减；在上，递增，
而，，，
存在使，即上，
所以，同理此时有，所以B错；
对于C，由，
令且，则，
若，则，即在上递减，且时，
此时恒成立，即，
又因为且，则，
所以在上递增，故，所以C错；
对于D，若，则，即在上递增，
则，此时恒成立，
同理，得在上递增，故，所以D对.
故选：D.
【分析】分别以为主元，构造、，再利用导数判断函数的单调性求最值的方法、函数求极限的方法、不等式恒成立问题求解方法，进而得到和的大小关系，再结合各选项的范围判断出各选项的正确，从而找出说法正确的选项.
9．【答案】C,D
【知识点】等差数列概念与表示；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，由题意可知，其最大值为1，所以A错；
对于B，当，则，显然在区间内不单调，所以B错；
对于C，因为，所以是一条对称轴，所以C对；
对于D，令，则所有非负零点为且，
所以，由等差数列的通项公式，易知是首项为，公差为的等差数列，所以D对.
故选：CD.
【分析】根据正弦型函数的图象变换得出函数f(x)的解析式，再由正弦型函数图象求出其最值，从而判断出选项A；利用正弦型函数的图象判断其在区间上的单调性，从而判断出选项B；利用正弦型函数的图象判断其对称性，从而判断出选项C；再结合整体法求零点的方法、数列的单调性和等差数列的定义，从而判断选项D，进而找出正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】命题的真假判断与应用；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：对于，设数列的公差分别为，
则，为常数，故正确；
对于，均为等比数列且公比相等，当时，数列不是等比数列，
故错误；
对于，设等差数列的公差为，则为常数，
所以为等比数列，故正确；
对于，若数列为等比数列，则，
当时，；当时，不是常数，故错误.
故选：.
【分析】根据等差、等比数列的概念及特例判断法，可判断出选项A和选项B；根据等比数列的定义与性质，可判断选项C和选项D，从而找出命题正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：对于A，由，又因为，
所以，
所以是周期为4的偶函数，则是周期为4的奇函数，
对于，又，函数关于对称，
令，即得，且，
再根据已知条件判断出无法确定，所以A错；
对于B，由得，
，，
，
所以，
则，
所以B对；
对于C，由，则，
，即，所以，所以C对；
对于D，因为，而，则在处的切线方程为，所以D对.
故选：BCD.
【分析】根据已知条件得到是周期为4的偶函数，则是周期为4的奇函数，进而确定相应的函数值，从而判断出A和选项B；根据已知解析式和导数的运算法则、几何意义，从而求出导数值和切线方程，则判断出选项C和选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题设可知，
而，则，
所以，则，
又因为.
故填：
【分析】利用向量数量积求模公式和数量积的运算律，再结合单位向量的性质求得的值，再利用两向量的夹角的取值范围，从而得出两向量的夹角.
13．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：令的公差为，的公比为，
则，
故，
所以，
所以，数列的前项和为.
故填：.
【分析】利用等差数列的通项公式、等比数列的通项公式，从而列方程求出等差数列和等比数列的基本量，进而求出数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用等比数列前n项和公式求出数列的前项和.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题可知，要使恰有两个“匹配点对”，
只需与在上有两个交点，
所以有两个不同的正根，
令且，则，
所以时，，即在上递减；
当时，，即在上递增，
又因为当时，；当时，且最小值，
所以，要使有两个不同的正根，只需，所以.
故填：.
【分析】利用“匹配点对”定义和两函数的交点的横坐标与方程的根的等价关系，将问题转化为与在上有两个交点，从而得出有两个不同的正根，再利用导数判断出函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解：由与，
得，
所以.
（2）解：因为的最小正周期是
由，，
解得，，
所以的单调递增区间是().
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的值；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式，从而将函数转化为正弦型函数，再结合赋值法得出函数的值.
（2）根据（1）所得的函数解析式和正弦型函数的最小正周期公式得出的最小正周期，再结合整体换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，从而求出函数的单调递增区间.
（1）由与，
得，
所以；
（2）的最小正周期是
由，，解得，，
所以的单调递增区间是().
16．【答案】（1）解：设公差为，结合题设有，解得.
故.
（2）解：由（1）有，
故
，
即.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式，从而求出等差数列的基本量，进而求出等差数列的前n项和公式.
（2）由（1）结合可知数列的通项公式，再结合裂项相消法求和，从而得出数列前项和.
（1）设公差为，结合题设有，解得.
故.
（2）由（1）有，
故，
即.
17．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
即，
即
整理得，
因为，所以，
又，所以．
（2）解：由题意，得，
又，
所以，
即，
由余弦定理得，
即，于是，解得或（舍），
所以．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；
（2）依题意得，由，可得，再由余弦定理得到，即可求出，最后根据面积公式计算可得.
18．【答案】（1）证明：在菱形中，，则为等边三角形，
又因为O是AC的中点，则，
又因为平面ABC⊥平面，
平面平面，平面，
平面，又因为面，
则面面.
（2）解：由（1）知平面，又因为，O是AC的中点，
则，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，设，则，，，
所以，，，
设平面法向量， 则，
令，，得，
设平面法向量，则，
令，，可得，
所以，
由，解得，，，
所以，三棱柱的体积为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；柱体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用菱形的结构特征和等边三角形的定义以及中点的性质，从而证出线线垂直，再结合面面垂直证出线面垂直，再利用线面垂直证出平面平面.
（2）由（1）知直线平面，利用，O是AC的中点，则由等腰三角形三线合一，得出，进而以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件得出t的值，再结合三角形的面积公式和三棱柱的体积公式，进而得出三棱柱的体积.
（1）菱形中，则为等边三角形，
又O是AC的中点，则，
又平面ABC⊥平面，平面平面，平面，
平面，又面，则面面.
（2）由（1）知平面，又，O是AC的中点，则，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，设，则，，，
所以，，，
设平面法向量， 则，
令，，得，
设平面法向量，则，
令，，可得，
所以，由，解得，
，，
三棱柱的体积为.
19．【答案】（1）解：由题可知．
，
故的伴生函数为．
（2）证明：由已知得，
所以
．
因为曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，
故在上恒成立．
又因为，所以，
所以，当时，．
（3）证明：因为，所以．
设，则．
注意到，则在上一定存在极值点．
令为其中一个极值点，则，
即，所以，
因为，所以，故．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由题可知的值，再结合“伴生函数”定义，从而计算求出伴生函数．
（2）利用，再由已知可得在上恒成立，再结合导数的几何意义求出切线的斜率，再利用不等式恒成立问题和，得出，进而证出当时，.
（3）令，再利用导数求极值点的方法结合在上一定存在极值点，从而令为其中一个极值点，则，再利用t的取值范围得出，进而证出对于任意的，均存在，使得成立.
（1）由题可知．
所以，
故的伴生函数为．
（2）由已知得，
所以
．
因为曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，
故在上恒成立．
又，所以，
所以当时，．
（3）因为，所以．
设，则．
注意到，则在上一定存在极值点．
令为其中一个极值点，则，
即，所以，
因为，所以，故．
1 / 1湖南省桃源县第一中学2024-2025学年高三上学期9月模块考试数学试题
1．（2024高三上·桃源月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，.
故选：D.
【分析】解一元二次不等式求出集合M，再利用交集的运算法则和并集的运算法则，从而找出正确的选项.
2．（2024高三上·桃源月考）已知复数（其中a为实数，i为虚数单位），若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题设可知，即，
所以.
故选：C.
【分析】根据复数求模公式和已知条件，从而求得a的值，再结合复数的除法运算法则，进而得出复数z.
3．（2024高三上·桃源月考）已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题设可知，，
所以，.
故选：B.
【分析】由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，再结合同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
4．（2024高三上·桃源月考）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：令，
则，
所以为奇函数，则排除选项B、选项D；
当时，，所以，则排除选项C，所以选项A正确.
故答案为：A.
【分析】由函数的奇偶性排除选项B和选项D；再利用x的取值范围结合函数求值域的方法，则排除选项C，进而找出正确的选项.
5．（2024高三上·桃源月考）如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题设可知，
.
故选：C.
【分析】利用向量的三角形法则和相反向量的几何意义，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而求出的值.
6．（2024高三上·桃源月考）已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：
因为，则，
因为在区间上是单调函数，则，解得，
又，实数的取值范围是．
故选：A．
【分析】根据已知条件结合三角恒等变换，将函数转化为正弦型函数，再结合x的取值范围和不等式的基本性质，再结合转化法和正弦函数的单调性以及角的取值范围，从而得出实数的取值范围．
7．（2024高三上·桃源月考）在锐角中，角所对的边分别为，若，且的外接圆面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：由条件等式可知，，
根据正弦定理，，是三角形外接圆半径，
又因为，即，
则，由题意可知，，即，
所以，且角为锐角，所以.
故选：C.
【分析】首先根据公式以及两角和的正弦公式，化简条件等式，再结合正弦定理的性质，从而得出三角形的半径，进而得出角A的正弦值，再结合角A的取值范围，从而得出角A的值.
8．（2024高三上·桃源月考）已知正数满足等式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A，由，
令，
令，则，
所以，在上递增，
若，则，
所以在上递减，则，
所以，
对于且，即，
而，
所以在上递增，则，所以A错；
对于B，若，令，则，
在上，递减；在上，递增，
而，，，
存在使，即上，
所以，同理此时有，所以B错；
对于C，由，
令且，则，
若，则，即在上递减，且时，
此时恒成立，即，
又因为且，则，
所以在上递增，故，所以C错；
对于D，若，则，即在上递增，
则，此时恒成立，
同理，得在上递增，故，所以D对.
故选：D.
【分析】分别以为主元，构造、，再利用导数判断函数的单调性求最值的方法、函数求极限的方法、不等式恒成立问题求解方法，进而得到和的大小关系，再结合各选项的范围判断出各选项的正确，从而找出说法正确的选项.
9．（2024高三上·桃源月考）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则（ ）
A．函数的最大值为
B．函数在区间上单调递增
C．函数关于直线对称
D．函数的所有非负零点组成的递增数列是首项为，公差为的等差数列
【答案】C,D
【知识点】等差数列概念与表示；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，由题意可知，其最大值为1，所以A错；
对于B，当，则，显然在区间内不单调，所以B错；
对于C，因为，所以是一条对称轴，所以C对；
对于D，令，则所有非负零点为且，
所以，由等差数列的通项公式，易知是首项为，公差为的等差数列，所以D对.
故选：CD.
【分析】根据正弦型函数的图象变换得出函数f(x)的解析式，再由正弦型函数图象求出其最值，从而判断出选项A；利用正弦型函数的图象判断其在区间上的单调性，从而判断出选项B；利用正弦型函数的图象判断其对称性，从而判断出选项C；再结合整体法求零点的方法、数列的单调性和等差数列的定义，从而判断选项D，进而找出正确的选项.
10．（2024高三上·桃源月考）下列命题正确的是（ ）
A．若数列均为等差数列，则数列为等差数列
B．若数列是公比相同的等比数列，则数列为等比数列
C．若数列为等差数列，则数列为等比数列
D．存在非零实数使得数列为等比数列
【答案】A,C
【知识点】命题的真假判断与应用；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：对于，设数列的公差分别为，
则，为常数，故正确；
对于，均为等比数列且公比相等，当时，数列不是等比数列，
故错误；
对于，设等差数列的公差为，则为常数，
所以为等比数列，故正确；
对于，若数列为等比数列，则，
当时，；当时，不是常数，故错误.
故选：.
【分析】根据等差、等比数列的概念及特例判断法，可判断出选项A和选项B；根据等比数列的定义与性质，可判断选项C和选项D，从而找出命题正确的选项.
11．（2024高三上·桃源月考）已知定义域为R的可导函数的导函数为，若函数为偶函数，且，设，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数在处的切线方程为
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：对于A，由，又因为，
所以，
所以是周期为4的偶函数，则是周期为4的奇函数，
对于，又，函数关于对称，
令，即得，且，
再根据已知条件判断出无法确定，所以A错；
对于B，由得，
，，
，
所以，
则，
所以B对；
对于C，由，则，
，即，所以，所以C对；
对于D，因为，而，则在处的切线方程为，所以D对.
故选：BCD.
【分析】根据已知条件得到是周期为4的偶函数，则是周期为4的奇函数，进而确定相应的函数值，从而判断出A和选项B；根据已知解析式和导数的运算法则、几何意义，从而求出导数值和切线方程，则判断出选项C和选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高三上·桃源月考）已知平面向量，为单位向量，且，则向量与的夹角为 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题设可知，
而，则，
所以，则，
又因为.
故填：
【分析】利用向量数量积求模公式和数量积的运算律，再结合单位向量的性质求得的值，再利用两向量的夹角的取值范围，从而得出两向量的夹角.
13．（2024高三上·桃源月考）已知等差数列和等比数列满足，，，若，则数列的前项和为 .
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：令的公差为，的公比为，
则，
故，
所以，
所以，数列的前项和为.
故填：.
【分析】利用等差数列的通项公式、等比数列的通项公式，从而列方程求出等差数列和等比数列的基本量，进而求出数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用等比数列前n项和公式求出数列的前项和.
14．（2024高三上·桃源月考）若点，关于原点对称，且均在函数的图象上，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题可知，要使恰有两个“匹配点对”，
只需与在上有两个交点，
所以有两个不同的正根，
令且，则，
所以时，，即在上递减；
当时，，即在上递增，
又因为当时，；当时，且最小值，
所以，要使有两个不同的正根，只需，所以.
故填：.
【分析】利用“匹配点对”定义和两函数的交点的横坐标与方程的根的等价关系，将问题转化为与在上有两个交点，从而得出有两个不同的正根，再利用导数判断出函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出实数a的取值范围.
15．（2024高三上·桃源月考）已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（1）解：由与，
得，
所以.
（2）解：因为的最小正周期是
由，，
解得，，
所以的单调递增区间是().
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的值；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式，从而将函数转化为正弦型函数，再结合赋值法得出函数的值.
（2）根据（1）所得的函数解析式和正弦型函数的最小正周期公式得出的最小正周期，再结合整体换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，从而求出函数的单调递增区间.
（1）由与，
得，
所以；
（2）的最小正周期是
由，，解得，，
所以的单调递增区间是().
16．（2024高三上·桃源月考）已知是等差数列的前项和，且.
（1）求；
（2）若，记数列前项和为
【答案】（1）解：设公差为，结合题设有，解得.
故.
（2）解：由（1）有，
故
，
即.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式，从而求出等差数列的基本量，进而求出等差数列的前n项和公式.
（2）由（1）结合可知数列的通项公式，再结合裂项相消法求和，从而得出数列前项和.
（1）设公差为，结合题设有，解得.
故.
（2）由（1）有，
故，
即.
17．（2024高三上·桃源月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，的平分线交于点，且．求的面积．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
即，
即
整理得，
因为，所以，
又，所以．
（2）解：由题意，得，
又，
所以，
即，
由余弦定理得，
即，于是，解得或（舍），
所以．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；
（2）依题意得，由，可得，再由余弦定理得到，即可求出，最后根据面积公式计算可得.
18．（2024高三上·桃源月考）如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面的夹角余弦值为，求三棱柱的体积．
【答案】（1）证明：在菱形中，，则为等边三角形，
又因为O是AC的中点，则，
又因为平面ABC⊥平面，
平面平面，平面，
平面，又因为面，
则面面.
（2）解：由（1）知平面，又因为，O是AC的中点，
则，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，设，则，，，
所以，，，
设平面法向量， 则，
令，，得，
设平面法向量，则，
令，，可得，
所以，
由，解得，，，
所以，三棱柱的体积为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；柱体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用菱形的结构特征和等边三角形的定义以及中点的性质，从而证出线线垂直，再结合面面垂直证出线面垂直，再利用线面垂直证出平面平面.
（2）由（1）知直线平面，利用，O是AC的中点，则由等腰三角形三线合一，得出，进而以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件得出t的值，再结合三角形的面积公式和三棱柱的体积公式，进而得出三棱柱的体积.
（1）菱形中，则为等边三角形，
又O是AC的中点，则，
又平面ABC⊥平面，平面平面，平面，
平面，又面，则面面.
（2）由（1）知平面，又，O是AC的中点，则，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，设，则，，，
所以，，，
设平面法向量， 则，
令，，得，
设平面法向量，则，
令，，可得，
所以，由，解得，
，，
三棱柱的体积为.
19．（2024高三上·桃源月考）已知函数，其中不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”．
（1）若，求；
（2）若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，；
（3）若，证明：对于任意的，均存在，使得．
【答案】（1）解：由题可知．
，
故的伴生函数为．
（2）证明：由已知得，
所以
．
因为曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，
故在上恒成立．
又因为，所以，
所以，当时，．
（3）证明：因为，所以．
设，则．
注意到，则在上一定存在极值点．
令为其中一个极值点，则，
即，所以，
因为，所以，故．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由题可知的值，再结合“伴生函数”定义，从而计算求出伴生函数．
（2）利用，再由已知可得在上恒成立，再结合导数的几何意义求出切线的斜率，再利用不等式恒成立问题和，得出，进而证出当时，.
（3）令，再利用导数求极值点的方法结合在上一定存在极值点，从而令为其中一个极值点，则，再利用t的取值范围得出，进而证出对于任意的，均存在，使得成立.
（1）由题可知．
所以，
故的伴生函数为．
（2）由已知得，
所以
．
因为曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，
故在上恒成立．
又，所以，
所以当时，．
（3）因为，所以．
设，则．
注意到，则在上一定存在极值点．
令为其中一个极值点，则，
即，所以，
因为，所以，故．
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