以数轴为载体的方程问题 期末复习（含答案）2024-2025学年人教版七年级数学上册

以数轴为载体的方程问题
1.某数学兴趣小组设计了一个问题，分两步完成.
(1)已知关于x的一元一次方程为( 8=0，请画出数轴，并在数轴上标出数a，x 对应的点，分别记为点A，B.
(2)在(1)的条件下，数轴上另有一点 C对应的数为y，点C与点A之间的距离是点 C 与点B之间的距离的5倍，求y的值.
2.如图，数轴上原点表示的是学校的位置，超市位于学校西侧600米的点A处，小明家位于学校东侧200米的点 B 处.某天小明与妈妈在超市购物后，步行回家.由于物品过多，小明先帮妈妈把部分物品送到家，当妈妈走到点C处时，小明刚好到家，并立即(其他时间忽略不计)沿原路返回去帮妈妈拿余下的物品.已知两人全程匀速步行，且小明妈妈每分钟走60米.
(1)小明每分钟走多少米
(2)小明和妈妈于何处相遇
(3)从出发到相遇的过程中，何时两人相距100米
3.如图,点A,B,C在数轴上对应的数分别为a，b，c.
(1)化简:
(2)若点B，C间的距离 且b+c=0,求a,b,c的值,并在数轴上标出原点O的位置；
(3)在(2)的条件下，若动点P，Q在数轴上相向运动，点P以每秒1 个单位长度的速度从点A向终点C运动，点Q以每秒0.5个单位长度的速度从点 C向终点 A 运动.当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.若P，Q两点同时出发，设点P，Q的运动时间为t秒，求当t为何值时，P，Q两点间的距离为6.
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4.如图，甲、乙分别站在数轴上表示-3和5 的位置上，沿数轴做移动游戏.规则如下：两人猜硬币的正反面，若都猜对或都猜错，则甲向右移动1个单位长度，同时乙向左移动1个单位长度；若甲猜对乙猜错，则甲向右移动4个单位长度，同时乙向右移动2个单位长度；若甲猜错乙猜对，则甲向左移动2个单位长度，同时乙向左移动4个单位长度.
(1)在第一次游戏中，若甲、乙都猜对，则移动后两人相距 个单位长度；若甲猜对乙猜错，则移动后两人相距 个单位长度；若甲猜错乙猜对，则移动后两人相距 个单位长度.
(2)若连续(下次在上次的基础上)完成了10次游戏，且每次甲、乙所猜结果均为一对一错.则游戏结束后，
①乙会不会到达原点 请通过计算说明理由.
②甲、乙两人之间的距离是多少
5.如图，已知点A，B是数轴上的两个点，点A 表示的数为-5，点B表示的数为15，现有一动点 P从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为 秒.
点P表示的数为 (分别用含t的式子表示).
(2)当点P运动多少秒时， 成立
(3)若M为PA的中点，N为PB的中点，则点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化 若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 MN的长.
答案
1.(1)由一元一次方程的定义得，|a|-1=1,且a-2≠0,
解得a= -2,
所以关于x的一元一次方程为-4x+8=0，解得x=2.
点A，B在数轴上表示如图所示.
(2)由(1)得,点A,B对应的数分别为-2,2.依题意有 y-(-2)|=5|2-y|,
若数轴上的两点表示的数分别为a，b，则这两点之间的距离等于|a-b|
所以y+2=5(2-y)或y+2=-5(2-y),解得 或y=3.
综上所述，y的值为 或3.
2.(1)根据速度=路程÷时间，列式计算即可求解；(2)根据时间=路程和÷速度和，求出相遇的时间，进一步可求两人于何处相遇；(3)可设从出发到相遇，x分钟时两人相距100米，分小明到家前和小明到家后两种情况进行讨论.
(1)(200+600)÷[(-120+600)÷60]=800÷8=100(米/分).
答：小明每分钟走100米.
(2)因为(200 +120)÷(100 +60) =320÷160=2(分钟),
2×60+(-120)=0,
所以小明和妈妈于学校(点O)处相遇.
(3)设从出发到相遇的过程中，x分钟时两人相距100米，分以下两种情况：
①小明到家前，依题意有
100x-60x=100,
解得
②小明到家后，依题意有
100x+60x+100=(200+600)×2,
解得
答：从出发到相遇的过程中， 分钟或 分钟时两人相距100米.
3.(1)因为c>b>a,所以a-b<0,c-b>0,
所以原式=b-a+c-b=c-a.
(2)原点O 的位置如图所示，即为BC的中点.
因为BC=10,
所以c-b=10,即b=c-10.
因为b+c=0,所以c-10+c=0,
所以c=5,b= -5.
因为BC=10,AC=3AB,
所以BC=2AB=10,
所以AB=5,
所以b-a=5,
点间的距离
所以a=-10.
(3)由(2)得,a=-10,c=5,AC=3AB=15.
由题意可得，当运动时间为t秒时，点P，Q在数轴上对应的数分别为-10+t,5-0.5t,因为P，Q两点间的距离为6，
所以l(-10+t)-(5-0.5t)l=6,
解得t=6或t=14.
因为AC=15,
所以运动时间最短为15÷1=15(秒)，
所以t=6或t=14均符合题意，
所以当t的值为6或14时，P，Q两点间的距离为6.
4.(1)6 6 6
(2)设甲猜对了n次，则甲猜对乙猜错n次，甲猜错乙猜对(10-n)次.
①根据题意得，乙猜错了n次，向右移动了2n 个单位长度，猜对了(10-n)次，向左移动了4(10-n)个单位长度,
则5-4(10-n)+2n=0,
解得
因为 整数，
所以乙不会到达原点.
②游戏结束时，甲的位置落在-3+4n-2(10-n)=(6n-23)处,
游戏结束时，乙的位置落在5-4(10-n)+2n=(6n-35)处,
|(6n-23)-(6n-35)|=12.
所以甲、乙两人之间的距离是12个单位长度.
(2)①由题意知，乙猜对或猜错的情况下，向左或向右移动的长度均为偶数，而乙初始位置距离原点5个单位长度，所以乙不会到达原点.
②由题意得，每次游戏后，二者之间的距离缩小了2个单位长度，所以10次移动游戏，共缩小了10×2=20(个)单位长度，所以10次移动游戏后，甲、乙两人之间的距离是|8-20|=12(个)单位长度.
5.(1)根据路程=速度×时间，以及线段的和差关系计算即可；(2)分两种情形构建方程即可解决问题；(3)分两种情况讨论即可.
(1)5t - 5+5t
(2)当PA=3PB时,点P可能在点B的左侧或右侧.
如图(1)，当点P在点B 的左侧时，
PB=20-5t,
则5t=3(20-5t),
解得t=3.
如图(2)，当点P在点B的右侧时，
PB=5t-20,
则5t=3(5t-20),
解得t=6.
故当点P运动3秒或6秒时,PA=3PB.
(3)线段 MN的长度不发生变化.
理由：因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以
①当点P在点B的左侧时，
②当点P在点B的右侧时， 故线段MN的长为10.