四川省攀枝花市第七高级中学2024-2025学年高三上学期第四次诊断性考试数学试题（含答案）

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攀枝花七中2025届高三上第四次诊断性考试
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数z满足，则z的共轭复数是（）
A. B. C. D.
2. 已知等差数列的前项和为，且，则（）
A. 36 B. 48 C. 52 D. 66
3. 已知向量，，若，则（）
A. 2 B. C. 1 D. 0
4. 已知函数,若,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 2024年10月1日是我国国庆75周年，全国人民以各种各样的形式共同庆祝.我校以文艺演出的形式庆祝，原本准备了4个舞蹈，2个独唱，2个朗诵节目（顺序已定），现节目组临时决定加入一个学生红歌合唱与一个教师红歌合唱，则节目的不同排法一共有（ ）种
A. 72 B. 36 C. 45 D. 90
6. 函数，则函数的零点个数是（）
A2 B. 3
C. 1 D. 0
7. 已知非零实数，，，“”是“”成立的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数，若，，且，则的最小值为（）
A. 2 B. 1 C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知、是夹角为单位向量，．下列结论正确的有（）
A. B.
C. D. 在方向上的投影数量为
10已知函数，则（）
A. 函数最小正周期为2
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称
D. 函数在区间上单调递增
11. 已知曲线与直线分别相切于点，与直线分别相切于点，且相交于点，则（）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 设，集合，则______
13. 已知函数两个极值点分别为椭圆与双曲线的离心率，则实数的取值范围是__________.
14. 若不等式恒成立，则实数k的取值范围为__________
四．解答题:本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
15. 在三角形中，角的对边分别为，已知.
（1）求值；
（2）若三角形为锐角三角形，求的取值范围.
16. 设函数
（1）分析的单调性和极值；
（2）设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；
17. 我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科技研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平，并获得了生产技术专利；
（1）在研发过程中，对研发时间上x(月)和该产品的厚度y(nm)进行统计，其中1~7月的数据资料如下：
x月 1 2 3 4 5 6 7
y（nm） 99 99 45 32 30 24 21
现用作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的最小厚度约为多少？
（2）某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择：
方案一：直接售卖，则每条生产线可卖6万元；
方案二：先花22万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，且相互独立.若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元.
①设3条老旧生产线中改造成功的生产线条数为X，求X的分布列和数学期望；
②请判断该企业应选择哪种售卖方案可能更为有利？并说明理由.
参考数据：
设，.；
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为，．
18. 已知正项数列，为其前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，若数列的前项和为，证明：．
19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
（i）若，求异面直线和所成角的余弦值；
（ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
攀枝花七中2025届高三上第四次诊断性考试
一．选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.
【答案】C
2.
【答案】D
3.
【答案】C
4.
【答案】A
5.
【答案】D
6.
【答案】A
7.
【答案】D
8.
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】AD
10.
【答案】BC
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.
【答案】0
13.【答案】
14.
【答案】
四．解答题:本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
15.
【解析】
【分析】（1）根据可得，利用两角和的正切公式结合题目条件可得，根据的范围可得结果.
（2）由正弦定理得，由得，由三角形为锐角三角形可得的范围，由此可得结果.
【小问1详解】
∵，∴，
∴，即，
∵，故，
又，
∴，
∵，∴.
【小问2详解】
由（1）和正弦定理得，
∵为锐角三角形，∴，解得，
∴，∴.
16.
【解析】
【分析】（1）求导研究函数单调性，求出极值；
（2）构造函数，求导后注意到，进而得到，，再验证充分性；
【小问1详解】
易知函数，则，
令，解得，
当时，，单调递减
时，，在单调递增，
故的极小值为，无极大值.
【小问2详解】
对任意的，都有成立，
即对任意的，恒成立，
令，则，
注意到：，若要，必须要求，即，亦即，
另一方面：当时，因为单调递增，
则当时，恒成立，
所以时单调递增，故；
故实数的取值范围为.
17.
【解析】
【分析】（1）设，则，利用回归直线公式可得，则关于的回归方程为，可以估计该产品的"理想"优良厚度约为13nm；
（2）①由已知，可得，分别求出X取值时的概率，即可列出分布列，进而求出数学期望；
②分别计算两种方案的收益，比较即得.
【小问1详解】
设，则，
所以，
，
所以，
所以关于的回归方程为，
所以可以估计该产品的"理想"优良厚度约为13nm．
【小问2详解】
X的取值为，
因为每条生产线改造成功的概率均为，且相互独立，
所以，
所以；
；
；
；
所以的分布列为
0 1 2 3
所以．
②当实施方案一时，设3条生产线的卖价为万元，则；
当实施方案二时，设3条生产线的卖价为万元，则，
所以的数学期望．
因为，
所以该企业应选择方案二售卖可能更为有利．
18.
【解析】
【分析】（1）由，求出，再利用与的关系即可求解数列的通项公式；
（2）利用裂项相消求数列的前项和为，再比较与的大小关系即可证明.
【小问1详解】
由，则在正项数列中，当时，，
整理得，即，
所以，
当时，，两式相减得，
当时，，符合要求，
故．
【小问2详解】
由（1）可得，
则.
19.
【解析】
【分析】（1）根据题意，的周长为8，离心率为，结合椭圆标准方程的定义，求解即可；
（2）（i）由（1）知，点，倾斜角为，故直线设为：，与联立求得，，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，再求异面直线和所成角的余弦值即可；
（ii）根据题意得到，设折叠前，，直线与椭圆联立方程，结合韦达定理，在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴），设，在新图形中对应点记为，，，，得到，结合，得到的值．
【小问1详解】
因为的周长为8，离心率为，
所以，即，，，
所以椭圆的标准方程为：；
【小问2详解】
由（1）知，点，倾斜角为，
故直线设为：，
（i）联立直线与椭圆的方程：，可得，
可得或，
可得，（因为点在轴上方）以及，
再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系
则，，，
，，
，，，
所以
记异面直线和所成角为，则；
（ii）由，，，
设折叠前，，
直线与椭圆联立方程，得，
即，，
在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴），
设，在新图形中对应点记为，，，
，，
①，
即
所以②，
由①②可得：
即
则
即，，
解得，
因为，所以．
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