第3节 一元二次方程及其应用
【基础作业】
训练角度1 一元二次方程的根及其解法
1.若关于x的一元二次方程x2-ax+6=0的一个根是2,则a的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.方程(x+1)2=9的解为 ( )
A.x1=2,x2=-4
B.x1=-2,x2=4
C.x1=4,x2=2
D.x1=-2,x2=-4
3.已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根是-4,则它的另一个根是 .
4.一元二次方程x2-4x+3=0配方为(x-2)2=k,则k的值是 .
5.解方程:2x2+4x-6=0.
训练角度2 根的判别式、根与系数的关系的运用
6.一元二次方程x2+x-1=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.只有一个实数根
7.【北师大九上P50随堂练习3改编】已知x1,x2是方程x2-3x-2=0的两根,则+的值为 ( )
A.5 B.10 C.11 D.13
8.若关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0有两个相等的实数根,则m= .
训练角度3 一元二次方程的实际应用
9.某种商品原来每件售价为150元,经过连续两次降价,该种商品每件售价为96元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意,下列方程正确的是 ( )
A.150(1-x2)=96
B.150(1-x)=96
C.150(1-x)2=96
D.150(1-2x)=96
10.【逻辑推理】某市要组织一次少年足球联赛,要求参赛球队每两队之间都要进行两场比赛,共要比赛90场,则共有 个队参加比赛.
【能力作业】
11.某公司设计了一款工艺品,每件的成本是40元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,当销售单价是50元时,每天的销售量是100件,而销售单价每提高1元,每天就少售出2件,但要求销售单价不得超过65元.要使每天销售这种工艺品盈利1 350元,那么每件工艺品的售价应为 元.
12.解方程:(2x-3)2=3(2x-3).
13.已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.
(2)若方程有两个不相等的正整数根,求出此时m的整数值.
【创新作业】
14.【新考向】阅读下列材料并完成相应的任务.
邻根方程:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程是“邻根方程”,例如:一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”.
任务:(1)方程x2-3x+2=0 “邻根方程”.(填“是”或“不是”)
(2)已知关于x的一元二次方程x2+(n+2)x+2n=0(n是常数)是“邻根方程”,求n的值.
参考答案
基础作业
1.D 2.A 3.5 4.1
5.解析:2x2+4x=6,x2+2x=3,
配方,得x2+2x+1=3+1,
(x+1)2=4,
开方,得x+1=±2,
解得x1=1,x2=-3.
6.A 7.D 8.2 9.C 10.10
能力作业
11.55
12.解析:(2x-3)2-3(2x-3)=0,
(2x-3)(2x-3-3)=0,
2x-3=0或2x-3-3=0,
所以x1=,x2=3.
13.解析:(1)由题意可知m≠0.
∵Δ=[-(m+2)]2-8m
=m2+4m+4-8m
=m2-4m+4
=(m-2)2,
∴Δ≥0,
故当m≠0时,方程总有实数根.
(2)∵mx2-(m+2)x+2=0,
∴x=,
∴x=1或x=.
∵方程有两个不相等的正整数根,
∴m=1.
创新作业
14.解析:(1)是.
(2)∵x2+(n+2)x+2n=0,
∴x2+nx+2x+2n=0,
∴x(x+n)+2(x+n)=0,
∴(x+n)(x+2)=0,
∴x+n=0或x+2=0,
解得x1=-n,x2=-2.
∵方程x2+(n+2)x+2n=0(n是常数)是“邻根方程”,
∴-n=-3或-n=-1,
∴n=3或n=1.第1节 一次方程(组)及其应用
【基础作业】
训练角度1 一次方程(组)的解
1.若关于x的方程2x-m=3的解是x=4,则m的值是 .
2.已知是方程ax+by=3的解,则代数式2a+4b-5的值为 .
训练角度2 解一次方程(组)
3.对于二元一次方程组将①代入②,消去y可以得到 ( )
A.x+2x-1=7 B.x+2x-2=7
C.x+x-1=7 D.x+2x+2=7
4.【人教七上P98习题3.3T3(3)改编】解方程:-1=.
5.解方程组:
训练角度3 一次方程(组)的应用
6.我国古代名著《九章算术》中有一问题:“今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢 ”意思是野鸭从南海飞到北海需要7天,大雁从北海飞到南海需要9天,野鸭与大雁同时分别从南海与北海出发,多少天相遇 设经过x天相逢,则可列方程: .
7.某校组织七年级学生到延安革命纪念馆研学,租用同型号客车4辆,还剩30人没有座位;租用同型号客车5辆,还空10个座位.求该客车的载客量.
【能力作业】
8.如图,把六个形状、大小完全相同的小矩形放入大矩形中,则下列方程组正确的是 ( )
A. B.
C. D.
9.某校为参加社团的同学购买中国象棋和围棋.购买5副中国象棋和3副围棋共花费165元,购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元.求每副中国象棋和每副围棋的价格.
10.周末同学们和部分家长代表共30人组团到动物园进行春游活动.动物园的门票销售标准如下:成人票150元/张,学生票价在成人票价的基础上打五折.该团队购门票共花费2 400元,该团队家长代表和学生分别有多少人
【创新作业】
11.已知实数x,y满足求7x+5y的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得x,y的值再代入求值,可得到答案.此题按常规思路运算量比较大,其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形,可求得该整式的值,如由①+②×2可得7x+5y=19.这种解题思想就是通常所说的“整体思想”.
利用上面的知识解答下面问题:
(1)已知方程组则x-y的值为 .
(2)请说明在关于x,y的方程组中,无论a取何值,x+y的值始终不变.
参考答案
基础作业
1.5 2.1 3.B
4.解析:去分母,得2(2x+1)-6=5x-1,
去括号,得4x+2-6=5x-1,
移项,得4x-5x=-1-2+6,
合并同类项,得-x=3,
系数化为1,得x=-3.
5.解析:
②-①,得y=1,
把y=1代入①,得x=2,
∴原方程组的解为
6.+=1
7.解析:设该客车的载客量为x人.
根据题意得4x+30=5x-10,
解得x=40.
答:该客车的载客量为40人.
能力作业
8.A
9.解析:设每副中国象棋的价格是a元,每副围棋的价格是b元.
根据题意,得
解得
答:每副中国象棋的价格是15元,每副围棋的价格是30元.
10.解析:设该团队家长代表有x人,学生有y人.
根据题意,得
解得
答:该团队家长代表有2人,学生有28人.
创新作业
11.解析:(1)-1.
提示:①-②,得x-y=-1.
(2)
①×3+②,得4x+4y=12,
∴x+y=3,
∴无论a取何值,x+y的值始终不变.章节综合练(二)第二章 方程(组)与不等式(组)
一、选择题
1.关于x的一元一次不等式组的解集如图所示,则它的解集是 ( )
A.-1C.x≥-1 D.x<2
2.已知aA.a+4>b+4 B.a-b>0
C.2-a<2-b D.-3a>-3b
3.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx=0的一个根,则m的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.用配方法解一元二次方程x2+6x-4=0时,下列变形正确的是 ( )
A.(x+6)2=4 B.(x-6)2=4
C.(x+3)2=13 D.(x-3)2=13
5.若关于x的方程kx2-2x-1=0有实数根,则k的取值范围是 ( )
A.k>-1 B.k<1且k≠0
C.k≥-1且k≠0 D.k≥-1
6.某品牌服装折扣店将某件衣服按进价提高50%后标价,再打八折(标价的80%)销售,售价为240元.设这件衣服的进价为x元,根据题意,下列方程正确的是 ( )
A.x·50%×80%=240
B.x·(1+50%)×80%=240
C.240×50%×80%=x
D.x·(1+50%)=240×80%
7.【数学文化】我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意如下:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马 多少匹小马 若设大马有x匹,小马有y匹,则下列方程组正确的为 ( )
A. B.
C. D.
8.清明节前,某班分成甲、乙两组去距离学校4 km的烈士陵园扫墓.甲组步行,乙组骑自行车,他们同时从学校出发,结果乙组比甲组早20 min到达目的地.已知骑自行车的速度是步行速度的2倍,设步行速度为x km/h,则x满足的方程为 ( )
A.-=20 B.-=20
C.-= D.-=
二、填空题
9.若关于x的一元二次方程x2-mx+2=0的一个根为x=1,则m= .
10.张师傅去年开了一家超市,今年2月份开始盈利,3月份盈利5 000元,5月份盈利达到7 200元,若从3月到5月,每月盈利的平均增长率都相同,则每月盈利的平均增长率是 .
11.若关于x的分式方程=3-有增根,则m的值是 .
12.关于x的不等式组恰好有3个整数解,则a的取值范围是 .
三、解答题
13.解方程:-=1.
14.解方程:x2-4x-3=0.
15.解分式方程:-1=.
16.解方程组:
17.解不等式组并把该不等式组的解集在如图所示的数轴上表示出来.
18.小聪用100元去购买笔记本和钢笔,已知每本笔记本2元,每支钢笔5元,若小聪已经购买了15支钢笔,则小聪最多还能买几本笔记本
19.如图,某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造,原空地一边减少了4 m,另一边减少了5 m,剩余部分的面积为650 m2,求原正方形空地的边长.
参考答案
1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D 8.C 9.3 10.20%
11.-2 解析:方程两边都乘(x-4),
得2=3(x-4)-m.
∵原方程有增根,
∴最简公分母x-4=0,
解得x=4,
当x=4时,m=-2.
12.10≤a<12 解析:解不等式组
得2∵该不等式组恰好有3个整数解,
∴整数解为3,4,5,
∴5≤<6,
解得10≤a<12.
13.解析:-=1,
去分母,得6x+3-2x=6,
移项,得6x-2x=6-3,
合并同类项,得4x=3,
系数化为1,得x=.
14.解析:移项,得x2-4x=3,
配方,得x2-4x+4=3+4,即(x-2)2=7,
开方,得x-2=±,
解得x1=2+,x2=2-.
15.解析:-1=,
方程两边同乘(x-2)2,得x(x-2)-(x-2)2=4,
解得x=4,
检验:当x=4时,(x-2)2≠0.
所以原方程的解为x=4.
16.解析:方程组整理得
②×2-①,得5x=12,解得x=,
把x=代入②,
得-y=8,
解得y=,
∴方程组的解为
17.解析:
解不等式①,得x>-1,
解不等式②,得x≤4,
∴不等式组的解集为-1该不等式组的解集在数轴上表示如下:
18.解析:设小聪还能买x本笔记本.
根据题意,得2x+15×5≤100,
解得x≤12.5.
∵x为整数,
∴小聪最多还能买12本笔记本.
19.解析:设原正方形空地的边长为x m,则剩余部分空地是长为(x-4)m、宽为(x-5)m的长方形,
根据题意得(x-4)(x-5)=650,
整理得x2-9x-630=0,
解得x1=-21(不符合题意,舍去),x2=30.
答:原正方形空地的边长为30 m.第4节 一次不等式(组)及一次不等式的应用
【基础作业】
训练角度1 不等式的性质
1.若m>n,则下列不等式正确的是 ( )
A.m-2-n
C.n-m>0 D.1-2m<1-2n
训练角度2 解不等式及不等式的特殊解
2.把不等式x-1<2的解集在数轴上表示出来,正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
3.不等式12-x≥3x-1的非负整数解有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.解不等式9x-2≤7x+3,并把解集表示在数轴上.
训练角度3 解不等式组及不等式组的特殊解
5.不等式组的解集是 ( )
A.x≥1 B.x<2
C.1≤x<2 D.x<
6.一元一次不等式组的解集中,最大的整数解是 ( )
A.2 B.3 C.-2 D.-1
训练角度4 一次不等式的应用
7.小明用30元购买铅笔和签字笔,已知铅笔和签字笔的价格分别是2元/支和5元/支,他买了2支铅笔后,最多还能买几支签字笔 设小明还能买x支签字笔,则下列不等关系正确的是 ( )
A.5×2+2x≥30 B.5×2+2x≤30
C.2×2+2x≥30 D.2×2+5x≤30
8.某种商品的进价为每件100元,商场按进价提高50%后标价,为增加销量,准备打折销售,但要保证利润率不低于20%,则至多可以打 折.
9.学校举办奥运会知识竞赛,竞赛共有20道题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分.小东同学要得分不低于140分,他至少要答对多少题
【能力作业】
10.若关于x的不等式mx-x>1-m的解集是x<-1,则m的取值范围是 ( )
A.m>1 B.m<1
C.m>-1 D.m<-1
11.若关于x的不等式组的解集是x>1,则m的取值范围是 ( )
A.m≥1 B.m≥0
C.m≤0 D.m≤1
12.不等式组的所有整数解的和为 ( )
A.1 B.-1 C.2 D.0
13.若关于x的不等式2x-m>3x-2的解集为x<1,则实数m的值为 .
14.若关于x的不等式2x-a≤1有2个正整数解,则a的取值范围为 .
15.解不等式-4<,并把它的解集在数轴上表示出来.
16.解不等式组并写出它的所有整数解.
17.今年植树节,某班同学共同种植一批树苗,如果每人种3棵,那么剩余20棵;如果每人种4棵,那么还缺25棵.
(1)求该班的学生人数.
(2)这批树苗只有甲、乙两种,其中甲树苗每棵30元,乙树苗每棵40元.购买这批树苗的总费用没有超过5 400元.该班至少购买了甲树苗多少棵
【创新作业】
18.【注重学习过程】下面是乐乐同学解不等式的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解不等式:-1≤.
解:3(x+5)-6≤2(3x+2), 第一步
3x+15-6≤6x+4, 第二步
3x-6x≤4+6-15, 第三步
-3x≤-5, 第四步
x≤. 第五步
任务一:①以上解题过程中,第一步是依据 进行变形的.
②第 步出现错误,这一步错误的原因是 .
任务二:请直接写出该不等式的正确解集 .
任务三:除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,就解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
参考答案
基础作业
1.D 2.D 3.C
4.解析:移项,得9x-7x≤3+2,
合并同类项,得2x≤5,
系数化为1,得x≤2.5.
其解集在数轴上表示如下:
5.C 6.A 7.D 8.八
9.解析:设小东同学答对了x道题,则答错或不答(20-x)道题.
依题意得10x-5(20-x)≥140,
解得x≥16.
答:他至少要答对16道题.
能力作业
10.B 11.D 12.D 13.1 14.3≤a<5
15.解析:去分母,得3(1-x)-24<2(x-3),
去括号,得3-3x-24<2x-6,
移项,得-3x-2x<-6-3+24,
合并同类项,得-5x<15,
系数化为1,得 x>-3.
不等式的解集在数轴上表示如下:
16.解析:
解不等式①,得x<2,
解不等式②,得x≥-1,
则不等式组的解集为-1≤x<2,
∴不等式组的所有整数解为-1,0,1.
17.解析:(1)设该班的学生人数为x.
根据题意,得3x+20=4x-25,
解得x=45.
答:该班的学生人数为45.
(2)由(1)可知,树苗总数为3x+20=155.设该班购买甲种树苗y棵,则购买乙树苗(155-y)棵.
根据题意,得30y+40(155-y)≤5 400,
解得y≥80,
∴y的最小值为80.
答:该班至少购买了甲树苗80棵.
创新作业
18.解析:任务一:①不等式的基本性质2.
②五;不等号的方向未改变.
任务二:x≥.
任务三:在去分母和系数化为1时可能用到不等式的基本性质3,只有不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号才会改变方向,其他情况都不会改变不等号方向(答案不唯一).第2节 分式方程及其应用
【基础作业】
训练角度1 分式方程的解法
1.解分式方程-2=,去分母得 ( )
A.3-2(x-1)=-1
B.3-2(x-1)=1
C.3-2x-2=-1
D.3-2x-2=1
2.方程=的解为 ( )
A.x=3 B.x=-9
C.x=9 D.x=-3
3.解方程:+=1.
训练角度2 分式方程的应用
4.《千里江山图》是宋代画家王希孟的作品.如图,它的局部画面装裱前是一个长为2.4米、宽为1.4米的矩形,装裱后,画框宽与长的比是8∶13,且四周边衬的宽度相等.设边衬的宽度为x米,根据题意,以下方程正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
5.某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动,新购买了一批不同型号的垃圾桶.学校先用2 700元购买了一批放在教室使用的小号垃圾桶,再用3 600元购买了一批放在户外使用的大号垃圾桶,已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍,且购买的数量比小号垃圾桶少40个.求每个小号垃圾桶的价格.
6.为了践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时,由于志愿者的加入,实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务.原计划每天种植梨树多少棵
【能力作业】
7.若关于x的方程=无解,则m的值为 ( )
A.0 B.4或6 C.6 D.0或4
8.若关于x的分式方程2-=的解为正数,则k的取值范围为 ( )
A.k<2 B.k<2且k≠0
C.k>-1 D.k>-1且k≠0
9.定义一种新运算:对于任意的非零实数a,b,令a b=+.若(x+1) x=,则x的值为 .
10.解分式方程:+=.
11.端午节是中国传统节日,人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际,某商场预测A粽子能够畅销.根据预测,每千克A粽子节前的进价比节后多2元,节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.该商场节后每千克A粽子的进价是多少元
12.某市决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此项工程.若甲工程队单独施工,则刚好如期完成;若乙工程队单独施工,则要超过工期6个月才能完成.现在甲、乙两工程队先共同施工4个月,剩下的由乙工程队单独施工,则刚好如期完成.求规定的修好这条公路的工期.
【创新作业】
13.【过程性学习】下面是小颖同学解分式方程+=1的过程,请认真阅读并完成相应的任务.
解:方程两边同时乘最简公分母 ,得x2+x-12=x(x-3).……第一步
去括号,得x2+x-12=x2-3x.……第二步
移项、合并同类项,得4x=12.……第三步
解得x=3.……第四步
(1)第一步中“ ”处应为 ,这一步的目的是 ,其依据是
.
(2)小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步,请你补全这一步,并说明这一步不能缺少的理由.
参考答案
基础作业
1.A 2.C
3.解析:方程两边同乘x(x+1),
得x2+3(x+1)=x(x+1),
解得x=-,
经检验,x=-是原方程的解,
∴原方程的解为x=-.
4.D
5.解析:设每个小号垃圾桶的价格是x元,则每个大号垃圾桶的价格是4x元,
依题意得=-40,
解得x=45,
经检验,x=45是原方程的解,且符合题意.
答:每个小号垃圾桶的价格是45元.
6.解析:设原计划每天种植梨树x棵,则实际每天种植梨树(1+20%)x棵.
根据题意得-=2,
解得x=500,
经检验,x=500是原方程的解,且符合题意.
答:原计划每天种植梨树500棵.
能力作业
7.D 8.B 9.-
10.解析:去分母,得x-2+4x=2(x+2),
去括号,得x-2+4x=2x+4,
移项、合并同类项,得3x=6,
∴x=2,
检验:当x=2时,x2-4=0.
故原方程无实数解.
11.解析:设该商场节后每千克A粽子的进价为x元.
根据题意,得-4=,
解得x=10或x=-12(舍去),
经检验,x=10是原分式方程的解,且符合题意.
答:该商场节后每千克A粽子的进价是10元.
12.解析:设规定的修好这条公路的工期为x个月,则甲单独修好这条公路需要x个月才能完成,乙单独修好这条公路需要(x+6)个月才能完成,
由题意得 +=1,
解得x=12,
经检验,x=12是原方程的解,且符合题意.
答:规定的修好这条公路的工期为12个月.
创新作业
13.解析:(1)∵分式方程的最简公分母为x(x-3),
∴第一步中“ ”处应为x(x-3),这一步的目的是去分母,其依据是等式的基本性质2.
故答案为x(x-3);去分母;等式的基本性质2.
(2)检验:当x=3时,x(x-3)=0,
∴x=3是原方程的增根,原方程无解.
理由:因为分式方程可能产生增根,所以分式方程必须检验.
