第2节 空间观念:视图与投影
【基础作业】
训练角度1 三视图
(一)判断小立方块组合体的三视图
1.如图,这是由4个相同的小正方体组成的几何体,它的主视图是 ( )
A. B.
C. D.
2.(2024·铁一中模拟)用3个同样的小正方体摆出的几何体,从正面看到的形状图如图所示,则这个几何体可能是 ( )
A B
C D
(二)判定物体的三视图
3.如图,这是运动会领奖台,它的主视图是 ( )
A.
B.
C.
D.
4.某物体如图所示,它的主视图是 ( )
A. B.
C. D.
(三)判断常见几何体的三视图
5.下面四个几何体中,主视图为矩形的是 ( )
A. B.
C. D.
训练角度2 几何体的展开与折叠
6.下列图形能折叠成圆柱的是 ( )
A B
C D
训练角度3 投影
7.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度,把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72 m,EF=2.18 m.已知B,C,E,F四点在同一直线上,AB⊥BC,DE⊥EF,若DE=2.47 m,则AB= m.
【能力作业】
8.【学科融合】如图,这是化学实验中一个放置在水平试验台上的锥形瓶,它的主视图为 ( )
A B
C D
9.(2024·高新一中模拟)下面图形中,经过折叠不能围成棱柱的是 ( )
A B
C D
【创新作业】
10.【原创好题】为了提高学生的数学文化素养,数学老师将数学文化渗透到每节课中,同学们也逐渐喜欢上了数学文化.学习三视图时,小明同学和组员一起查阅资料,发现我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时,两圆柱公共部分形成的几何体.如图,这个几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型,它的俯视图是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案
基础作业
1.A 2.A 3.A 4.D 5.A 6.D 7.9.88
能力作业
8.A 9.D
创新作业
10.C第3节 图形的变换:对称、平移、旋转与位似
【基础作业】
训练角度1 对称图形的识别
1.围棋起源于中国,古代称之为“弈”,至今已有四千多年的历史.下列由黑、白棋子摆成的图案中,是轴对称图形的是 ( )
A B C D
2.(2024·西安莲湖区模拟)下列图标中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A B C D
训练角度2 图形的平移
3.如图,将四边形ABCD沿BC方向平移后得到四边形PEFQ,若BF=8,CE=4,则平移的距离为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
训练角度3 图形的旋转
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C,其中点A'与点A是对应点,点B'与点B是对应点.若点B'恰好落在AB边上,则点A到直线A'C的距离等于 ( )
A.3 B.2 C.3 D.2
5.如图,△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC,点E恰好落在边AB上.若∠B=70°,则旋转角的度数是 .
训练角度4 图形的折叠
6.如图,在矩形纸片ABCD中,E为BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠得到△AFE,连接CF.若AB=4,BC=6,则CF的长是 ( )
A.3 B. C. D.
训练角度5 图形的位似
7.如图,以点O为位似中心,作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知=,若四边形ABCD的面积是2,则四边形A'B'C'D'的面积是 ( )
A.4 B.6 C.16 D.18
8.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内作与△OAB的相似比为的位似图形△OCD,则点C的坐标为 .
训练角度6 利用对称解决线段最短问题
9.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,P,Q分别是BC,BD上的动点,CQ+PQ的最小值为 .
10.(2024·铁一中月考)如图,P为∠AOB内一定点,M,N分别是射线OA,OB上的点,当△PMN的周长最小时,∠MPN=110°,则∠AOB的度数是 .
【能力作业】
11.如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,且BE=2,点M,N分别在边DC,BC上,连接AM,MN和NE,已知AB=8,AD=4,当四边形AMNE的周长最小时,DM的长为 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,BC=5,D为AC的中点,M为线段BC上的动点,P为线段AB上的动点,将线段DP绕点D逆时针旋转90°得到DP',连接CP',则线段AM的最小值为 ,线段CP'的最小值为 .
【创新作业】
13.【原创好题】如图,将一块含30°角的直角三角板OAB绕直角顶点O顺时针旋转x°(0(1)当x=30时,判断△AOE的形状,并说明理由.
(2)请探索是否存在x的值,使△BDE是等腰三角形.若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
基础作业
1.D 2.B 3.A 4.C 5.40° 6.D 7.D 8.-,-1 9.
10.35° 解析:
如图,作点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接OP1,OP2,P1P2.当M,N分别是P1P2与OA,OB的交点时,△PMN的周长最小.
∵P,P1关于OA对称,∠MPN=110°,
∴∠P1OP=2∠MOP,OP1=OP,P1M=PM,
同理可得∠P2OP=2∠NOP,OP=OP2,
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2(∠MOP+∠NOP)=2∠AOB.
又∵OM=OM,∴△OMP1≌△OMP,
∴∠OP1M=∠OPM,
同理可得∠OP2N=∠OPN.
∵∠OPM+∠OPN=∠MPN=110°,
∴∠OP1M+∠OP2N=110°,
∴∠P1OP2=180°-110°=70°,∴∠AOB=35°.
能力作业
11.5 解析:
如图,作点A关于DC的对称点A',点E关于BC的对称点E',连接A'E',此时A'E'与DC交于点M',与BC交于点N',连接MA',NE',
则MA'=MA,NE'=NE,
∴当四边形AMNE的周长=AM+MN+NE+AE=MA'+MN+NE'+AE≥A'E'+AE,
∴四边形AMNE周长最小时,点M位于点M'处,点N位于点N'处.
∵DM'∥AE',
∴△A'DM'∽△A'AE',
∴==.
由作图知AE'=AB+BE'=AB+BE=10,
∴此时DM'=AE'=5.
12. 2 解析:
如图,连接AM,过点P'作P'E⊥AC于点E,则∠BAC=∠P'ED=90°.
∵M为线段BC上的动点,
∴当AM⊥BC时,AM有最小值,
此时,S△ABC=×AB·AC=×BC·AM,
∴AM==.
由旋转可得DP=P'D,∠PDP'=90°,
∴∠ADP=∠EP'D.
在△DAP和△P'ED中,
∴△DAP≌△P'ED(AAS),
∴P'E=AD=2,
∴当AP=DE=2时,DE=DC,即点E与点C重合,
此时CP'=EP'=2,
∴线段CP'的最小值为2.
创新作业
13.解析:(1)△AOE是等边三角形.
理由:∵∠AOB=90°,x°=30°,∴∠AOE=60°.
∵∠A=60°,∴∠A=∠AOE=60°,
∴△AOE是等边三角形.
(2)存在.∵直角三角板OAB绕点O得到△OCD,
∴OB=OD,∴∠BDE=∠OBD=(180°-x°),
∴∠DBE=∠OBD-∠ABO=(180°-x°)-30°,
∠BED=∠ABO+∠BOD=30°+x°.
△BDE是等腰三角形,分三种情况讨论:
①当∠BDE=∠DBE时,(180°-x°)=(180°-x°)-30°,无解;
②当∠BDE=∠BED时,(180°-x°)=30°+x°,解得x=40;
③当∠DBE=∠BED时,(180°-x°)-30°=30°+x°,解得x=20.
综上所述,当x为40或20时,△BDE是等腰三角形.第1节 动手能力:尺规作图
【基础作业】
训练角度1 作角平分线
1.如图,点A在∠MON的边OM上,请用尺规作图法,在∠MON内部确定一点Q,使得AQ∥ON,且点Q到射线OM,ON的距离相等.(保留作图痕迹,不写作法)
训练角度2 作已知线段的垂直平分线
2.如图,已知△ABC.请用尺规作图法,在AC边上找一点D,使△ABD的周长等于AB+AC.(保留作图痕迹,不写作法)
3.如图,在△ABC中,请用尺规作图法,求作直线MN,使△ABC沿该直线折叠后点A落在边BC上的点P处.(保留作图痕迹,不写作法)
4.如图,AB是半圆的直径,请用尺规作图法,在半圆上求作一点C,使得∠CBA=2∠CAB.(保留作图痕迹,不写作法)
训练角度3 作一个角等于已知角
5.如图,已知正方形ABCD,请用尺规作图法,在边BC上求作一点P,使∠PAB=30°.(保留作图痕迹,不写作法)
训练角度4 过一点作已知直线的垂线
6.如图,∠ACB=∠CDB=90°,请用尺规作图法,在线段CD上求作一点P,使△APC∽△CDB.(保留作图痕迹,不写作法)
7.如图,已知∠AOB,点P在边OA上,请用尺规作图法,在OB上求作点C,使∠AOB+∠OCP=90°.(保留作图痕迹,不写作法)
【能力作业】
8.如图,在四边形ABCD中,BC=DC,请用尺规作图法,在四边形ABCD的AB边上求作一点E,使S△BCE=S△DCE.(保留作图痕迹,不写作法)
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.请用尺规作图法,在AC边上求作一点P,使得△ACB∽△BCP.(保留作图痕迹,不写作法)
10.如图,已知☉O内一点P,请用尺规作图法,求作☉O中经过点P的最短弦AB.(保留作图痕迹,不写作法)
11.【原创好题】如图,A为直线m上一点,B,C为直线n上两点,直线m与直线n交于点O,请用尺规作图法,在直线m上找一点D,使△AOB∽△COD.(保留作图痕迹,不写作法)
【创新作业】
12.如图,a∥b,A为直线a上一点,点B,C在直线b上.请用尺规作图法,在直线a上找一点D,使得四边形ABCD的对角互补.(保留作图痕迹,不写作法)
13.【改编】如图,在△ABC中,∠A=90°,请用尺规作图法,在AC边上求作一点O,使得以点O为圆心的圆与边AB和BC都相切.(保留作图痕迹,不写作法)
参考答案
基础作业
1.解析:如图,点Q即所求.
2.解析:如图,点D即所求.
3.解析:如图,作AP的垂直平分线得到MN,∴MN为所求.
4.解析:如图,作线段AB的垂直平分线EF交AB于点O,以点B为圆心,BO的长为半径作弧交☉O于点C,连接AC,BC.∴C即所求作的点.
5.解析:如图,点P即所求.
6.解析:如图,点P即所求.
7.解析:如图,点C即所求.
能力作业
8.解析:如图,点E即所求.
9.解析:如图,点P即所求.
10.解析:如图,线段AB即所求.
11.解析:如图,点D为所求.
创新作业
12.解析:如图,点D为所求.
13.解析:如图,点O即所求.章节综合练(七)
一、选择题
1.下列几何体中,各自的三视图完全一样的是 ( )
A B
C D
2.下列四个图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 ( )
A B C D
3.下图所示的正方体,它的展开图可能是下列四个选项中的 ( )
A B
C D
4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A'B'C',则顶点C'的坐标是 ( )
A.(2,4) B.(4,2)
C.(6,4) D.(5,4)
5.在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(2,6),(-2,3),将线段AB平移后得到线段CD,若点A的对应点C(4,3),则点B的对应点D的坐标为 ( )
A.(0,6) B.(0,0)
C.(-4,0) D.(0,-4)
6.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=10,AD=12,点E,F分别在AD,BC上,把纸片按如图所示的方式沿EF折叠,点A,B的对应点分别为A',B',连接AA'并延长,交边CD于点G,当G为线段CD的中点时,线段EF的长为 ( )
A. B.11 C.12 D.
二、填空题
7.如图,△ABC经过平移得到△A'B'C',连接BB',CC',若BB'=2 cm,则点C与点C'之间的距离CC'的长度为 cm.
8.如图,在正方形ABCD中,E是CD边上一点,将△ADE沿AE翻折至△AD'E,延长ED'交BC于点F.若AB=15,DE=10,则BF的长是 .
三、解答题
9.如图,已知△ABC,请用尺规作图法,在∠ACB内部求作点P,使得S△ACP=S△ABC,且到AC,BC的距离相等.(保留作图痕迹,不写作法)
10.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的两个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-2,1)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度).
(1)△A1B1C是△ABC绕点 逆时针旋转 度得到的,点B1的坐标是 .
(2)求出线段AC在旋转过程中所扫过的面积(结果保留π).
11.如图1,在平面直角坐标系中,O为原点,点A(0,2),B(-2,0),C(4,0).将点B向右平移7个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到对应点D,如图2所示.
(1)求点D的坐标.
(2)连接AC,CD,AD,P(m,4)是一动点,若S△PAD=S△AOC,请求出点P的坐标.
参考答案
1.D 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A 7.2 8.3
9.解析:如图,先作∠ACB的平分线CD,再过点B作∠ABP=∠BAC交CD于点P,则点P为所求.
10.解析:(1)C;90;(1,-2).
(2)∵AC==,
∴线段AC在旋转过程中所扫过的面积为=.
11.解析:(1)∵点B(-2,0),
∴将点B向右平移7个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到对应点D(-2+7,0+4),即(5,4),
∴点D的坐标为(5,4).
(2)∵S△PAD=S△AOC,
∴×2×|m-5|=×2×4,
解得m=9或m=1,
∴P(1,4)或(9,4).
