第3节 与圆有关的计算
【基础作业】
训练角度1 弧长的计算
1.某仿古墙上原有一个矩形的门洞,现要将它改为一个圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接于矩形.如图,已知矩形的宽为2 m,高为2 m,则改建后门洞的圆弧长是 ( )
A. m B. m
C. m D.+2m
2.某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与所在圆相切于点A,B.若该圆的半径是9 cm,∠P=40°,则的长是 ( )
A.11π cm B. cm
C.7π cm D. cm
训练角度2 扇形面积的计算
3.数学课上,老师将如图所示的边长为1的正方形铁丝框变形成以点A为圆心,AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计),则所得扇形DAB的面积是 .
4.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交AD于点E,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
训练角度3 与扇形面积有关的计算
5.如图,扇形纸片AOB的半径为3,沿AB折叠扇形纸片,点O恰好落在上的点C处,图中阴影部分的面积为 ( )
A.3π-3 B.3π-
C.2π-3 D.6π-
6.如图,以边长为2的等边△ABC的顶点A为圆心、一定的长为半径画弧,所得圆弧恰好与BC边相切,分别交AB,AC于点D,E,则图中阴影部分的面积是 ( )
A.- B.2 -π
C. D.-
训练角度4 圆与正多边形的相关计算
7.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的周长等于6π,则正六边形的边长为 ( )
A. B. C.3 D.2
8.如图,在正六边形ABCDEF中,AB=6,点M在边AF上,且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形的面积平分,则直线l被正六边形所截的线段长是 .
【能力作业】
9.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,AC=4,O为BC的中点,以点O为圆心,OB的长为半径作半圆,交AC于点D,则图中阴影部分的面积是 .
10.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=4.分别以点B,点C为圆心,线段BC长的一半为半径作圆弧,分别交AB,BC,AC于点D,E,F,则图中阴影部分的面积为 .
【创新作业】
11.【改编】如图1,矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方,线段AB与点E,F都在直线l上,且AB=7,EF=12,BC>6.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发,沿射线EF方向运动,矩形ABCD随之运动,运动时间为t秒.
(1)如图2,当t=3时,求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度.
(2)在点B运动的过程中,当AD,BC都与半圆O相交时,设这两个交点分别为G,H.连接OG,OH,若∠GOH为直角,求此时t的值.
图1
图2
参考答案
基础作业
1.C 2.A
3.1 解析:由题意得=CD+BC=1+1=2,
=··AB=×2×1=1.
4. 解析:∵以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交AD于点E,
∴BE=BC=2,
在矩形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AB=1,BC=2,
∴sin∠AEB==,
∴∠AEB=30°,∴∠EBA=60°,
∴∠EBC=30°,
∴S阴影==.
5.B 6.D 7.C 8.4
能力作业
9.- 10.4-π
创新作业
11.解析:(1)如图1,设BC与☉O交于点M,连接ME,MO.
图1
当t=3时,BE=3,
∵EF=12,
∴OE=EF=6,
∴OB=3,∴EB=OB.
在矩形ABCD中,∠ABC=90°,
∴ME=MO.
又∵MO=EO,∴ME=EO=MO,
∴△MOE是等边三角形,∴∠EOM=60°,
∴==2π,
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为2π.
图2
(2)如图2,连接GO,HO.
∵∠GOH=90°,
∴∠AOG+∠BOH=90°.
∵∠AGO+∠AOG=90°,
∴∠AGO=∠BOH.
在△AGO和△BOH中,
∴△AGO≌△BOH(AAS),∴AG=OB=t-6.
∵AB=7,∴AE=t-7,
∴AO=6-(t-7)=13-t.
在Rt△AGO中,AG2+AO2=OG2,
即(t-6)2+(13-t)2=62.
解得t1=,t2=,
即t的值为或.第2节 与圆有关的位置关系
【基础作业】
训练角度1 与切线性质有关的证明与计算
1.如图,AB为☉O的切线,A为切点,OB交☉O于点C,点D在☉O上,连接AD,CD,OA,若∠ADC=35°,则∠ABO的度数为 ( )
A.25° B.20° C.30° D.35°
2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB= °.
3.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,BC与过点A的切线EF平行,BC,AD相交于点G.
(1)求证:AB=AC.
(2)若DG=BC=16,求AB的长.
训练角度2 与切线判定有关的证明与计算
4.(2024·西安三中模拟)如图,△ABD内接于☉O,AB是☉O的直径,C是BA延长线上一点,连接CD,过点O作OF∥BD分别交AD,CD于点E,F,且∠ADC=∠AOF.
(1)求证:CD是☉O的切线.
(2)若AD=2,BD=4,求DF的长.
【能力作业】
5.如图,等边三角形ABC的边长为4,☉C的半径为,P为AB边上一动点,过点P作☉C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 .
6.如图,☉O的直径AB=4,P为☉O上的动点,连接AP,Q为AP的中点,若点P在圆上运动一周,则点Q经过的路径长是 .
7.如图,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,△ABC的外角平分线BD交☉O于点D,DE与☉O相切,交CB的延长线于点E,连接AD.
(1)求证:AC∥DE.
(2)若BD=2,BE=2,求CB的长.
【创新作业】
8.【原创好题】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC是☉O的直径,☉O与AB交于点D,E为的中点,连接CE,与AB交于点F.
(1)求证:CA=AF.
(2)当F为AB的中点时,求证:2EF=FC.
参考答案
基础作业
1.B 2.130
3.解析:(1)证明:∵EF是☉O的切线,∴DA⊥EF.
∵BC∥EF,
∴DA⊥BC,
∴∠BGA=∠CGA=90°,
∴BG=GC.
∵DA是☉O的直径,
∴=.
在△BGA与△CGA中,
∴△BGA≌△CGA(SAS),
∴AB=AC.
(2)如图,连接DB.
∵BG⊥AD,
∴∠BGD=∠BGA.
∵∠ABG+∠DBG=90°,∠DBG+∠BDG=90°,
∴∠ABG=∠BDG,
∴△ABG∽△BDG,
∴=,
即BG2=AG·DG.
∵BC=16,BG=GC,∴BG=8,
∴82=16×AG,
解得AG=4.
在Rt△ABG中,BG=8,AG=4,
∴AB=4 .
4.解析:
(1)证明:如图,连接OD.
∵OF∥BD,
∴∠B=∠COF.
∵∠ADC=∠AOF,
∴∠B=∠ADC.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠B+∠BAD=90°.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ADC+∠ADO=90°,
∴∠CDO=90°.
∵OD是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.
(2)∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵AD=2,BD=4,
∴AB==2.
∵OF∥BD,AO=OB=AB=,
∴AE=DE=AD=1,
∴OE=BD=2.
∵∠ODF=90°,DE⊥OF,
∴△ODE∽△OFD,∴=,
∴OF=,
∴EF=OF-OE=,
∴DF==.
能力作业
5.3 解析:如图,连接QC和PC.
∵PQ和☉C相切,
∴CQ⊥PQ,即△CPQ始终为直角三角形,CQ为定值,
∴当CP最小时,PQ最小.
∵△ABC是等边三角形,
∴当CP⊥AB时,CP最小.
∵AB=BC=AC=4,
∴AP=BP=2,
∴CP==2.
∵☉C的半径CQ=,
∴PQ==3.
6.2π 解析:如图,连接OQ.
在☉O中,
∵AQ=PQ,OQ经过圆心O,
∴OQ⊥AP,
∴∠AQO=90°,
∴点Q在以OA为直径的☉C上,
∴当点P在☉O上运动一周时,点Q在☉C上运动一周.
∵AB=4,
∴OA=2,
∴☉C的周长为2π,
∴点Q经过的路径长为2π.
7.解析:(1)证明:如图1,连接OD.
∵DE与☉O相切,
∴OD⊥DE.
图1
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB.
∵BD平分∠ABE,
∴∠OBD=∠DBE,
∴∠ODB=∠DBE,
∴OD∥CE,
∴CE⊥DE.
∵AB是☉O的直径,
∴AC⊥CE,
图2
∴AC∥DE.
(2)如图2,过点O作OF⊥BC于点F,
∴BC=2BF,四边形ODEF是矩形,
∴EF=OD.
∵∠ADB=∠DEB=90°,∠ABD=∠DBE,
∴△ADB∽△DEB,
∴=,即=,
∴AB=10,
∴EF=OD=5,
∴BF=EF-BE=5-2=3,
∴CB=2BF=6.
创新作业
8.证明:
图1
(1)如图1,连接BE,CD.
∵E为的中点,
∴∠ECD=∠ECB.
∵∠EBD=∠ECD,
∴∠EBD=∠ECB.
又∵BC是☉O的直径,∠ACB=90°,
∴∠E=∠EBD+∠EFB=90°,∠ECB+∠ACF=90°,
∴∠EFB=∠ACF.
∵∠EFB=∠DFC,∴∠DFC=∠ACF,
∴AF=AC.
(2)如图2,过点A作AG⊥EC,垂足为G.
∵F为AB的中点,
∴AF=BF.
图2
又∵∠E=∠AGF=90°,∠BFE=∠AFG,
∴△BEF≌△AGF(AAS),
∴EF=GF.
由(1)可知AF=AC,且AG⊥FC,∴FG=CG,
∴EF=FG=GC,即2EF=FC.章节综合练(六)
一、选择题
1.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,且∠ACD=22.5°,CD=4,则☉O的半径为 ( )
A.2 B.4 C.10 D.2
2.如图,AB,CD是☉O的直径,连接BC,BD,若DE∥AB,且∠CDE=62°,则下列结论错误的是 ( )
A.AC=AE B.∠CBA=31°
C.CB⊥BD D.BD=DE
3.如图,AB,CD是☉O的弦,且AB=CD,若∠BOD=84°,则∠ACO的度数为 ( )
A.42° B.44° C.46° D.48°
4.如图,在半径为5的☉A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD,若DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的长为 ( )
A.8 B.10 C.11 D.12
5.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AO,CO,若∠AOC=112°,则∠B的度数是 ( )
A.56° B.114° C.124° D.134°
6.如图,△ABC内接于☉O,AD是☉O的直径.若∠CAD=∠B,AD=8,则AC的长为 ( )
A.4 B.5 C.5 D.4
二、填空题
7.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为 .
8.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E= °.
9.如图,AB是☉O的一条弦,C是☉O上一动点,且∠ACB=30°,E,F分别是AC,BC的中点,直线EF与☉O交于G,H两点.若☉O的半径为8,则GE+FH的最大值为 .
三、解答题
10.如图,O为半圆的圆心,C,D为半圆上的两点,连接CD,BD,AD,CD=BD,连接AC并延长,与BD的延长线相交于点E.
(1)求证:CD=DE.
(2)若AC=6,半径OB=5,求BD的长.
11.如图,☉O是四边形ABCD的外接圆,AC是☉O的直径,BE⊥DC,交DC的延长线于点E,CB平分∠ACE.
(1)求证:BE是☉O的切线.
(2)若cos∠BAD=,AC=10,求EC的长.
参考答案
1.D 2.D 3.D 4.A 5.C 6.A 7.5 8.215 9.12
10.解析:(1)证明:∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=∠ADE=90°.
∵CD=BD,
∴=,
∴∠EAD=∠DAB,
∴∠E=∠ABE,
∴AE=AB,
∴DE=DB.
又∵CD=BD,∴CD=DE.
(2)如图,连接BC.在Rt△ACB中,由勾股定理得BC===8.
∵∠E=∠ABE,
∴△AEB为等腰三角形,
∴AB=AE,BD=DE,
∴CE=AE-AC=AB-AC=10-6=4.
在Rt△BCE中,由勾股定理得BE===4,
∴BD=BE=2.
11.解析:(1)证明:如图,连接OB.
∵CB平分∠ACE,
∴∠BCA=∠ECB.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠BCA,
∴∠ECB=∠OBC,
∴EC∥OB.
∵BE⊥DC,
∴OB⊥BE.
∵OB为☉O的半径,
∴BE是☉O的切线.
(2)∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,
∴∠ECB=∠BAD.
∵cos∠BAD=,∴cos∠ECB=.
∵BE⊥DC,
∴cos∠ECB==.
∵AC是☉O的直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠CEB=90°.
∵∠ECB=∠BCA,
∴△ECB∽△BCA,
∴==,
∴=,
∴BC=4,
∴=,
∴=,
∴EC=.第1节 与圆有关的概念及其性质
【基础作业】
训练角度1 圆周角定理及其推论
1.如图,OA,OB是☉O的两条半径,点C在☉O上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如图,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,BD,若∠C=110°,则∠OBD的度数为 ( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
3.如图,点A,B,C都在☉O上,若∠ACB=60°,则∠AOB的度数为 .
4.如图,在☉O中,AB是☉O的弦,☉O的半径为3 cm,C为☉O上一点,若∠ACB=60°,则AB的长为 cm.
5.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,若∠ADC=30°,则∠BOC的度数为 .
训练角度2 垂径定理及其有关的计算
6.如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4 ,DE=4,则BC的长是 ( )
A.1 B. C.2 D.4
7.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E,若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
8.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=5,水面宽AB=6,某天下雨后,水面宽度变为8,则此时排水管水面上升了 .
训练角度3 圆内接四边形
9.如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角,若∠DCE=72°,则∠BOD的度数为 .
10.如图,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,∠ABD=20°,则∠BCD的度数是 ( )
A.90° B.100° C.110° D.120°
【能力作业】
11.如图,AB是☉O的直径,C,D,E是☉O上的点,若点C,D在AB下方,点E在AB上方,则∠C+∠D的度数为 ( )
A.60° B.45° C.30° D.90°
12.如图,四边形ABCD是☉O内接四边形,连接BD,若AB=AD=CD,∠BDC=75°,则∠C的度数为 ( )
A.55° B.60° C.65° D.70°
13.如图,在边长为1的正方形网格中,A,B,C在格点上,以AB为直径的圆过C,D两点,则sin∠BDC的值为 ( )
A. B. C. D.
14.如图,在☉O中,AB为☉O的弦,C为的中点,D为圆上一点,∠ADC=30°,☉O的半径为4,则圆心O到弦AB的距离是 ( )
A.2 B.2
C.4 D.2
15.(2024·西工大附中模拟)如图,在☉O中,C为弦AB的中点,连接OC,OB,D是上任意一点,若∠ADB=124°,则∠COB的大小为 ( )
A.66° B.56° C.34° D.28°
16.如图,☉O的直径AB⊥弦CD,∠1=2∠2,则tan∠CDB= ( )
A. B.
C.2 D.1+
17.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,且=3,则弦AC与弦BC的关系是 ( )
A.AC=3BC
B.AC=BC
C.AC=(+1)BC
D.AC=BC
【创新作业】
18.(2024·高新一中模拟)如图,☉M的半径为4,圆心M的坐标为(6,8),P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点.若点A,B关于原点O对称,则当AB取最大值时,点A的坐标为 .
参考答案
基础作业
1.B 2.B 3.120° 4.3 5.120° 6.C 7.B
8.1或7 解析:
图1
如图,过点O作OE⊥AB于点E,且OE交CD于点F,连接OC,
则AE=BE=AB=3,OF⊥CD,CF=DF=CD=4.
∵OA=5,
图2
∴OE===4.
∵OC=OA=5,
∴OF===3.
如图1,当水面没过圆心O时,EF=OE-OF=4-3=1;
如图2,当水面超过圆心O时,EF=OE+OF=4+3=7.故水管水面上升了1或7.
9.144° 10.C
能力作业
11.D 12.D 13.A 14.B 15.B 16.D
17.C 解析:
如图,过点O作OD⊥AB,交AC于点D,连接BD,OC.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵=3,∴∠AOC=135°.
∵OA=OC,∴∠A=∠ACO=22.5°.
∵OD是AB的垂直平分线,∴AD=BD,
∴∠A=∠ABD=22.5°,∴∠CDB=∠CBD=45°.
设CD=CB=x,则AD=BD=x,
∴==,
∴AC=(+1)BC.故选C.
创新作业
18.(-14,0) 解析:
如图,连接PO.
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°.
∵点A,B关于原点O对称,
∴AO=BO,∴AB=2PO.
若要使AB取得最大值,则PO需取得最大值,
连接OM并延长,交☉M于点P',当点P位于P'位置时,OP'取得最大值.
过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=6,MQ=8,
∴OM=10.
又∵MP'=r=4,∴OP'=OM+MP'=10+4=14,
∴AB=2OP'=2×14=28,
∴点A的坐标为(-14,0).
