第7节 二次函数的综合应用
【基础作业】
训练角度1 二次函数与三角形的综合应用
1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-2,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),P是二次函数图象上的一点.
(1)求二次函数的函数表达式和直线BC的表达式.
(2)若点P在直线BC的下方,当△PBC的面积最大时,求点P的坐标.
(3)当=时,求点P的横坐标.
训练角度2 二次函数与四边形的综合应用
2.(2024·铁一中模拟)已知抛物线L:y=-2x2+bx+c的顶点坐标为(-2,4),与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),抛物线L'与抛物线L关于原点O中心对称.
(1)求抛物线L的函数表达式.
(2)若抛物线L'与x轴的交点分别为A',B'(其中A与A'对应,B与B'对应),E是y轴上一点,在抛物线L'上是否存在一点P,使得以点B,A',E,P为顶点的四边形是平行四边形 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【能力作业】
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx(a<0)过点E(-7,0),矩形ABCD的边BC在线段OE上(点B在点C的左边),点A,D在抛物线上,点D的坐标是(-1,3).
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)保持矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点M,N,且直线MN平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.
【创新作业】
4.如图1,抛物线y=x2-4mx+4m2+2m-4(m是常数)的顶点为P,直线l:y=x-4.
(1)求证:点P在直线l上.
(2)若m<0,直线l与抛物线的另一个交点为Q,与y轴的交点为H,而Q恰好是线段PH的中点,求m的值.
(3)如图2,当m=0时,抛物线交x轴于A,B两点,点M,N在抛物线上,满足MA⊥NA,判断直线MN是否过一定点.如果过定点,求出定点的坐标;如果不过定点,说明理由.
图1 图2
参考答案
基础作业
1.解析:(1)把点A(-2,0),B(3,0),C(0,-3)代入二次函数表达式,得解得
∴二次函数的表达式为y=x2-x-3.
设直线BC的表达式为y=kx+d,
则解得
∴直线BC的函数表达式为y=x-3.
(2)如图,作PD⊥x轴交BC于点D,PE⊥y轴,延长EP与过点B的x轴垂线交于点F.
设点P的坐标为m,m2-m-3,则点D的坐标为(m,m-3),m>0,
∴PD=m-3-m2-m-3=-m2+m,
=+=PD·PE+PD·PF=PD·EF=PD·OB=-m2+m×3=-m2+m=-m-2+,
∴当m=时,取最大值,
此时点P的坐标为,-.
(3)∵=AB·OC=×5×3=,
∴==×=,
由(2)知,-m-2+=,
解得m=1或m=2,
∴点P的横坐标为1或2.
2.解析:(1)∵已知抛物线L:y=-2x2+bx+c的顶点坐标为(-2,4),
∴抛物线L的顶点式为y=-2(x+2)2+4,
∴抛物线L:y=-2x2-8x-4.
(2)存在.抛物线L与y轴交于点(0,-4).
∵关于原点O对称的点的横纵坐标均互为相反数,
∴抛物线L'的顶点坐标为(2,-4),与y轴交于点(0,4),
∴设抛物线L'的顶点式为y=a(x-2)2-4.
将(0,4)代入得4a-4=4,解得a=2,
∴抛物线L'的函数表达式为y=2(x-2)2-4=2x2-8x+4.
∵抛物线L:y=-2x2-8x-4,当y=0时,-2x2-8x-4=0,
解得x1=-2+,x2=-2-,
∴点A的坐标是(-2-,0),点B的坐标是(-2+,0),
∴点A'的坐标是(2+,0),点B'的坐标是(2-,0),
∴BA'=2+-(-2+)=4.
设E(0,m),P(n,2n2-8n+4),
①当BA'为平行四边形的边时,BA'=EP=4,BA'∥EP,
∴n=4或n=-4,
∴点P的坐标为(-4,68)或(4,4);
②当BA'为平行四边形的对角线时,
2++(-2+)=0+n,
∴n=2,
∴点P的坐标为(2,20-16).
综上所述,点P的坐标为(-4,68)或(4,4)或(2,20-16).
能力作业
3.解析:(1)抛物线y=ax2+bx(a<0)过点E(-7,0),D(-1,3),
∴解得
∴该抛物线的函数表达式为y=-x2-x.
(2)如图,连接AC、BD相交于点P,连接AE,取AE的中点Q,连接PQ.
∵抛物线y=-x2-x,
∴对称轴为直线x=-=-.
∵D(-1,3),
∴A(-6,3).
∵E(-7,0),
∴Q-,.
∵MN平分矩形ABCD的面积,
∴直线MN过对角线的交点.
由平移的性质可知,四边形PQEN是平行四边形,
∴PQ=EN.
∵P是AC中点,且A(-6,3),
∴C(-1,0),
∴P-,,
∴EN=PQ=-+=3,
∴抛物线平移的距离是3个单位长度.
创新作业
4.解析:(1)证明:∵y=x2-4mx+4m2+2m-4=(x-2m)2+2m-4,
∴P(2m,2m-4),
将x=2m代入y=x-4,得y=2m-4,
∴点P在直线y=x-4上.
(2)当x=0时,y=-4,
∴H(0,-4),联立
得x2-(4m+1)x+4m2+2m=0,
∴x1+x2=4m+1,
∴点Q的横坐标为2m+1.
∵Q恰好是线段PH的中点,
∴2m+1=m,
∴m=-1.
(3)直线MN过定点.
当m=0时,y=x2-4,
令y=0,则x=±2,
∴A(2,0).
设M(s,s2-4),N(t,t2-4),直线MN的表达式为y=kx+b,
联立
得x2-kx-4-b=0,
∴s+t=k,st=-4-b.
如图,过点M作ME⊥x轴交于点E,过点N作NF⊥x轴交于点F.
∵MA⊥AN,
∴∠MAE+∠NAF=90°,∠MAE+∠AME=90°,
∴∠AME=∠NAF,
∴△MAE∽△ANF,
∴=.
∵AE=2-s,ME=s2-4,AF=t-2,NF=t2-4,
∴=,
∴2k-b+1=0,
∴y=x+b=1+xb-x,
∴当x=-2时,y=1,
∴直线MN过定点(-2,1).第6节 二次函数表达式的确定及几何变换
【基础作业】
训练角度1 二次函数表达式的确定
1.已知长方形的周长为12 cm,其中一边为x(0A.y=(12-x)2 B.y=(6-x)2
C.y=x(12-x) D.y=x(6-x)
训练角度2 二次函数图象的平移与变换
2.抛物线y=x2+1经过某种平移得到抛物线y=x2+4x+5,这种平移可表述为 ( )
A.向左平移1个单位长度
B.向左平移2个单位长度
C.向右平移1个单位长度
D.向右平移2个单位长度
3.(2024·高新一中模拟)在同一平面直角坐标系中,两条抛物线关于y轴对称,且它们的顶点与原点的连线互相垂直,若其中一条抛物线的表达式为y=x2-2x+m,则m的值为 ( )
A.2 B.2或0
C.-2 D.2或-2
【能力作业】
4.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为40米的篱笆围成,已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米,围成的苗圃园面积为y平方米,则y关于x的函数关系式为 ( )
A.y=x(40-x) B.y=x(18-x)
C.y=x(40-2x) D.y=2x(40-2x)
【创新作业】
5.如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧.
(1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值.
(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P',C'.平移该胶片,使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9.求点P'移动的最短路程.
参考答案
基础作业
1.D 2.B
3.B 解析:∵一条抛物线的函数表达式为y=x2-2x+m,
∴这条抛物线的顶点为(1,m-1),
∴关于y轴对称的抛物线的顶点为(-1,m-1).
∵它们的顶点与原点的连线互相垂直,
∴2×[12+(m-1)2]=22,
整理得m2-2m=0,
解得m=2或m=0,
∴m的值是2或0.故选B.
能力作业
4.C
创新作业
5.解析:(1)∵抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,
∴抛物线的顶点为Q(6,4),
∴抛物线的对称轴为直线x=6,y的最大值为4,
当y=3时,3=-(x-6)2+4,
解得x=5或x=7.
∵点P在对称轴的右侧,
∴点P(7,3),
∴a=7.
(2)∵平移后的抛物线的表达式为y=-(x-3)2,
∴平移后的顶点Q'(3,0).
∵平移前抛物线的顶点Q(6,4),
∴点P'移动的最短路程=QQ'==5.第5节 二次函数的图象与性质
【基础作业】
训练角度1 二次函数的对称性与增减性
1.抛物线y=-x2+3x+2的对称轴是 ( )
A.直线x=3 B.直线x=-3
C.直线x=6 D.直线x=-6
2.关于二次函数y=(x-1)2-8,下列说法正确的是 ( )
A.当x>0时,y随x的增大而增大
B.当x=1时,y有最大值-8
C.图象的顶点坐标为(-1,-8)
D.图象与x轴的两个交点是(5,0)和(-3,0)
3.抛物线y=-2(x-1)2+8,当x>1时,y随x的增大而 .
训练角度2 二次函数的图象
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
A B
C D
5.若二次函数y=mx2+x+m(m-2)的图象经过原点,则m的值为 .
【能力作业】
6.若当1≤x≤3时,二次函数y=x2-2ax+3的最小值为-1,则a的值为 ( )
A.2 B.±2
C.2或 D.2或
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc>0;
②b2<4ac;
③2c<3b;
④a+2b>m(am+b)(m≠1);
⑤方程|ax2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为2.
其中结论正确的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8.(2024·铁一中模拟)已知抛物线y=ax2-4ax+b(a<0)经过A(m-3,y1),B(m+1,y2)两点,若A,B两点分别位于抛物线对称轴的两侧,且y1>y2,则m的值可能是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【创新作业】
9.在平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(2,3),D(4,3)四点,若抛物线L:y=ax2+bx+c经过其中的三个点,则a的最大值为 ( )
A.- B. C.- D.
参考答案
基础作业
1.A 2.D 3.减小 4.D 5.2
能力作业
6.A 7.A
8.D 解析:抛物线的对称轴为直线x=-=2.
∵a<0,∴抛物线开口向下.
∵y1>y2,A,B两点分别位于抛物线对称轴的两侧,
∴点A在对称轴的左侧,点B在对称轴的右侧,
根据题意,得
解得3创新作业
9.D 解析:如图,当抛物线经过点A,B,D时,抛物线的L的a值最大,
将A(0,1),B(2,1),D(4,3)代入y=ax2+bx+c,
得
解得
故a的最大值为.故选D.第4节 反比例函数
【基础作业】
训练角度1 反比例函数的图象与性质
1.已知反比例函数y=,则下列描述不正确的是 ( )
A.图象位于第一、三象限
B.图象必经过点4,
C.图象不可能与坐标轴相交
D.y随x的增大而增大
2.若点A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y3C.y13.若直线y=ax(a≠0)与双曲线y=-交于(x1,y1),(x2,y2)两点,则-2x1y2+5x2y1的值为 .
训练角度2 反比例函数表达式的确定
4.如图,直线AB经过原点O,且分别交反比例函数y=的图象于点A,B,点C在x轴上,且AC=AB.若S△ABC=8,则k的值为 .
训练角度3 反比例函数的综合应用
5.某公园“水上滑梯”的侧面图如图所示,其中BC段可看成是一段双曲线,建立如图所示的平面直角坐标系,矩形AOEB为向上攀爬的梯子,OA=5 m,进口AB∥OD,且AB=2 m,出口点C距水面的距离CD为1 m,则B,C之间的水平距离DE的长度为 .
【能力作业】
6.如图,点A,B在反比例函数y=(k为常数,k≠0,x<0)的图象上,AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,OC=3CD=3,连接OA,若∠AOD=45°,则k的值为 .
第6题图 第7题图
7.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的面积为9,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过点A,C,若设点C的坐标为(m,n),则m-n的值为 .
【创新作业】
8.如图,P为反比例函数y=(k>0,x>0)图象上一点,过点P作PA⊥x轴于点A,将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PB,点B恰好落在y轴上,若点A(4,0),B(0,2),则k的值为 .
参考答案
基础作业
1.D 2.A
3.9 解析:∵正比例函数图象与反比例函数图象都关于原点O成中心对称,
∴点(x1,y1)与点(x2,y2)关于原点O对称,
∴x2=-x1,y2=-y1,
∴-2x1y2+5x2y1=-2x1(-y1)+5(-x1)y1=-3x1y1,
将(x1,y1)代入y=-,得x1y1=-3,
∴-2x1y2+5x2y1=-3×(-3)=9.
4.-4 解析:如图,作AD⊥x轴,垂足为D.
∵直线AB经过原点O,且分别交反比例函数y=的图象于点A,B,
∴AO=BO,
∴S△AOC=S△BOC=S△ABC=×8=4.
∵AC=AB,∴AC=AO,
∴|k|=2S△ADO=S△ACO=4.
∵反比例函数的图象在第二、四象限,
∴k=-4.
5.8 m
能力作业
6.-4 解析:∵AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,OC=3CD=3,
∴C(-3,0),D(-2,0).
∵∠AOD=45°,
∴AD=OD=2,
∴点A(-2,2).
∵点A(-2,2)在反比例函数的图象上,
∴k=-4.
7.3 解析:∵正方形ABCD的面积为9,
∴AB=BC=3.
∵点C的坐标是(m,n),
∴点A的坐标是(m-3,n+3).
∵A,C是反比例函数y=(k≠0,x>0)图象上的两点,
∴mn=(m-3)(n+3),
∴mn=mn-3n+3m-9,
∴3(m-n)=9,
∴m-n=3.
创新作业
8.20 解析:如图,作PC⊥y轴,垂足为C.
∵点A(4,0),B(0,2),
∴AO=CP=4,OB=2,
∴P4,,PA=PB=OC=,∴BC=-2.
在Rt△BCP中,PC2+BC2=PB2,
∴42+-22=2,
解得k=20.第2节 正比例函数与一次函数
【基础作业】
训练角度1 正比例函数的图象与性质
1.【开放性试题】若直线y=kx(k是常数,k≠0)经过第一、三象限,则k的值可以是 ( )
A.-2 B.-1 C.- D.2
训练角度2 一次函数的图象与性质
2.若一次函数y=-2x+m的图象经过第一、二、四象限,则m可能的取值为 ( )
A.-1 B. C.0 D.1-
3.一次函数y=kx+3的图象经过点(2,5),则k= .
4.在一次函数y=(k-2)x+3中,y随x的增大而增大,则k的值可以是
(写出一个符合条件的值即可).
训练角度3 图象共存探究
5.在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b和y2=-bx+a的图象可能是 ( )
A B
C D
训练角度4 一次函数图象的变换
6.将正比例函数y=-3x的图象向上平移1个单位长度,得到图象的函数表达式为 ( )
A.y=-3(x+1) B.y=-3(x-1)
C.y=-3x+1 D.y=-3x-1
7.若一次函数y=(a-2)x+b(a,b为常数,且a≠2)的图象与直线y=-2x+1关于y轴对称,则a+b的值为 ( )
A.-4 B.-5 C.4 D.5
【能力作业】
8.如图,在平面直角坐标系中,点A(2,m)在直线y=2x-上,过点A的直线交y轴于点B(0,3).
(1)求m的值和直线AB的函数表达式.
(2)若点P(t,y1)在线段AB上,点Q(t-1,y2)在直线y=2x-上,求y1-y2的最大值.
【创新作业】
9.【原创好题】如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+4与x轴交于点A、与y轴交于点B,过点A作AC⊥AB,且AB=2AC,则AC所在直线的函数表达式是 .
参考答案
基础作业
1.D 2.B 3.1 4.3(答案不唯一) 5.D 6.C 7.D
能力作业
8.解析:(1)把点(2,m)的坐标代入y=2x-,得m=.
设直线AB的函数表达式为y=kx+b,代入2,,(0,3),得解得
∴直线AB的函数表达式为y=-x+3.
(2)∵点P(t,y1)在线段AB上,
∴y1=-t+3(0≤t≤2).
∵点Q(t-1,y2)在直线y=2x-上,
∴y2=2(t-1)-=2t-,
∴y1-y2=-t+3-2t-=-t+(0≤t≤2).
∵-<0,∴y1-y2随t的增大而减小,
∴当t=0时,y1-y2取得最大值,最大值为.
创新作业
9.y=x-4 解析:如图,过点C作CD⊥x轴,垂足为D,
∴∠CDA=90°.
∵y=-x+4,当y=0时,x=4,当x=0时,y=4,
∴A(4,0),B(0,4).
∵∠BOA=90°,OA=OB=4,
∴∠BAO=∠OBA=45°,
∴AB=OA=4.
∵AB=2AC,∴AC=2.
∵∠BAC=90°,
∴∠CAD=180°-∠BAC-∠BAO=45°,
∴AD=CD===2,
∴OD=OA+AD=4+2=6,
∴点C的坐标为(6,2).
设AC所在直线的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
把(4,0),(6,2)代入y=kx+b中,
可得解得
∴AC所在直线的函数表达式是y=x-4.第3节 一次函数的实际应用
【基础作业】
1.(2024·西安爱知中学模拟)声音在空气中的传播速度v(单位:m/s)与温度t(单位:℃)之间近似满足一次函数关系.经实验得到:当温度为10 ℃时,声音的传播速度约为337 m/s;当温度下降至5 ℃时,声音的传播速度约为334 m/s.
(1)求v与t之间的函数关系式.
(2)某人在距离政府规划的烟花集中燃放地1 667 m处看烟花,当此时的温度是4 ℃时,烟花绽放声响几秒后可以传到此人所站的地方
2.某玩具制作工厂制作A,B两种类型的玩偶,同时计划让20名工人制作.已知一名工人平均每天可以制作60个“A型玩偶”或40个“B型玩偶”,且每名工人只能选择一种玩偶进行制作.下表为“A型玩偶”与“B型玩偶”的制作成本与销售价格:
制作成本 销售价格
A型玩偶 20元/个 50元/个
B型玩偶 25元/个 40元/个
(1)设有x名工人制作“A型玩偶”,工厂每天制作玩偶的总利润为y,请你写出y与x之间的函数关系式.
(2)经过市场调查后发现,为达到供需平衡,“A型玩偶”的数量不少于“B型玩偶”的数量的2倍,则该工厂每天的生产利润至少为多少元
【能力作业】
3.一条笔直的路上依次有M,P,N三地,其中M,N两地相距1 000米.甲、乙两机器人分别从M,N两地同时出发,去目的地N,M,匀速而行.图中OA,BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y(单位:米)与行走时间x(单位:分)的函数关系图象.
(1)求OA所在直线的函数表达式.
(2)出发后甲机器人行走多少时间与乙机器人相遇
(3)甲机器人到P地后,再经过1分钟乙机器人也到P地,求P,M两地间的距离.
【创新作业】
4.某校组织九年级学生以“研究某种化学试剂的挥发情况”为主题,开展跨学科主题学习活动.某研究小组从函数角度进行了如下实验探究:
【实验观察】记录的数据如下表:
时间x/min 5 10 15 20 …
剩余质量y/g 20 15 10 5 …
【探索应用】
(1)如图,建立平面直角坐标系,横轴表示时间x(单位:min),纵轴表示剩余质量y(单位:g),描出以表格中数据为坐标的各点.
(2)观察上述各点的分布规律,判断它们是否在同一条直线上,如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数表达式;如果不在同一条直线上,请说明理由.
(3)查阅文献可知,该化学试剂发挥作用的最低质量为3 g,在上述实验中,该化学试剂经过多长时间剩余质量恰好为3 g
参考答案
基础作业
1.解析:(1)∵声音在空气中的传播速度v(单位:m/s)与温度t(单位:℃)之间近似满足一次函数关系,
∴设v与t之间的函数关系式为v=kt+b.
∵当t=10时,v=337;当t=5时,v=334,
∴解得
∴v与t之间的函数关系式为v=t+331.
(2)当t=4时,v=×4+331=333.4(m/s),
∴1 667÷333.4=5(s).
答:烟花绽放声响5 s后可以传到此人所站的地方.
2.解析:(1)根据题意,得y=(50-20)×60x+(40-25)×40(20-x)=1 200x+12 000.
(2)根据题意,得60x≥2×40(20-x),解得x≥.
∵y=1 200x+12 000,且y随x的增大而增大,
∴当x最小时,y取最小.
又x≥,且x为整数,故当x=12时,ymin=1 200×12+12 000=14 400+12 000=26 400(元).
∴该工厂每天的生产利润至少为26 400元.
能力作业
3.解析:(1)由图象可知,OA所在直线的表达式为正比例函数,
∴设y=kx.
∵A(5,1 000),∴1 000=5k,k=200,
∴OA所在直线的函数表达式为y=200x.
(2)由图可知,甲机器人的速度为1 000÷5=200(米/分),
乙机器人的速度为1 000÷10=100(米/分),
两机器人相遇时,=(分).
答:出发后甲机器人行走分钟与乙机器人相遇.
(3)设甲机器人行走t分钟后到P地,P地与M地之间的距离为200t米,
则乙机器人行走(t+1)分钟后到P地,P地与M地之间的距离为1 000-100(t+1),
由200t=1 000-100(t+1),解得t=3,
∴200t=600.
答:P,M两地之间的距离为600米.
创新作业
4.解析:(1)如图所示:
(2)在同一条直线上,观察表格数据可知,时间每过5 min,剩余质量减少5 g,
y和x满足一次函数关系,即各点在同一条直线上,
设y=kx+b(k≠0),
把(5,20),(10,15)代入得
解得
∴y=-x+25.
(3)当y=3时,-x+25=3,
解得x=22.
答:该化学试剂经过22 min剩余质量恰好为3 g.章节综合练(三)
一、选择题
1.若点A(-3,y1),B(1,y2)都在直线y=-2x+5上,则y1与y2的大小关系是 ( )
A.y1>y2 B.y1C.y1≤y2 D.y1≥y2
2.若一次函数y=(m-3)x-2的图象经过第二、三、四象限,则常数m的取值范围是 ( )
A.m<3 B.m<0
C.m>3 D.m>2
3.小花用洗衣机在洗涤衣服时经历三个连续过程:注水、清洗、排水.若洗衣服前洗衣机内无水,清洗时停止注水,则在这三个过程中洗衣机内水量y(单位:升)与时间x(单位:min)之间的函数关系对应的图象大致为 ( )
A B
C D
4.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,下列推断正确的是
( )
A.若x1B.若x1y2
C.若x1+x2=0,则y1+y2=0
D.存在x1=x2,使得y1≠y2
二、填空题
5.对于一次函数y=(2k-1)x+2,若y随x的增大而减小,则k的取值范围是 .
6.已知点P(1,2)在直线y=kx+3上,把直线y=kx+3的图象向下平移2个单位长度,所得直线的表达式为 .
7.点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=x2-4x-c的图象上,若-1”“<”或“=”)
8.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两个顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象交BC于点D,交AB于点E.若BD=2CD,S四边形ODBE=6,则k的值为 .
9.已知反比例函数y=(k是常数且k≠-2)的图象与一次函数y=x-k-14的图象相交于点A,点A的横坐标为2,则k的值是 .
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b2-4ac<0;②a+b+c≤0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.其中正确的是 (填序号).
三、解答题
11.某村为了响应国家关于农田灌溉高效节水的号召,引入了现代灌溉技术.已知喷灌机从喷水口点A向四周旋转喷洒,喷出的水流近似为抛物线的一部分,且形状相同.建立如图所示的平面直角坐标系,测得喷水口OA的竖直高度为1 m,喷出水流距离喷灌机底座O最远水平距离OB为8 m,喷出水流竖直高度的最高处位置距离喷灌机底座O的水平距离OC为3 m.
(1)求喷出水流的竖直高度y(单位:m)与距离喷灌机底座O的水平距离x(单位:m)之间的表达式.
(2)为了能喷洒到更多的农作物,保证水资源的充分利用,村民决定对喷灌机做如下设计改进:在喷水口高度和喷出水流形状不变的前提下,要让喷出水流距离喷灌机底座O最远水平距离扩大为12 m,请探究改进后喷出水流的最大高度为多少米
12.如图,抛物线L1:y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).
(1)求抛物线L1的函数表达式.
(2)将抛物线L1向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到新的抛物线L2,设抛物线L2的顶点为C,点D(0,m)在y轴上,若以CD为对角线的正方形CEDF的顶点E,F恰好都在抛物线L2上,试求m的值.
参考答案
1.A 2.A
3.C 解析:注水阶段,洗衣机内的水量从0开始逐渐增多;清洗阶段,洗衣机内的水量不变且保持一段时间;排水阶段,洗衣机内的水量开始减少,直至排空为0.故选C.
4.C 5.k< 6.y=-x+1
7.> 解析:∵二次函数y=x2-4x-c,
∴函数图象开口向上,且对称轴为直线x=-=2.
∵-1∴点A的横坐标离对称轴的距离大于点B的横坐标离对称轴的距离,
∴y1>y2.
8.3
9.-8 解析:∵两个函数图象交点的横坐标为2,
∴x=2是方程=x-k-14的解,
则=×2-k-14,
解得k=-8.
10.③④
11.解析:(1)由题意可知,A(0,1),B(8,0),对称轴是直线x=3,
设函数表达式为y=ax2+bx+c,
可得解得
∴y与x之间的函数表达式为y=-x2+x+1.
(2)由题意可知,∵抛物线的喷水口高度和形状不变,
∴可设新抛物线的表达式为y=-x2+mx+1.
又∵新抛物线过点(12,0),
∴0=-×122+12m+1,解得m=,
∴新抛物线的表达式为y=-x2+x+1=-x-2+,
∴改进后喷出水流的最大高度为 m.
12.解析:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),
∴y=(x+1)(x-3),
∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.
(2)∵L1:y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴将抛物线L1向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到的抛物线的表达式为y=(x-1+1)2-4+4,即y=x2,
∴点C的坐标为(0,0).
∵点D(0,m)在y轴上,以CD为对角线的正方形CEDF的顶点E,F恰好都在抛物线L2上,
∴CD=m,EF∥x轴,且点E,F关于y轴对称,不妨设点E在点D下面的左侧,
∴E-m,m2,Fm,m2,
∴m=m2,解得m1=2,m2=0(舍去),
∴m的值为2.第1节 平面直角坐标系与函数
【基础作业】
训练角度1 平面直角坐标系中的点的坐标
1.若点A(-a,b)在第一象限,则点B(a,b)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.如图,A(2,0),AB=3,以点A为圆心,AB的长为半径画弧交x轴的负半轴于点C,则点C的坐标为 ( )
A.(3,0) B.(,0)
C.(-,0) D.(-3,0)
训练角度2 平面直角坐标系中函数的表示及图象
3.下列曲线中,表示y是x的函数的是 ( )
A B C D
4.(2024·铁一中月考)小君去游览翠华山,他先坐缆车至中转点,休息一会儿后步行登山至山顶.设所用的时间为x,离山脚的高度为y,下列能反映整个过程中变量y与x之间关系的大致图象是 ( )
A B
C D
训练角度3 函数自变量的取值范围
5.在函数y=中,自变量x的取值范围是 ( )
A.x≥2 B.x≤2
C.x≥-2 D.x≤-2
6.在函数y=中,自变量x的取值范围是 ( )
A.x≠0 B.x≠-3
C.x≠1 D.x>-3
【能力作业】
7.已知点A的坐标为(3,a+3),点B的坐标为(a,a-4),AB∥y轴,则线段AB的长为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.13
8.如图,将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系中,若点A,B,E的坐标分别为(a,b),(,1),(-a,b),则点D的坐标为 ( )
A.(1,) B.(,-1)
C.(-1,-) D.(-,1)
9.如图,小颖依据所在城市某日连续12 h的风力变化情况,画出了风力随时间变化的图象,根据图象进行判断,下列结论不正确的有 .(填序号)
①8时风力最小;
②8时至12时,最大风力为5级;
③在这12 h中,最大风力超过7级;
④8时至14时,风力不断增大.
10.(2024·陕师大附中期中)如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图2是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M是曲线部分的最低点,则△ABC的面积是 .
图1 图2
【创新作业】
11.某班数学兴趣小组对函数y=的图象和性质进行了探究,探究过程如下.
请补充完整:(1)自变量x的取值范围是 .
(2)下表是y与x的几组对应数值:
x … -3 -2 -1 - 0
y … 0 -
x 2 3 4 …
y -1 -3 m 2 …
①m的值为 .
②在平面直角坐标系中,描出了以表中各组对应值为坐标的点.请根据描出的点,画出该函数的图象.
(3)当>x时,x的取值范围为 .
参考答案
基础作业
1.B 2.C 3.C 4.B 5.B 6.B
能力作业
7.C
8.D 解析:
如图,由点A,E的坐标分别为(a,b),(-a,b),得A,E两点关于y轴对称,
则B,D两点也关于y轴对称.
∵点B的坐标为(,1),
∴点D的坐标为(-,1),故选D.
9.①②④ 解析:由图象可知,
20时风力最小,故①结论错误;
8时至12时,最大风力约4级,故②结论错误;
在这12 h中,最大风力超过7级,故③结论正确;
8时至11时,风力不断增大,11至12时,风力在不断减小,故④结论错误.
所以结论不正确的有①②④.
10.48 解析:根据图象可知,点P在边BC上运动时,BP不断增大,点P从点B向点C运动时,BP的最大值为10,即BC=10.
∵M是曲线部分的最低点,
∴此时BP最小,即BP⊥AC,BP=8.
由勾股定理可知PC=6.
∵图象的曲线部分是轴对称图形,图象右端点的函数值为10,
∴AB=BC=10,
∴PA=PC=6(三线合一),
∴AC=12,
∴△ABC的面积为×12×8=48.
创新作业
11.解析:(1)x≠1.
提示:∵x-1≠0,∴x≠1.
(2)①5.
提示:当x=时,代入y=,
解得y=5.
②如图1所示:
图1
(3)x<0或1提示:如图2,在同一平面直角坐标系中画出函数y=x与y=的图象,
图2
当>x时,由图象可得x<0或1
