第6节 解直角三角形及其应用
【基础作业】
训练角度1 特殊角的三角函数值
1.计算:2cos 30°-tan 60°+sin 45°cos 45°.
训练角度2 直角三角形的边角关系
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=4,sin B=.
(1)求BC的值.
(2)求sin A的值.
训练角度3 解直角三角形的实际应用
3.【真情境】如图,亮亮为了测量一条河流的宽度,他在河岸边相距200米的P,Q两点处分别测定对岸一棵树T的位置,T在P的正北方向,且T在Q的北偏西50°方向,则河宽(PT的长)可以表示为 ( )
A.米 B.200tan 50°米
C.200sin 50°米 D.米
【能力作业】
4.如图,一艘货轮在海面上航行,准备要停靠到码头C,货轮航行到A处时,测得码头C在北偏东60°方向上.为了躲避A,C之间的暗礁,这艘货轮调整航向,沿着北偏东30°方向继续航行,当它航行到B处后,又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C.求货轮从A到B航行的距离.(结果精确到0.1海里.参考数据:sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192)
5.(2024·高新一中模拟)【科技成就】随着5G技术的发展,为扩大网络信号的辐射范围,某通信公司在一座坡度为i=1∶2.4的小山坡AQ上新建了一座大型的网络信号发射塔PQ(如图所示),信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9 m.同时为了提醒市民,在距离斜坡底A 4.4 m的水平地面上立了一块警示牌MN,当太阳光线与水平线成53°角时,测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN的长为3 m.求信号塔PQ的高.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)
【创新作业】
6.【原创好题】如图,小李和小明测量CD的长,小李在点M利用测倾器观察点C.当∠CMB=45°时,M,C,D三点共线,小明在距离点B 13 m的点F利用测倾器观测点D,此时∠DFB=37°,BC=8 m.已知AD∥BF,AB⊥BF,求CD的长.(结果保留一位小数,tan 37°≈0.75,sin 37°≈0.6,cos 37°=0.8,≈1.4)
参考答案
基础作业
1.解析:原式=2×-+×
=-+
=.
2.解析:(1)在△ABC中,∠C=90°,
∵AB=4,sin B==,
∴AC=,
∴BC==3.
(2)在△ABC中,∠C=90°,sin A==.
3.A
能力作业
4.解析:如图,过点B作BD⊥AC于点D.
由题意可知∠ABE=30°,∠BAC=30°,则∠C=180°-30°-30°-70°=50°,
在Rt△BCD中,∠C=50°,BC=20(海里),
∴BD=BC·sin 50°≈20×0.766=15.32(海里).
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,BD=15.32(海里),
∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里).
答:货轮从A到B航行的距离约为30.6海里.
5.解析:如图,过点E作EF⊥PQ于点F,延长PQ交BA于点G,可得QG⊥BA.
∵QA=3.9 m,QG∶AG=1∶2.4,
∴设QG=x m,则AG=2.4x,
∴x2+(2.4x)2=3.92,
解得x=1.5,
则AG=2.4x=3.6 m,
∴EF=NG=4.4+3.6=8 m,
在Rt△PEF中,tan 53°==≈1.33 m,
解得PF=10.64 m.
∵FQ=EN-QG=3-1.5=1.5 m,
∴PQ=10.64+1.5≈12.1(m).
答:信号塔PQ的高约为12.1 m.
创新作业
6.解析:如图,过点D作DH⊥BF于点H.
∵AB⊥BF,AD∥BF,
∴AD⊥AB,
∴四边形ABHD为矩形,
∴AD=BH,AB=DH.
∵∠DMB=45°,∴∠ADC=45°,
∴△ACD为等腰直角三角形,∴AC=AD.
设AD=x,∵BC=8,BF=13,
∴AC=x,BA=8+x,
∴DH=8+x,BH=x,∴FH=13-x,
在Rt△DFH中,tan∠DFH=,
∴=0.75,解得x=1,
经检验,x=1为原方程的解,
∴AD=AC=1 m.
在Rt△ACD中,CD==≈1.4 m,
∴CD的长为1.4 m.第2节 三角形的基本概念和性质
【基础作业】
训练角度1 三角形的边角关系
1.下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是 ( )
A.1 cm,2 cm,3 cm
B.3 cm,4 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm
D.6 cm,9 cm,2 cm
2.如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB的长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC= ( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
3.平面内,将长分别为1,5,1,1,d的线段,顺次首尾相接形成一个凸五边形如图所示,则d的值可能是 ( )
A.1 B.2 C.7 D.8
训练角度2 三角形的重要线段
4.如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则 ( )
A.线段CD是△ABC的AC边上的高线
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线
5.如图,AD是△ABC的中线,AB=5,AC=4,若△ACD的周长为10,则△ABD的周长为 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
6.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过点D作DE∥AC,交AB于点E,若AB=5,则线段DE的长为 ( )
A.2 B. C.3 D.
7.如图,在△ABC中,AC=BC,DE为△ABC的中位线,连接CD,若∠B=69°,则∠EDC的度数为 ( )
A.19° B.20° C.21° D.22°
8.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠BAD=∠CAD,DE⊥AC,垂足为E,若DE=2,则BD的长为 ( )
A.4 B.4 C.3 D.3
【能力作业】
9.【问题背景】
我们把如图1所示的图形称为“8字形”,有∠A+∠B=∠C+∠D.
【简单应用】
(1)如图2,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠B=40°,∠ADC=18°,则∠P= .
【问题探究】
(2)如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=α,∠ADC=β,请用α,β表示∠P的度数.
图1 图2 图3
【创新作业】
10.如图,将△ABC折叠,使AC边落在AB边上,展开后得到折痕l,则l是△ABC的 ( )
A.中线 B.中位线
C.高线 D.角平分线
11.【原创】小明设计了一个动画,如图,△ABC及其内部的一个发光点O,将△ABC绕点C顺时针旋转,同时发光点O发出的射线照射到边AB上(包括端点).
(1)若将△ABC绕点C顺时针旋转110°,得到△A'B'C,且点A',C,B恰好在同一条直线上,则∠A+∠B的度数为 .
(2)在(1)的条件下,若O是△ABC的内心,则发光点O发出的射线与O形成的角的度数最大为 .
参考答案
基础作业
1.B 2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.C 8.A
能力作业
9.解析:(1)29°.
(2)如图.∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠PAD=180°-∠2,∠PCD=180°-∠3.
∵∠P+∠PAD=∠ADC+∠PCD,∠P+∠1=∠ABC+∠4,
∴2∠P=∠ABC+∠ADC,
∴∠P=(∠B+∠D)=(α+β).
创新作业
10.D
11.(1)110° (2)125°第1节 线、角、相交线与平行线、命题
【基础作业】
训练角度1 相交线的性质
1.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O,若∠1=54°,则∠2的度数为 ( )
A.26° B.36° C.44° D.54°
训练角度2 平行线的性质
2.一杆秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=80°,则∠2等于 ( )
A.20° B.80° C.100° D.120°
3.如图,把一块直角三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上,若∠C=30°,AC∥EF,则∠1= ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
4.【学科融合】如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,F为焦点,若∠1=155°,∠2=30°,则∠3的度数为 ( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
5.如图,直线a∥b,直线c与直线a,b相交,若∠1=54°,则∠3= °.
6.将一副直角三角板按如图所示的方式放置,已知∠E=60°,∠C=45°,EF∥BC,则∠BND= °.
7.如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB.
(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.
训练角度3 平行线的判定
8.如图,直线a∥b,且直线a,b被直线c,d所截,则下列条件不能判定直线c∥d的是 ( )
A.∠3=∠4
B.∠1+∠5=180°
C.∠1=∠2
D.∠1=∠4
9.如图,下列推理及括号中所注明的推理依据,错误的是 ( )
A.∵∠2=∠4,∴AD∥BC (内错角相等,两直线平行)
B.∵AB∥CD,∴∠4=∠3 (两直线平行,内错角相等)
C.∵∠DAM=∠CBM,∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行)
D.∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180° (两直线平行,同旁内角互补)
训练角度4 命题
10.下列命题中,是真命题的是 ( )
A.平行四边形是轴对称图形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
D.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则△ABC是直角三角形
11.【逻辑推理】某次会议有100人参加,参加会议的每个人都可能是说真话的,也可能是不说真话的,现在知道下面两项事实:①这100人中,至少有1人是不说真话的;②任意2人中,至少有1人是说真话的.则这次会议活动中,说真话的人数是 .
【能力作业】
12.如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的中线,在边AD及CD的延长线上依次取点E,F,∠EFD=∠B.
(1)求证:EF∥BC.
(2)若∠A=65°,求∠AEF的度数.
13.如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,BC平分∠DBE.
(1)AE与FC平行吗 说明理由.
(2)AD与BC的位置关系如何 为什么
(3)DA平分∠BDF吗 为什么
【创新作业】
14.用一张等宽的纸条折成如图所示的形状,若∠1=20°,则∠2的度数为 .
参考答案
基础作业
1.B 2.C 3.C 4.C 5.54 6.105
7.解析:(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠CBD=∠EBD.
∵DE∥BC,
∴∠CBD=∠EDB,
∴∠EBD=∠EDB.
(2)CD=ED.理由如下:
∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,
∴AC-AD=AB-AE,即CD=BE.
由(1)得∠EBD=∠EDB,
∴BE=ED,∴CD=ED.
8.C 9.B 10.C 11.99
能力作业
12.解析:(1)证明:∵在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的中线,∴CD=BD=AD=AB,
∴∠DCB=∠B.
又∵∠EFD=∠B,
∴∠DCB=∠EFD,∴EF∥BC.
(2)在Rt△ABC中,∠A+∠B=90°.
∵∠A=65°,∴∠B=25°.
∵EF∥BC,
∴∠FED=∠B=25°.
∵∠FED+∠AEF=180°,
∴∠AEF=155°.
13.解析:(1)AE与FC平行.
理由:∵∠1+∠2=180°,∠2+∠CDB=180°,
∴∠CDB=∠1,∴AE∥FC.
(2)AD∥BC.
理由:∵AE∥FC,∴∠C+∠ABC=180°.
∵∠A=∠C,
∴∠A+∠ABC=180°,∴AD∥BC.
(3)DA平分∠BDF.
理由:如图所示.
∵BC平分∠DBE,
∴∠3=∠4.
∵AD∥BC,AB∥CD,∠3=∠C=∠5,∠4=∠6,
∴∠5=∠6,
∴DA平分∠BDF.
创新作业
14.140°第3节 全等三角形
【基础作业】
训练角度1 全等三角形的判定
1.如图,OB平分∠AOC,D,E,F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点,D,E,F与点O都不重合,连接ED,EF.若添加下列条件中的某一个,就能使△DOE≌△FOE,则要添加的条件是 ( )
A.OD=OE
B.OE=OF
C.∠ODE=∠OED
D.∠ODE=∠OFE
2.如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是 ( )
A.BC=EC,∠B=∠E
B.BC=EC,AC=DC
C.BC=DC,∠A=∠D
D.∠B=∠E,∠A=∠D
3.如图,AB∥DE,AB=DE,若添加一个条件 ,使△ABC≌△DEF.
训练角度2 与全等三角形有关的证明
4.如图,点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证:AE∥BF.
【能力作业】
5.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠DCB,E为BC上的一点,且DE∥AB,过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F,连接CF,CF=BF,求证:△ADE≌△FCD.
6.【改编】如图,在△ABC中,AB=CB=10,∠ABC=90°,D为直线BC上一点,E为AB延长线上一点,且BE=BD,连接AD,EC.
(1)求证:△ABD≌△CBE.
(2)当∠CAD=20°时,求∠E的度数.
【创新作业】
7.小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其作了进一步的探究:如图1,在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,OA表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时,小球从OA摆到OB位置(如图2),此时过点B作BD⊥OA于点D,当小球摆到OC位置时,OB与OC恰好垂直(A,B,O,C在同一平面上),过点C作CE⊥OA于点E,测得BD=8 cm,OA=17 cm.求AE的长.
图1 图2
参考答案
基础作业
1.D 2.C 3.∠A=∠D(答案不唯一)
4.证明:
∵AD=BC,∴AC=BD.
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(SSS),
∴∠A=∠B,
∴AE∥BF.
能力作业
5.证明:
∵DE∥AB,
∴∠DEC=∠ABC.
∵∠ABC=∠DCB,
∴∠DEC=∠DCB,
∴DE=CD.
∵DE∥AB,BF∥AD,
∴四边形ABFD是平行四边形,
∴AD=BF,∠ADE=∠ABF.
∵CF=BF,∴∠FBC=∠FCB,AD=CF,
∴∠ABC+∠FBC=∠DCB+∠FCB,
即∠ABF=∠DCF,∴∠ADE=∠FCD.
在△ADE和△FCD中,
∴△ADE≌△FCD(SAS).
6.解析:(1)证明:∵∠ABC=90°,
∴∠ABD=∠CBE=90°.
在△ABD和△CBE中,
图1
∴△ABD≌△CBE(SAS).
(2)①当点D在线段BC上时,如图1所示.
∵AB=CB,∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠ACB=45°,
∴∠BAD=∠CAB-∠CAD=25°.
由(1)知△ABD≌△CBE,
图2
∴∠ECB=∠BAD=25°,
∴∠E=90°-∠ECB=65°.
②当点D在BC的延长线上时,如图2所示.
∵△ABD≌△CBE,
∴∠E=∠ADB=∠ACB-
∠CAD=45°-20°=25°.
综上所述,∠E的度数为65°或25°.
创新作业
7.解析:∵OB⊥OC,
∴∠BOD+∠COE=90°.
又∵CE⊥OA,BD⊥OA,
∴∠CEO=∠ODB=90°,
∴∠BOD+∠B=90°,
∴∠COE=∠B.
在△COE和△OBD中,
∴△COE≌△OBD(AAS),
∴OE=BD=8 cm.
∵OB=OA=17 cm,
∴AE=OA-OE=9(cm).章节综合练(四)
一、选择题
1.已知A,B,C为直线l上的三点,线段AB=9 cm,BC=1 cm,则A,C两点间的距离是 ( )
A.10 cm B.8 cm
C.10 cm或8 cm D.以上说法都不对
2.如图,将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起,若∠2=55°,则∠1的度数是 ( )
A.15° B.20° C.25° D.35°
第2题图 第3题图
3.如图,在△ABC中,F,E分别是AB,AC上两点,连接FE并延长交BC的延长线于点D,若∠A=45°,∠B=60°,∠D=25°,则∠AED= ( )
A.105° B.85° C.120° D.130°
4.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件可能是 ( )
A.∠A=∠D B.AC∥DF
C.BE=CF D.AC=DF
第4题图 第5题图
5.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点M,AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于点N,若BD=,EC=,DE=2,则AC的长为 ( )
A. B.
C. D.
6.如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,DE∥BC.若DE=8,AD=5,则AB的长为 ( )
A.13 B.12 C.10 D.9
第6题图 第7题图
7.如图,∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P,若∠C=28°,∠D=22°,则∠P的度数为 ( )
A.22° B.25° C.28° D.30°
8.如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,且DE∥BC,若=,则的值为 ( )
A. B. C. D.
第8题图 第9题图
9.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,D为边BC延长线上的一点,连接AD,E为AD的中点,连接CE,若BC=2CD=4,CE=,则△ABC的面积为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.8
二、填空题
10.在△ABC中,AB=AC,∠B=15°,且AB=4,则△ABC的面积为 .
11.如图,在△ABC中,AC=10,D,E分别是AB,AC的中点,F是DE上一点,连接AF,CF.若∠AFC=90°,DF=1,则BC的长为 .
12.如图,在菱形ABCD中,AB=10,对角线BD=16,过点C作CE⊥AD于点E,CE与BD交于点F,则EF的长为 .
13.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D在AC上,且DE⊥AC,BD=CD=4,若tan A=,则DE= .
14.如图,在△ABC中,AN=2CN,M是AB的中点,BN,CM相交于点O,设△BOM的面积为S1,△CON的面积为S2,若△ABC的面积为12,则S1-S2= .
15.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,D为AC上一点,且满足CD=2AD,E为BD上一点,∠AEB=60°,延长AE交BC于点F,则FC的长是 .
三、解答题
16.法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县,始建于东汉末年桓灵年间,距今约有1700年历史,法门寺被誉为“关中塔庙始祖”,其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物(如图所示).某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动,在点C处垂直于地面竖立一根高度为2 m的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,宝塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得EC=3 m,将标杆CD向右平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,宝塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,G,E,C与塔底处的点A在同一直线上),这时测得FG=6 m,GC=67.5 m.请你根据以上数据,计算“真身宝塔”的高AB.
参考答案
1.C 2.C 3.D 4.D 5.C 6.A 7.B 8.A 9.B 10.8 11.12 12. 13.2 14.2
15. 解析:如图,过点C作CG⊥BC,交AF的延长线于点G,过点A作AH⊥BC,垂足为H,
∴∠BCG=∠AHC=90°.
∵AB=AC=4,∠BAC=120°,
∴∠ABC=∠ACB==30°,
∴∠ACG=∠ACB+∠BCG=120°,
∴∠BAD=∠ACG=120°,
∴∠ABD+∠ADB=180°-∠BAD=60°.
∵∠AEB是△AED的一个外角,
∴∠AEB=∠DAE+∠ADB=60°,
∴∠ABD=∠DAE,
∴△ABD≌△CAG(ASA),
∴AD=CG.
∵CD=2AD,
∴AD=CG=AC=.
在Rt△ACH中,∠ACH=30°,
∴AH=AC=2,CH=AH=2.
∵∠AFH=∠CFG,
∴△AFH∽△GFC,
∴=,∴=,
解得CF=.
16.解析:根据题意知,∠DEC=∠BEA,∠DCE=∠BAC=90°,
∴△EDC∽△EBA,即=,
根据题意知,∠HFG=∠BFA,∠HGF=∠BAC=90°,
∴△FHG∽△FBA,即=,
∴=,
∴=,
∴AC=67.5.
∵=,∴=,
∴AB=47(m).
答:“真身宝塔”的高AB为47 m.第4节 等腰三角形与直角三角形
【基础作业】
训练角度1 等腰三角形的性质与判定
1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D,则以下推断错误的是 ( )
A.BD=BC
B.AD=BD
C.∠ADB=108°
D.CD=AD
2.如图,AD是等边三角形ABC的一条中线,若在边AC上取一点E,使得AE=AD,则∠EDC的度数为 ( )
A.30° B.20° C.25° D.15°
3.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD⊥AC,AD交BC于点D,若BD=7,AD=15,则CD的长为 .
4.(2024·西安碑林区月考)如图,在△ABC中,AB=8 cm,AC=6 cm,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作直线EF平行于BC,交AB,AC于点E,F.
(1)求证:△DFC是等腰三角形.
(2)求△AEF的周长.
训练角度2 直角三角形的性质和判定
5.下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是 ( )
A.AB2+BC2=AC2
B.AB2-BC2=AC2
C.∠A+∠B=∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
6.已知直角三角形中两边的边长为3和4,则此三角形的周长为 ( )
A.12 B.7+
C.12或7+ D.以上都不对
7.【数学文化】清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,AD是锐角△ABC的高,则BD=BC+.当AB=7,BC=6,AC=5时,CD= .
训练角度3 解含30°,45°,60°角的直角三角形
8.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB=,则CD= .
【能力作业】
9.如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,点B,C,D在同一条直线上,BE交AC于点M,AD交CE于点N,AD与BE交于点P.给出下列结论:①AD=BE;②∠BMC=∠ANC;③∠APM=60°;④AN=BM;⑤△CMN是等边三角形.则其中正确的有 ( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
10.如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=3,BC=5,AE=2,连接CE,以CE为底作直角三角形CDE,且CD=DE,F是AE边上的一点,连接BD和BF,∠FBD=45°,则AF的长为 .
【创新作业】
11.如图,在△ABC中,AC=BC,点D在线段AB上,连接CD并延长至点E,使DE=CD,过点E作EF⊥AB,交直线AB于点F.
图1 图2 备用图
(1)如图1,若∠ACB=120°,请用等式表示AC与EF的数量关系: .
(2)如图2,若∠ACB=90°,回答以下问题:
①当点D,F位于点A的异侧时,请用等式表示AC,AD,DF之间的数量关系,并说明理由;
②当点D,F位于点A的同侧时,若DF=1,AD=3,请直接写出AC的长.
参考答案
基础作业
1.D 2.D
3.25 解析:如图,作AH⊥BC于点H.
∵AB=AC,
∴CH=BH.
设DH=x,则CH=BH=x+7,CD=2x+7.
由勾股定理,得AB2-BH2=AD2-DH2,AC2=CD2-AD2.
∵AB=AC,
∴CD2-AD2-BH2=AD2-DH2,
∴CD2-2AD2-BH2+DH2=0,
∴(2x+7)2-2×152-(x+7)2+x2=0,
∴2x2+7x-225=0,
∴x=9(负值舍去),
∴CD=2×9+7=25.
4.解析:(1)证明:∵EF∥BC,
∴∠FDC=∠BCD.
∵CD平分∠ACB,
∴∠FCD=∠BCD,
∴∠FCD=∠FDC,
∴FD=FC,
∴△DFC是等腰三角形.
(2)∵EF∥BC,
∴∠EDB=∠DBC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠DBE,
∴∠EDB=∠DBE,
∴DE=BE.
又∵FD=FC,AB=8 cm,AC=6 cm,
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+DE+FD=AE+AF+BE+FC=AB+AC=8+6=14(cm).
5.D 6.C 7.1 8.-1
能力作业
9.D 10.
创新作业
11.解析:(1)EF=AC.
提示:如图1,过点C作CG⊥AB于点G.
图1
∵EF⊥AB,
∴∠EFD=∠CGD=90°.
∵∠EDF=∠CDG,DE=CD,
∴△EDF≌△CDG(AAS),
∴EF=CG.
在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°,
∴∠A=∠B=×(180°-120°)=30°,
∴CG=AC,
∴EF=AC.
故答案为EF=AC.
(2)①AD+DF=AC.
理由:如图2,过点C作CH⊥AB于点H,
图2
与(1)同理,可证△EDF≌△CDH,
∴DF=DH,
∴AD+DF=AD+DH=AH.
在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠CAH=45°,
∴△ACH是等腰直角三角形,
∴AH=AC,
∴AD+DF=AC.
图3
②4或2.
提示:如图3,过点C作CG⊥AB于点G,
与(1)同理,可证△EDF≌△CDG,
∴DF=DG=1.
∵AD=3,点F在点A,D之间,
∴AG=1+3=4,
与①同理,可证△ACG是等腰直角三角形,
∴AC=AG=4.
如图4,当点D在点A,F之间时,
图4
∴AG=AD-DG=3-1=2,
与①同理,可证△ACG是等腰直角三角形,
∴AC=AG=2.
综上所述,线段AC的长为4或2 .第5节 相似三角形
【基础作业】
训练角度1 比例的性质
1.若===k,则k的值为 .
训练角度2 黄金分割
2.神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现,其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的 ( )
A.平移 B.旋转
C.轴对称 D.黄金分割
训练角度3 平行线分线段成比例
3.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,若AC=6,则EC等于 ( )
A. B. C. D.
训练角度4 相似三角形的性质与判定
4.如图,在由边长为1的小正方形组成的方格中,A,B,C,D四个点均在格点(网格线的交点)上,AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与△CDE的周长比为 ( )
A.1∶4 B.4∶1 C.1∶2 D.2∶1
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,过点C作CD⊥AB于点D,已知AC=12,AB=13,则CD的长是 ( )
A.5 B. C.6 D.
6.如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,=,则AE的长为 .
7.如图,小明在A时测得某树的影长为2 m,B时又测得该树的影长为8 m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为 m.
8.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.求证:
(1)∠CAE=∠BAF.
(2)CF·FQ=AF·BQ.
【能力作业】
9.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AO=2,AD=4,OC=6,BC=8,如果∠DAO=∠CBO,那么AB∶CD的值是 .
10.如图,将矩形ABCD沿EF对折后,矩形ABCD与矩形AEFB相似,若AD=2,则AB的长为 .
11.【真情境】为了测量校园内一棵树的高度,学校数学应用实践小组做了如下的探索实践.根据《自然科学》中的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离树(AB)9 m的水平地面点E处,然后一同学沿着直线BE后退到点D,这时该同学恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=3 m,该同学身高CD=1.6 m.请你计算树(AB)的高.
【创新作业】
12.我们经常会采用不同的方法对某物体进行测量,请测量下列灯杆AB的长.
图1 图2
(1)如图1,将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处,测角仪的高度为b米,从点C测得点A的仰角为α,求灯杆AB的高.(用含a,b,α的代数式表示)
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法,至今仍有借鉴意义.如图2,现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前,测得其影长CH为1米,再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置,此时测得其影长DF为3米,求灯杆AB的高.
参考答案
基础作业
1.-1或2 2.D 3.C 4.D 5.B 6.1 7.4
8.证明:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵CF=BE,
∴CE=BF.
在△ACE和△ABF中,
∴△ACE≌△ABF(SAS),
∴∠CAE=∠BAF.
(2)∵△ACE≌△ABF,
∴AE=AF,∠CAE=∠BAF.
∵AE2=AQ·AB,AC=AB,
∴=,即=,
∴△ACE∽△AFQ,
∴∠AEC=∠AQF,
∴∠AEF=∠BQF.
∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE,
∴∠BQF=∠AFE.
∵∠B=∠C,∴△CAF∽△BFQ,
∴=,
∴CF·FQ=AF·BQ.
能力作业
9. 10.
11.解析:由题意知∠CDE=∠ABE=90°.
又由光的反射原理可知∠CED=∠AEB,
∴△CED∽△AEB,
∴=,∴=,
∴AB=4.8米.
答:树(AB)的高是4.8米.
创新作业
12.解析:(1)由题意得BD=a米,CD=b米,∠ACE=α,
∠B=∠D=∠CEB=90°,
∴四边形CDBE为矩形,
则BE=CD=b米,BD=CE=a米,
在Rt△ACE中,tan α=,
得AE=CE·tan α=atan α(米),
而AB=AE+BE,
故AB=atan α+b(米).
答:灯杆AB的高为(atan α+b)米.
(2)由题意可得AB∥GC∥ED,GC=ED=2米,CH=1米,DF=3米,CD=1.8米,
∵AB∥ED,∴△ABF∽△EDF,
此时=,
即=①.
∵AB∥GC,
∴△ABH∽△GCH,
此时=,
∴=②.
联立①②得
解得
答:灯杆AB的高为3.8米.
