第2节 特殊的平行四边形
【基础作业】
训练角度1 矩形的性质与判定
1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若∠AOB=60°,则的值是 ( )
A. B. C. D.
2.(2024·西安碑林区模拟)在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,再添加下列一个条件,能使四边形ABCD成为矩形的是 ( )
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.∠A=∠C D.AC=BD
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F.已知AB=4,△AOE的面积为5,则DE的长为 ( )
A.2 B. C. D.3
训练角度2 菱形的性质与判定
4.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,请添加一个条件: 使得 ABCD是菱形 ( )
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.AB=CD D.AC=BD
第4题图 第5题图
5.(2024·陕师大附中模拟)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=45°,过点A作AE⊥CD于点E,交BD于点O,过点O作OF⊥AD于点F,若AB=4,则OA+OF的值为 ( )
A.3 B. C.2 D.2
训练角度3 正方形的性质与判定
6.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC= ( )
A.2α B.90°-2α
C.45°-α D.90°-α
【能力作业】
7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC,BD交于点O.添加一个条件使得这个四边形成为一种特殊的平行四边形,则以下说法错误的是 ( )
A.添加“AB∥CD”,则四边形ABCD是菱形
B.添加“∠BAD=90°”,则四边形ABCD是矩形
C.添加“OA=OC”,则四边形ABCD是菱形
D.添加“∠ABC=∠BCD=90°”,则四边形ABCD是正方形
8.如图,在矩形ABCD中,R,P分别是AB,AD上的点,E,F分别是RP,PC的中点,当点P在AD上从点A向点D移动,而点R保持不动时,下列结论成立的是 ( )
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长先增大后减小
9.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别为BC,AC的中点,连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连接AD,AF,CF,求证:四边形ADCF为矩形.
10.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.求证:四边形AECD是菱形.
11.如图,在正方形ABCD中,以AD为边在AD下方作等边△ADE,连接BE,CE.求证:BE=CE.
【创新作业】
12.如图,四边形ABCD为正方形,AB=2,E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形.
(2)探究:CE+CG的值是否为定值 若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
参考答案
基础作业
1.D 2.D
3.D 解析:
如图,连接CE.
由题意可得,OE为对角线AC的垂直平分线,
∴AE=CE,S△AOE=S△COE=5,
∴S△ACE=2S△COE=10,
∴AE·CD=10.
∵CD=AB=4,
∴AE=CE=5.
在Rt△CDE中,由勾股定理得DE==3.
故选D.
4.B
5.D 解析:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BDE=∠BDF,AB=AD=4,
∵AE⊥CD,OF⊥AD,
∴OE=OF,
∴OA+OF=OA+OE=AE.
∵AD=4,∠ADE=∠ABC=45°,AE⊥CD,
∴OA+OF=AE===2.故选D.
6.A
能力作业
7.B 8.C
9.证明:∵D,E分别为BC,AC的中点,
∴AE=EC,BD=DC.
∵EF=DE,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴四边形ADCF是矩形.
10.证明:∵AB∥CD,CE∥AD,
∴四边形AECD是平行四边形.
∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠CAB.
∵AB∥CD,
∴∠CAB=∠DCA,
∴∠DAC=∠DCA,∴AD=CD,
∴四边形AECD是菱形.
11.证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ADC=90°,AB=CD.
∵△ADE是等边三角形,
∴∠EAD=∠ADE=60°,AE=ED,
∴∠BAD-∠EAD=∠ADC-∠ADE,即∠BAE=∠CDE.
又∵AB=CD,AE=ED,
∴△ABE≌△DCE(SAS),
∴BE=CE.
创新作业
12.解析:
(1)证明:如图,过点E作EM⊥BC于点M,过点E作EN⊥CD于点N.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BCD=90°,∠ECN=45°,
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°,
且NE=NC,∴四边形EMCN为正方形,∴EM=EN.
∵四边形DEFG为矩形,∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°,
∴∠DEN=∠FEM.
又∵∠DNE=∠FME=90°,
在△DEN和△FEM中,
∴△DEN≌△FEM(ASA),
∴ED=EF,
∴矩形DEFG为正方形.
(2)CE+CG的值为定值.
∵矩形DEFG为正方形,
∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠ADE=∠CDG.
在△ADE和△CDG中,
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE=CG,
∴AC=AE+CE=AB=×2=4,
∴CE+CG的值为定值,定值为4.第1节 平行四边形与多边形
【基础作业】
训练角度1 多边形的性质
1.若一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于
( )
A.60° B.72° C.90° D.108°
2.如果一个多边形每一个外角都是60°,那么这个多边形的边数为 .
3.若一个正多边形恰好有8条对称轴,则这个正多边形的中心角的度数为 度.
4.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC,那么∠BAC的度数为 .
第4题图 第5题图
5.如图,在正六边形ABCDEF中,连接FD,FC,则∠DFC的度数是 .
训练角度2 平行四边形的性质与判定
6.(2024·西安莲湖区模拟)如图,已知AB∥CD,增加下列条件,可以使四边形ABCD成为平行四边形的是 ( )
A.∠1=∠2 B.AD=BC
C.OA=OC D.AD=AB
第6题图 第7题图
7.如图,在 ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,则 ABCD的周长等于 .
训练角度3 与平行四边形有关的证明
8.如图,在 ABCD中,AB=8,BC=10,∠B=60°,点M在AD上,且AM=8,点N在BC上.若MN平分四边形ABCD的面积,则MN的长为 .
9.如图,在 ABCD中,E,F分别在AD,BC上,且AE=CF,连接BE,DF.求证:BE=DF.
【能力作业】
10.如图,在 ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为F,FE的延长线与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是 .
11.如图1,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,AO=CO,∠BCA=∠CAD.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)如图2,E,F,G分别是BO,CO,AD的中点,连接EF,GE,GF.若BD=2AB,BC=15,AC=16,求△EFG的周长.
图1 图2
【创新作业】
12.如图,在 ABCD中,∠BAD,∠ADC的平分线AF,DE分别与线段BC交于点F,E,AF与DE交于点G.
(1)求证:AF⊥DE,BF=CE.
(2)若AD=10,AB=6,AF=8,求DE的长度.
参考答案
基础作业
1.B 2.6 3.45 4.36° 5.30° 6.C 7.20
8.2 解析:
如图,连接AC,取AC的中点O,连接MO并延长,交BC于点N,过点A作AG⊥BC于点G,过点M作MH⊥BC于点H.
∵∠B=60°,可知BG=AB=4,
∴AG===4.
∵MN平分 ABCD的面积,
∴MN经过 ABCD的中心O.
∵在平行四边形ABCD中,AB=8,BC=10,易证△AOM≌△CON(AAS),
∴AM=CN=8,
∴BN=BC-CN=2.
∵AG⊥BC,MH⊥BC,
∴AG∥MH.
又∵AM∥GH,
∴四边形AGHM是矩形,
∴GH=AM=8,MH=AG=4,
∴NH=BG+GH-BN=4+8-2=10,
∴MN===2,即MN的长为2.
9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵AE=CF,
∴DE=BF.
又∵DE∥BF,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴BE=DF.
能力作业
10.2
11.解析:(1)证明:∵∠BCA=∠CAD,∴AD∥BC.
在△AOD与△COB中,
∴△AOD≌△COB(ASA),
∴AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)如图,连接DF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=15,AB=CD,AD∥BC,BD=2OD,OA=OC=AC=8.
∵BD=2AB,
∴AB=OD,
∴DO=DC.
∵F是OC的中点,
∴OF=OC=4,DF⊥OC,
∴AF=OA+OF=12,
在Rt△AFD中,DF= ==9.
∵G是AD的中点,∠AFD=90°,
∴DG=FG=AD=7.5.
∵E,F分别是OB,OC的中点,
∴EF是△OBC的中位线,
∴EF=BC=7.5,EF∥BC,
∴EF=DG,EF∥AD,
∴四边形GEFD是平行四边形,
∴GE=DF=9,
∴△EFG的周长=GE+GF+EF=9+7.5+7.5=24,
∴△EFG的周长为24.
创新作业
12.解析:(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AF,DE分别是∠BAD,∠ADC的平分线,
∴∠DAF=∠BAF=∠BAD,∠ADE=∠CDE=∠ADC,
∴∠DAF+∠ADE=∠BAD+∠ADC=90°,
∴∠AGD=90°,
∴AF⊥DE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,∴∠DAF=∠AFB,
又∵∠DAF=∠BAF,
∴∠BAF=∠AFB,∴AB=BF,
同理可证CD=CE,
∴BF=CE.
(2)如图,过点C作CK∥AF交AD于点K,交DE于点I.
∵AK∥FC,AF∥CK,
∴四边形AFCK是平行四边形,∠AGD=∠KID=90°,
∴AF=CK=8.
∵∠KDI+∠DKI=90°,∠IDC+∠DCI=90°,∠IDK=∠IDC,
∴∠DKI=∠DCI,
∴DK=CD=6,∴KI=CI=4.
∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠DEC=∠CDE,
∴CE=CD=6.
∵CI⊥DE,
∴EI=DI.
∵DI===2,
∴DE=2DI=4.章节综合练(五)
一、选择题
1.在下列条件中,能判定平行四边形ABCD为菱形的是 ( )
A.AB⊥BC B.AC=BD
C.AB=BC D.AB=AC
2.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,F,G分别是AD,AE的中点,则FG的长为 ( )
A.3 B.5 C.4 D.
第2题图 第3题图
3.如图,在 ABCD中,AD=5,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=12,则△BOC的周长为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.17
4.如图,已知 ABCD中A,C,D三点的坐标,则点B的坐标为 ( )
A.(-3,-2)
B.(-2,-2)
C.(-3,-1)
D.(-2,-1)
5.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E,F是AC上的三等分点,则S△BEF为 ( )
A.8 B.12 C.16 D.24
第5题图 第6题图
6.如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,BD=10,DE=BF=2,则四边形AECF的周长等于 ( )
A.20 B.20
C.30 D.4
二、填空题
7.若菱形的两条对角线的长分别为6和8,则该菱形的面积为 .
8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,对角线AC与BD相交于点O,AE为线段BO的垂直平分线,则AD的长是 .
第8题图 第9题图
9.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,E,H分别为AB,BC的中点,G,F分别为线段HD,CE的中点.若线段AB的长为8,则FG的长为 .
10.如图,E为正方形ABCD内一点,∠AEB=90°,若BE=6,则△EBC的面积为 .
三、解答题
11.如图,点E,F分别在平行四边形ABCD的边AB,BC上,AE=CF,连接DE,DF.设∠1=∠2.
求证:(1)△DAE≌△DCF;
(2)四边形ABCD为菱形.
12.如图,在矩形ABCD中,E是边BC上一点,过点E作对角线AC的平行线,交AB于点F,交DA和DC的延长线于点G,H.
(1)求证:△AFG≌△CHE.
(2)若∠G=∠BAC,则四边形ABCD是什么特殊四边形 请证明你的结论.
参考答案
1.C 2.D 3.B 4.D 5.A
6.D 解析:
如图,连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OC=OD=OB,AC⊥BD.
∵BD=10,DE=BF=2,
∴OE=OF=3,OA=OC=5,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形,
∴AE=EC=CF=AF===,
∴菱形的周长为4.故选D.
7.24 8.2 9.6
10.18 解析:如图,过点C作CF⊥BE,则∠CFB=∠AEB=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠CBF=∠BAE=90°-∠ABE,
∴△BCF≌△ABE(AAS),
∴CF=BE=6,
∴S△EBC=BE·CF=×6×6=18.
11.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C.
在△DAE和△DCF中,
∴△DAE≌△DCF(AAS).
(2)∵△DAE≌△DCF,
∴AD=CD,
∴四边形ABCD为菱形.
12.解析:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AB∥CD,∠BAD=∠BCD=90°,
∴∠GAB=∠B=∠BCH.
∵AD∥BC,EF∥AC,
∴四边形AGEC是平行四边形,
∴AG=EC.
∵AB∥CD,EF∥AC,
∴四边形AFHC是平行四边形,
∴AF=CH,
∴△AFG≌△CHE(SAS).
(2)四边形ABCD是正方形.
证明:∵EF∥AC,
∴∠G=∠CAD.
∵∠G=∠BAC,
∴∠BAC=∠CAD.
∵∠BAD=90°,
∴∠BAC=45°.
∵∠B=90°,
∴∠BAC=∠ACB=45°,
∴BA=BC,
∴矩形ABCD是正方形.
