第4节 分式
【基础作业】
训练角度1 分式的概念及有意义的条件
1.代数式x,,,x2-,,中,属于分式的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.若分式的值等于0,则x的值是 ( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
3.要使分式有意义,则x应满足的条件是 .
训练角度2 分式的基本性质
4.把分式(x≠0,y≠0)中的分子、分母的x,y同时扩大为原来的3倍,那么分式的值 ( )
A.变为原来的3倍 B.变为原来的
C.变为原来的 D.不变
5.若a≠b,则下列分式化简正确的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
6.分式,,的最简公分母是 ( )
A.x2-1 B.x(x2-1)
C.x2-x D.(x+1)(x-1)
7.化简:= .
训练角度3 分式的运算
8.化简-的结果是 ( )
A. B.a-3
C.a+3 D.
9.化简:1-·.
10.化简求值:-÷,其中x=-3.
训练角度4 列分式
11.如果某种商品m千克的售价为n元,那么这种商品8千克的售价为 ( )
A.元 B.元
C.元 D.元
12.一项工程,甲单独做,需要x小时完成,乙单独做,需要y小时完成,则两人一起完成这项工程需要 小时.
【能力作业】
13.已知b>a>0,则分式与的大小关系是 ( )
A.< B.=
C.> D.不能确定的
14.试卷上一个正确的式子+÷★=被小颖同学不小心滴上墨汁,被墨汁遮住部分的代数式为 ( )
A. B.
C. D.
15.化简:-x+3÷.
16.先化简,再求值:÷-,其中a=+1,b=-1.
【创新作业】
17.【注重学习过程】下面是小明同学进行分式化简的过程,请认真阅读并解答问题.
÷-1
=÷-……第一步
=÷……第二步
=÷……第三步
=·……第四步
=.……第五步
(1)填空:
①以上化简步骤中,第 步是进行分式的通分,通分的依据是 .
②第 步开始出现错误,这一步错误的原因是 .
(2)请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简.
(3)除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
参考答案
基础作业
1.B 2.A 3.x≠5 4.D 5.D 6.B 7. 8.A
9.解析:原式=·
=
=.
10.解析:原式=·
=.
当x=-3时,原式==.
11.A 12.
能力作业
13.A 14.A
15.解析:原式=·
=·
=
=-x.
16.解析:原式=÷
=-·
=-.
当a=+1,b=-1时,
原式=-=-=-.
创新作业
17.解析:(1)①一;分式的基本性质.
②二;-1没有变号.
(2)原式=÷
=·
=.
(3)在进行分式化简时,如果分子或分母是多项式,一般先进行分解因式,再进行计算(答案不唯一).第2节 二次根式
【基础作业】
训练角度1 二次根式的相关概念
1.下列各式不是二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
2.二次根式中的x的取值范围是 ( )
A.x≥-3 B.x≥3
C.x≥0 D.x≤-3
3.若二次根式是最简二次根式,则最小的正整数a= .
训练角度2 二次根式的估算
4.如图,数轴上有M,N,P,Q四点,则这四点中所表示的数最接近-的是 ( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
5.下列整数在与之间的是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.若a<训练角度3 二次根式的运算
7.下列各式能与2合并的是 ( )
A. B. C. D.
8.计算×的结果为 .
9.计算÷的结果为 .
10.计算(2+3)×(2-3)的结果为 .
11.计算:
(1)-+;
(2)(2-1)×(2+1)-(1-)2.
训练角度4 二次根式的应用
12.有一直角三角形,两条直角边长分别为和,则该直角三角形的面积为 ( )
A.2 B. C. D.3
【能力作业】
13.【注重学习过程】老师设计了一个接力游戏,用合作的方式完成二次根式运算,规则:每人只能看到前一人给的式子,进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示:
在接力过程中,自己负责的一步出现错误的是 ( )
A.只有乙 B.甲和丁
C.乙和丙 D.乙和丁
14.已知x=-3,y=+3.请计算:
(1)x+y;
(2)x2y+xy2.
15.已知x=,y=,求代数式(x+2)(y+2)的值.
16.一只虫子在平面直角坐标系内爬行,从点P出发向右爬行3个单位长度,再向上爬行5个单位长度到达点Q,设点P的坐标为(,n),点Q的坐标为(m, +1).
(1)求m和n的值.
(2)已知y=+,求x,y及代数式|m-y|+|n+x|的值.
【创新作业】
17.数学老师在课堂上提出一个问题:“通过探究知道≈1.414…,它是无限不循环小数,也叫无理数,它的整数部分是1,那么有谁能说出它的小数部分是多少 ”,小青同学举手回答:它的小数部分我们无法全部写出来,但可以用-1来表示它的小数部分,张老师夸奖小青真聪明,肯定了她的说法.现请你根据小青的说法解答下列问题:
(1)请表示出的小数部分.
(2)若a为的小数部分,b为的整数部分,求a+b+的值.
(3)已知6+=x+y,其中x是正整数,0参考答案
基础作业
1.A 2.A 3.2 4.C 5.D 6.4 7.D 8.3 9. 10.-1
11.解析:(1)原式=2-3+
=-.
(2)原式=12-1-(1-2+3)
=12-1-1+2-3
=7+2.
12.C
能力作业
13.A
14.解析:(1)x+y=-3++3=2.
(2)∵x=-3,y=+3,
∴xy=(-3)×(+3)=1,
由(1)得x+y=2,
∴x2y+xy2=xy(x+y)=x+y=2.
15.解析:x==,y==,
∴(x+2)(y+2)=xy+2(x+y)+4=+2+4=+2.
16.解析:(1)由题意得m=+3,n=+1-5=-4.
(2)∵y=+,
∴解得x=2,
∴y=0,∴m-y>0,n+x=-2<0,
∴|m-y|+|n+x|
=+3+2-
=5.
创新作业
17.解析:(1)∵4<7<9,∴2<<3,
∴的小数部分是-2.
(2)∵4<6<9,
∴2<<3.
∵a为的小数部分,
∴a=-2.
∵4<5<9,
∴2<<3.
∵b为的整数部分,
∴b=2,
∴a+b+=-2+2+2=3.
(3)∵9<13<16,
∴3<<4,
∴的整数部分是3,小数部分是-3.
∵6+=x+y,其中x是正整数,0∴x=6+3=9,y=-3,
∴(x+3y)2=[9+3(-3)]2
=(9+3-9)2
=117.第1节 实数
【基础作业】
训练角度1 实数的分类
1.实数π,0,-,1.5中,无理数是 ( )
A.π B.0 C.- D.1.5
2.实数,-π,,,中,有理数有 个.
训练角度2 相反数、绝对值、倒数的概念
3.-3的相反数是 ( )
A.3 B.-3 C. D.-
4.计算:-= ( )
A.- B.-5 C.5 D.
5.下列四个数中,小于它的倒数的数是 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
6.【数学文化】负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中,负数与对应的正数“数量相等,意义相反”.如果向东走5米,记作+5米,那么向西走3米,可记作 米.
训练角度3 科学记数法
7.我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星,高度大约是21 500 000 m.数据21 500 000用科学记数法表示为 ( )
A.2.15×107 B.0.215×108
C.2.15×106 D.21.5×106
训练角度4 实数的大小比较
8.下面四个数中,比1小的正无理数是 ( )
A. B.- C. D.
9.如图,实数a在数轴上的对应点为A,若b<|a|,且b为正整数,则所有满足条件的b的和是 .
训练角度5 平方根、算术平方根、立方根
10.等于 ( )
A.3 B.-3 C.9 D.-9
11.下列说法正确的是 ( )
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.-10是100的一个平方根
D.-1的平方根是-1
12.已知一个正数的两个平方根分别为3a-5和7-a,则这个正数的立方根是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
训练角度6 实数的运算
13.计算×(-2)的结果是 ( )
A.2 B.-1
C.-2 D.-
14.计算:+|1-|+-1.
【能力作业】
15.实数m在数轴上的位置如图所示,则m,-m,这三个数的大小关系为 ( )
A.-mC.-m<16.已知|a-2|+(b-1)2+=0,则a+b-c的平方根是 .
17.计算:-1-|-2|-2×(-).
18.(2024·高新一中模拟)计算:-12 024×-(-2)2+-0.
19.计算:2cos 45°-|2-3|+-+(π-3.14)0.
20.计算:|2-3|-(-1)0+-1+.
【创新作业】
21.计算:(2 024-)0-2cos 60°+-2+.
参考答案
基础作业
1.A 2.3 3.A 4.D 5.A 6.-3 7.A 8.A 9.3 10.B 11.C 12.A 13.B
14.解析:原式=2+-1+3
=4+.
能力作业
15.D 16.±2
17.解析:原式=4-(2-)+2×
=4-2++2.
=2+3.
18.解析:原式=-1×4-(6-4)+1
=-4-6+4+1
=-5.
19.解析:原式=2×-(3-2)-+1
=-3+2-+1
=3-.
20.解析:原式=3-2-1+4+3
=6+.
创新作业
21.解析:原式=1-2×+9+(-4)
=1-1+9-4
=5.章节综合练(一)第一章 数与式
一、选择题
1.8的相反数是 ( )
A.-8 B.8 C.- D.
2.-2 024的倒数是 ( )
A.2 024 B.
C.-2 024 D.-
3.刘慈欣的科幻作品《三体》中所描述的三体文明距地球大约42 000 000光年,它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接,看起来似乎是连在一起的“三体星系”.数据42 000 000用科学记数法表示为 ( )
A.42×106 B.4.2×106
C.4.2×107 D.0.42×108
4.下列计算正确的是 ( )
A.a4+a4=a8 B.a4·a4=a16
C.(a4)4=a16 D.a8÷a4=a2
5.如图,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线的长为半径画半圆,交数轴于点A和点B,则点A表示的数是 ( )
A.2+ B.2- C. D.1-
6.下列代数式中,属于二次根式的是 ( )
A. B.
C.(a≥1) D.x2+1
7.若的值是一个整数,则正整数a的最小值是 ( )
A.1 B.2 C.4 D.5
8.使分式的值等于0的x的值是 ( )
A.2 B.-2
C.±2 D.±4
9.估计×(+)的值应在 ( )
A.7和8之间 B.8和9之间
C.9和10之间 D.10和11之间
10.设a是小于1的正数,且b=,则a与b的大小关系是 ( )
A.a>b B.a=b
C.a二、填空题
11.写出一个小于4的正无理数: .
12.=·成立的条件是 .
13.分解因数:4xy2-4x2y+x3= .
14.若|a+5|+=0,则ab= .
15.化简:= .
16.比较大小:- -.(填“>”“<”或“=”)
17.若x+y=3,xy=2,则x2y+xy2的值是 .
18.已知(a-b)(an-1+b+…+a+bn-1)=an-bn(其中n为正整数,且n≥2),则-312+311-310+39-…-34+33-32+3= .
三、解答题
19.计算:(a+3)(a-3)-a(a-2).
20.计算:-1-+3tan 30°+(π-3.14)0.
21.因式分解:(x+1)2-9.
22.先化简x-1-÷,再从-2,-1,0,1,2中,选择一个你喜欢的数代入求值.
23.在解决问题“已知a=,求3a2-6a-1的值”时,小明是这样分析与解答的:
∵a===+1,
∴a-1=,
∴(a-1)2=2,即a2-2a+1=2,
∴a2-2a=1,
∴3a2-6a=3,则3a2-6a-1=2.
请你根据小明的解答过程,解决如下问题.
(1)化简:.
(2)若a=,求3a2-18a+1的值.
参考答案
1.A 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.B 10.C
11.π(答案不唯一,符合条件即可)
12.a≥0,b≥0 13.x(2y-x)2 14.25 15. 16.> 17.6
18.- 解析:∵(a-b)(an-1+b+…+a+bn-1)=an-bn,
∴313-(-1)13=[3-(-1)]×[312+311×(-1)1+310×(-1)2+…+3×(-1)11+(-1)12],
∴313+1=4×(312-311+310-39+…+34-33+32-3+1),
∴313+1=4×(312-311+310-39+…+34-33+32-3)+4,
∴312-311+310-39+…+34-33+32-3=,
∴-312+311-310+39-…-34+33-32+3=-.
19.解析:原式=a2-9-(a2-2a)
=a2-9-a2+2a
=2a-9.
20.解析:原式=3-3+3×+1
=3-3++1
=4-2.
21.解析:原式=(x+1)2-32
=(x+1+3)(x+1-3)
=(x+4)(x-2).
22.解析:原式=·
=·
=x+1.
∵x+1≠0,x+2≠0,x-2≠0,
∴x≠-1,x≠±2,
∴x可以是0或1.
当x=0时,原式=0+1=1;
当x=1时,原式=1+1=2.
23.解析:(1)===3+.
(2)∵a====3-2,
∴a-3=-2,
∴(a-3)2=8,即a2-6a+9=8,
∴a2-6a=-1,
∴3a2-18a=-3,
则3a2-18a+1=-3+1=-2.第3节 整式与因式分解
【基础作业】
训练角度1 整式的相关概念
1.单项式-2x2yz3的系数、次数分别是 ( )
A.2,5 B.-2,5
C.2,6 D.-2,6
2.下列整式与ab2为同类项的是 ( )
A.a2b B.-2ab2
C.ab D.ab2c
训练角度2 列代数式及求值
3.【数学文化】《九章算术》是中国传统数学重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.书中记载一问题:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何 大意如下:今有一群人合伙购物,每人出8钱,会多3钱;每人出7钱,又差4钱.问人数、物价各多少 设人数为x,则表示物价的代数式是 ( )
A.8x-3 B.8x+3
C.7x-4 D.7(x+4)
4.如图,从一张边长为a(a>5)cm的正方形铁皮上先截去一个宽为2 cm的长方形条,再截去一个宽为3 cm的长方形条,则截去铁皮的面积一共是 .
训练角度3 整式的运算
5.计算:(-2ab2)3= ( )
A.-6a3b6
B.-6ab2
C.-8ab2
D.-8a3b6
6.下列运算正确的是 ( )
A.a3+a2=a6
B.(x2y)3=x5y3
C.b6÷b2=b4
D.(m-n)2=(m+n)(m-n)
7.下列运算正确的是 ( )
A.m3-m2=m
B.3m2·2m3=6m5
C.3m2+2m3=5m5
D.(2m2)3=8m5
8.计算:a2(a-2b)= ( )
A.a3-a2b B.a3-2a2b
C.a3-2ab2 D.a3-a2b2
9.计算(3a+m)(-6a+2)的结果是-18a2+2m,则m的值是 ( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
10.(-2x2)3= .
训练角度4 因式分解
11.对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是 ( )
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解,②是乘法运算
D.①是乘法运算,②是因式分解
12.分解因式:25m2-10mn+n2= .
13.分解因式:ab2-4ab+4a= .
14.若y2-my+1是完全平方式,则m的值是 .
15.已知x+y=-6,xy=,则x3y+2x2y2+xy3的值为 .
训练角度5 规律探索
16.按一定规律排列的单项式:x,3x2,5x3,7x4,9x5,….第n个单项式是 ( )
A.(2n-1)xn
B.(2n+1)xn
C.(n-1)xn
D.(n+1)xn
17.【新考向】将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放,依次下去,则第4个图形中字母“H”的个数是 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
【能力作业】
18.如图,这是利用割补法求图形面积的示意图,下列等式中与之相对应的是 ( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.(ab)2=a2b2
19.已知4a=3b,12a=27,则a+b= ( )
A. B.
C.2 D.3
20.已知x+y=12,xy=2,则代数式x2y+xy2的值是 .
21.先化简,再求值:[(x-2y)2+(x-2y)(x+2y)-2x(2x-y)]÷2x,其中x=5,y=-6.
【创新作业】
22.【学科融合】某动物园利用杠杆原理称象:如图,在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A和点B处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为k(单位:N).若铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为 N.(用含n,k的代数式表示)
参考答案
基础作业
1.D 2.B 3.A 4.(5a-6)cm2 5.D 6.C 7.B 8.B
9.D 10.-8x6 11.C 12.(5m-n)2 13.a(b-2)2 14.±2 15.9 16.A 17.B
能力作业
18.A 19.D
20.24 解析:∵x+y=12,xy=2,∴x2y+xy2=xy(x+y)=2×12=24.
21.解析:原式=(x2-4xy+4y2+x2-4y2-4x2+2xy)÷2x
=(-2x2-2xy)÷2x
=-x-y.
当x=5,y=-6时,
原式=-5-(-6)
=-5+6
=1.
创新作业
22.
